Filtro Butterworth

El filtro Butterworth es un tipo de filtro de procesamiento de señales diseñado para tener una respuesta en frecuencia lo más plana posible en la banda de paso . También se le conoce como filtro de magnitud de máxima planitud . Fue descrito por primera vez en 1930 por el ingeniero y físico británico Stephen Butterworth en su artículo titulado "Sobre la teoría de los amplificadores de filtro". ^{[ 1 ]}

Butterworth tenía fama de resolver problemas matemáticos muy complejos que se consideraban «imposibles». En aquel entonces, el diseño de filtros requería una considerable experiencia por parte del diseñador debido a las limitaciones de la teoría vigente . El filtro no se utilizó de forma generalizada hasta más de 30 años después de su publicación. Butterworth afirmó que:

"Un filtro eléctrico ideal no solo debería rechazar por completo las frecuencias no deseadas, sino que también debería tener una sensibilidad uniforme para las frecuencias deseadas".

No se puede lograr un filtro ideal de este tipo, pero Butterworth demostró que se obtenían aproximaciones cada vez más cercanas al aumentar el número de elementos filtrantes con los valores adecuados. En aquel entonces, los filtros generaban una ondulación considerable en la banda de paso, y la elección de los valores de los componentes era altamente interactiva. Butterworth demostró que se podía diseñar un filtro paso bajo cuya ganancia en función de la frecuencia (es decir, la magnitud de su respuesta en frecuencia ) es:

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\omega }^{2n}}}},}$

dónde${\displaystyle \omega }$es la frecuencia angular en radianes por segundo y${\displaystyle n}$es el número de polos en el filtro, igual al número de elementos reactivos en un filtro pasivo. Su frecuencia de corte (el punto de media potencia de aproximadamente − 3 dB o una ganancia de voltaje de 1/ √ 2  ≈ 0,7071) está normalizada a 𝜔 = 1 radián por segundo . Butterworth solo trató con filtros con un número par de polos en su artículo, aunque se pueden crear filtros de orden impar con la adición de un filtro de un solo polo aplicado a la salida del filtro de orden par. Construyó sus filtros de orden superior a partir de filtros de 2 polos separados por amplificadores de tubo de vacío. Su gráfica de la respuesta en frecuencia de filtros de 2, 4, 6, 8 y 10 polos se muestra como A, B, C, D y E en su gráfica original.

Butterworth resolvió las ecuaciones para filtros de dos y cuatro polos, demostrando cómo estos últimos podían conectarse en cascada al separarse mediante amplificadores de válvulas , lo que permitía la construcción de filtros de orden superior a pesar de las pérdidas de los inductores . En 1930, aún no se habían descubierto materiales de núcleo de bajas pérdidas como el molibdeno-permalloy , y los inductores de audio con núcleo de aire presentaban pérdidas considerables. Butterworth descubrió que era posible ajustar los valores de los componentes del filtro para compensar la resistencia de bobinado de los inductores.

Utilizó bobinas de 32 mm (1,25 pulgadas ) de diámetro y 76 mm (3 pulgadas) de longitud con terminales enchufables. Los condensadores y resistencias asociados se encontraban dentro de la bobina. Esta formaba parte de la resistencia de carga de placa. Se emplearon dos polos por tubo de vacío y se utilizó un acoplamiento RC a la rejilla del tubo siguiente.  

Butterworth también demostró que el filtro paso bajo básico podía modificarse para proporcionar funcionalidad de paso bajo , paso alto , paso de banda y rechazo de banda .

La respuesta en frecuencia del filtro Butterworth es máximamente plana (es decir, no tiene ondulaciones ) en la banda de paso y disminuye hacia cero en la banda de rechazo . ^{[ 2 ]} Cuando se observa en un diagrama de Bode logarítmico , la respuesta tiene una pendiente lineal hacia el infinito negativo. La respuesta de un filtro de primer orden disminuye a -6  dB por octava (-20  dB por década ) (todos los filtros de paso bajo de primer orden tienen la misma respuesta en frecuencia normalizada). Un filtro de segundo orden disminuye a -12  dB por octava, uno de tercer orden a -18  dB, y así sucesivamente. Los filtros Butterworth tienen una función de magnitud que cambia monótonamente con${\displaystyle \omega }$, a diferencia de otros tipos de filtros que tienen una ondulación no monótona en la banda de paso o en la banda de rechazo.

