Cálculo de functores

En topología algebraica , una rama de las matemáticas , el cálculo de funtores o cálculo de Goodwillie es una técnica para estudiar funtores aproximándolos mediante una secuencia de funtores más simples; generaliza la formación de haces a partir de un prehaz . Esta secuencia de aproximaciones es formalmente similar a la serie de Taylor de una función suave , de ahí el término " cálculo de funtores".

Muchos objetos de interés central en topología algebraica pueden considerarse functores, que son difíciles de analizar directamente, por lo que la idea es reemplazarlos con functores más simples que sean aproximaciones suficientemente buenas para ciertos propósitos. El cálculo de functores fue desarrollado por Thomas Goodwillie en una serie de tres artículos en las décadas de 1990 y 2000, ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} y desde entonces se ha ampliado y aplicado en diversas áreas.

Un ejemplo motivacional, de interés central en topología geométrica , es el functor de incrustaciones de una variedad M en otra variedad N, cuya primera derivada en el sentido del cálculo de functores es el functor de inmersiones . Como toda incrustación es una inmersión, se obtiene una inclusión de functores.${\displaystyle \mathrm {Emb} (M,N)\to \mathrm {Imm} (M,N)}$– en este caso, la aplicación de un functor a una aproximación es una inclusión, pero en general es simplemente una aplicación.

Como ilustra este ejemplo, la aproximación lineal de un functor (en un espacio topológico) es su hazificación , considerando el functor como un prehaz en el espacio (formalmente, como un functor en la categoría de subconjuntos abiertos del espacio), y los haces son los functores lineales.

Este ejemplo fue estudiado por Goodwillie y Michael Weiss . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

He aquí una analogía: con el método de series de Taylor del cálculo, se puede aproximar la forma de una función suave f alrededor de un punto x mediante una secuencia de funciones polinómicas cada vez más precisas. De manera similar, con el método del cálculo de functores, se puede aproximar el comportamiento de cierto tipo de functor F en un objeto particular X mediante una secuencia de functores polinómicos cada vez más precisos .

Para ser más específicos, sea M una variedad diferenciable y sea O(M) la categoría de subespacios abiertos de M , es decir, la categoría donde los objetos son los subespacios abiertos de M y los morfismos son aplicaciones de inclusión . Sea F un functor contravariante de la categoría O(M) a la categoría Top de espacios topológicos con morfismos continuos. Este tipo de functor, llamado prefaz con valores en Top sobre M , es el tipo de functor que se puede aproximar usando el método del cálculo de functores: para un conjunto abierto particular X∈O(M) , se puede querer saber qué tipo de espacio topológico es F(X) , para poder estudiar la topología de las aproximaciones cada vez más precisas F ₀ (X), F ₁ (X), F ₂ (X), y así sucesivamente.

En el método del cálculo de functores, la secuencia de aproximaciones consta de (1) functores${\displaystyle T_{0}F,T_{1}F,T_{2}F}$y así sucesivamente, así como (2) transformaciones naturales${\displaystyle \eta _{k}\colon F\to T_{k}F}$para cada entero k . Se requiere que estas transformaciones naturales sean compatibles, lo que significa que la composición${\displaystyle F\to T_{k+1}F\to T_{k}F}$es igual al mapa${\displaystyle F\to T_{k}F,}$y así forman una torre

${\displaystyle F\to \cdots \to T_{k+1}F\to T_{k}F\to \cdots \to T_{1}F\to T_{0}F,}$

y pueden considerarse como "aproximaciones sucesivas", del mismo modo que en una serie de Taylor se pueden descartar progresivamente los términos de orden superior.

Se requiere que los functores de aproximación sean " k - excisivos "; dichos functores se denominan functores polinomiales.por analogía con los polinomios de Taylor , que es una condición simplificadora, y significa aproximadamente que están determinados por su comportamiento alrededor de k puntos a la vez, o más formalmente son haces en el espacio de configuración de k puntos en el espacio dado. La diferencia entre el k -ésimo y${\displaystyle (k-1)}$Los functores st son "functores homogéneos de grado k " (por analogía con los polinomios homogéneos ), que pueden clasificarse.

Para los functores${\displaystyle T_{k}F}$para ser aproximaciones al functor original F, los mapas de aproximación resultantes${\displaystyle F\to T_{k}F}$debe ser n -conexo para algún número n, lo que significa que el functor aproximador aproxima al functor original "en dimensión hasta n "; esto puede no ocurrir. Además, si se desea reconstruir el functor original, las aproximaciones resultantes deben ser n -conexas para n que tiende a infinito. Entonces se llama F un functor analítico .y dice que "la torre de Taylor converge al functor", en analogía con la serie de Taylor de una función analítica .

Existen tres ramas del cálculo de funtores, desarrolladas en el siguiente orden:

• cálculo de variedades, como incrustaciones,
• cálculo homotópico y
• cálculo ortogonal.

El cálculo homotópico ha tenido una aplicación mucho más amplia que otras ramas del conocimiento.

La noción de haz y la agrupación en haces de un prehaz se remontan a la teoría