En comparación con un filtro Chebyshev de tipo I/tipo II o un filtro elíptico , el filtro Butterworth tiene una atenuación más lenta y, por lo tanto, requerirá un orden superior para implementar una especificación de banda de rechazo particular , pero los filtros Butterworth tienen una respuesta de fase más lineal en la banda de paso que la que pueden lograr los filtros Chebyshev de tipo I/tipo II y los filtros elípticos.

La función de transferencia de un filtro Butterworth de paso bajo de tercer orden, que se muestra en la figura de la derecha, tiene este aspecto:

${\displaystyle {\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {R_{4}}{s^{3}(L_{1}C_{2}L_{3})+s^{2}(L_{1}C_{2}R_{4})+s(L_{1}+L_{3})+R_{4}}}}$

Un ejemplo sencillo de un filtro Butterworth es el diseño de paso bajo de tercer orden que se muestra en la figura de la derecha, con${\displaystyle C_{2}}$ = 4/3  F,${\displaystyle R_{4}}$ = 1  Ω,${\displaystyle L_{1}}$ = 3/2  H, y${\displaystyle L_{3}}$ = 1/2  H. ^{[ 3 ]} Tomando la impedancia de los capacitores${\displaystyle C}$ser${\displaystyle 1/(Cs)}$y la impedancia de los inductores${\displaystyle L}$ser${\displaystyle Ls}$, dónde${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$es la frecuencia compleja, las ecuaciones del circuito producen la función de transferencia para este dispositivo:

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3}}}.}$

La magnitud de la respuesta en frecuencia (ganancia)${\displaystyle G(\omega )}$es dado por

${\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {1+\omega ^{6}}}},}$

obtenido de

${\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}=H(j\omega )\cdot H^{*}(j\omega )={\frac {1}{1+\omega ^{6}}},}$

y la fase viene dada por

${\displaystyle \Phi (\omega )=\arg(H(j\omega )).\!}$

El retardo de grupo se define como la derivada negativa del desfase con respecto a la frecuencia angular y es una medida de la distorsión en la señal introducida por las diferencias de fase para distintas frecuencias. La ganancia y el retardo de este filtro se representan en el gráfico de la izquierda. No se observan ondulaciones en la curva de ganancia ni en la banda de paso ni en la banda de rechazo.

El logaritmo del valor absoluto de la función de transferencia${\displaystyle H(s)}$Se representa en el espacio de frecuencia compleja en el segundo gráfico de la derecha. La función está definida por los tres polos en la mitad izquierda del plano de frecuencia compleja.

Estos están dispuestos en un círculo de radio unitario , simétrico respecto al eje real.${\displaystyle s}$eje. La función de ganancia tendrá tres polos más en el semiplano derecho para completar el círculo.

Sustituyendo cada inductor por un condensador y cada condensador por un inductor, se obtiene un filtro Butterworth de paso alto.

Un filtro Butterworth de paso de banda se obtiene colocando un condensador en serie con cada inductor y un inductor en paralelo con cada condensador para formar circuitos resonantes. El valor de cada nuevo componente debe seleccionarse para que resuene con el componente anterior a la frecuencia de interés.

Un filtro Butterworth de rechazo de banda se obtiene colocando un condensador en paralelo con cada inductor y un inductor en serie con cada condensador para formar circuitos resonantes. El valor de cada nuevo componente debe seleccionarse para que resuene con el componente anterior a la frecuencia que se desea rechazar.

Como ocurre con todos los filtros, el prototipo típico es el filtro de paso bajo, que puede modificarse para convertirlo en un filtro de paso alto, o colocarse en serie con otros para formar filtros de paso de banda y de rechazo de banda , y versiones de orden superior de estos.

La ganancia${\displaystyle G(\omega )}$de un${\displaystyle n}$El filtro paso bajo Butterworth de orden n se expresa en términos de la función de transferencia.${\displaystyle H(s)}$como

${\displaystyle G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)^{2n}}}}$

dónde${\displaystyle n}$es el orden del filtro,${\displaystyle \omega _{c}}$es la frecuencia de corte (aproximadamente la  frecuencia de −3 dB), y${\displaystyle G_{0}}$es la ganancia de CC (ganancia a frecuencia cero).

Se puede observar que como${\displaystyle n}$a medida que se aproxima al infinito, la ganancia se convierte en una función rectangular y las frecuencias por debajo${\displaystyle \omega _{c}}$será aprobado con ganancias${\displaystyle G_{0}}$, mientras que las frecuencias superiores${\displaystyle \omega _{c}}$se suprimirá. Para valores más pequeños de${\displaystyle n}$, el corte será menos pronunciado.

Deseamos determinar la función de transferencia.${\displaystyle H(s)}$dónde${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$(a partir de la transformada de Laplace ). Porque${\displaystyle \left|H(s)\right|^{2}=H(s){\overline {H(s)}}}$y, como propiedad general de las transformadas de Laplace en${\displaystyle s=j\omega }$,${\displaystyle H(-j\omega )={\overline {H(j\omega )}}}$, si seleccionamos${\displaystyle H(s)}$de tal manera que:

${\displaystyle H(s)H(-s)={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2}}}\right)^{n}}},}$

entonces, con${\displaystyle s=j\omega }$Tenemos la respuesta en frecuencia del filtro Butterworth.

El${\displaystyle n}$Los polos de esta expresión aparecen en un círculo de radio${\displaystyle \omega _{c}}$en puntos igualmente espaciados y simétricos alrededor del eje real negativo. Para la estabilidad, la función de transferencia,${\displaystyle H(s)}$, por lo tanto, se elige de tal manera que contenga solo los polos en el semiplano real negativo de${\displaystyle s}$. El${\displaystyle k}$El polo -ésimo se especifica mediante

${\displaystyle -{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {1}{n}}=e^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n}$

y por lo tanto

${\displaystyle s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.}$

La función de transferencia (o del sistema) puede escribirse en términos de estos polos como

${\displaystyle H(s)=G_{0}\prod _{k=1}^{n}{\frac {\omega _{c}}{s-s_{k}}}=G_{0}\prod _{k=1}^{n}{\frac {\omega _{c}}{s-\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}}}}$.

dónde${\displaystyle \textstyle {\prod }}$es el producto de un operador de secuencia. El denominador es un polinomio de Butterworth en${\displaystyle s}$.

Polinomios de Butterworth normalizados

Los polinomios de Butterworth pueden escribirse en forma compleja como se indicó anteriormente, pero generalmente se escriben con coeficientes reales multiplicando pares de polos que son conjugados complejos, como${\displaystyle s_{1}}$y${\displaystyle s_{n}}$Los polinomios se normalizan estableciendo ${\displaystyle \omega _{c}=1}$Los polinomios de Butterworth normalizados tienen entonces la forma general del producto.

${\displaystyle B_{n}(s)=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{even}}}$

${\displaystyle B_{n}(s)=(s+1)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{odd}}.}$

En la siguiente tabla se muestran los factores de los polinomios de Butterworth de orden 1 a 10 (con seis decimales).

Los factores de los polinomios de Butterworth de orden 1 a 6 se muestran en la siguiente tabla (Exacta).

donde la letra griega phi (${\displaystyle \varphi }$o${\displaystyle \phi }$) representa la proporción áurea . Es un número irracional que es solución de la ecuación cuadrática.${\displaystyle x^{2}-x-1=0,}$con un valor de ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988749...}$( OEIS : A001622  )

El n -ésimo polinomio de Butterworth también se puede escribir como una suma

${\displaystyle B_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k}\,,}$

con sus coeficientes${\displaystyle a_{k}}$ given by the recursion formula^[6][7]

${\displaystyle {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}={\frac {\cos(k\gamma )}{\sin((k+1)\gamma )}}}$

and by the product formula

${\displaystyle a_{k}=\prod _{\mu =1}^{k}{\frac {\cos((\mu -1)\gamma )}{\sin(\mu \gamma )}}\,,}$

where

${\displaystyle a_{0}=1\qquad {\text{and}}\qquad \gamma ={\frac {\pi }{2n}}\,.}$

Further, ${\displaystyle a_{k}=a_{n-k}}$. The rounded coefficients ${\displaystyle a_{k}}$ for the first 10 Butterworth polynomials ${\displaystyle B_{n}(s)}$ are:

The normalized Butterworth polynomials can be used to determine the transfer function for any low-pass filter cut-off frequency ${\displaystyle \omega _{c}}$, as follows

${\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{B_{n}(a)}}}$ , where ${\displaystyle a={\frac {s}{\omega _{c}}}.}$

Transformation to other bandforms are also possible, see prototype filter.

There are several different filter topologies available to implement a linear analogue filter. The most often used topology for a passive realisation is the Cauer topology, and the most often used topology for an active realisation is the Sallen–Key topology.

Cauer topology

The Cauer topology uses passive components (shunt capacitors and series inductors) to implement a linear analog filter. The Butterworth filter having a given transfer function can be realised using a Cauer 1-form. The k-th element is given by^[10]

${\displaystyle C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{odd}}}$

${\displaystyle L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{even}}.}$

The filter may start with a series inductor if desired, in which case the L_k are k odd and the C_k are k even. These formulae may usefully be combined by making both L_k and C_k equal to g_k. That is, g_k is the immittance divided by s.

${\displaystyle g_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.}$

These formulae apply to a doubly terminated filter (that is, the source and load impedance are both equal to unity) with ω_c = 1. This prototype filter can be scaled for other values of impedance and frequency. For a singly terminated filter (that is, one driven by an ideal voltage or current source) the element values are given by^[3]

${\displaystyle g_{j}={\frac {a_{j}a_{j-1}}{c_{j-1}g_{j-1}}}\qquad j=2,3,\ldots ,n}$

where

${\displaystyle g_{1}=a_{1}}$

and

${\displaystyle a_{j}=\sin \left[{\frac {(2j-1)}{2n}}\pi \right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n}$

${\displaystyle c_{j}=\cos ^{2}\left[{\frac {j}{2n}}\pi \right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n.}$

Voltage driven filters must start with a series element and current driven filters must start with a shunt element. These forms are useful in the design of diplexers and multiplexers.^[3]

Sallen–Key topology

The Sallen–Key topology uses active and passive components (noninverting buffers, usually op amps, resistors, and capacitors) to implement a linear analog filter. Each Sallen–Key stage implements a conjugate pair of poles; the overall filter is implemented by cascading all stages in series. If there is a real pole (in the case where ${\displaystyle n}$ is odd), this must be implemented separately, usually as an RC circuit, and cascaded with the active stages.

For the second-order Sallen–Key circuit shown to the right the transfer function is given by

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}}={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{2}}}.}$

We wish the denominator to be one of the quadratic terms in a Butterworth polynomial. Assuming that ${\displaystyle \omega _{c}=1}$, this will mean that

${\displaystyle C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1\,}$

and

${\displaystyle C_{2}(R_{1}+R_{2})=-2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\pi \right).}$

This leaves two undefined component values that may be chosen at will.

Butterworth lowpass filters with Sallen–Key topology of third and fourth order, using only one op amp, are described by Huelsman,^[11][12] and further single-amplifier Butterworth filters also of higher order are given by Jurišić et al.^[13]

Properties of the Butterworth filter are:

• Monotonicamplitude response in both passband and stopband
• Quick roll-off around the cutoff frequency, which improves with increasing order
• Considerable overshoot and ringing in step response, which worsens with increasing order
• Slightly non-linear phase response
• Group delay largely frequency-dependent

Here is an image showing the gain of a discrete-time Butterworth filter next to other common filter types. All of these filters are fifth-order.

The Butterworth filter rolls off more slowly around the cutoff frequency than the Chebyshev filter or the Elliptic filter, but without ripple.

• Bessel filter
• Chebyshev filter
• Comb filter
• Elliptic filter
• Filter design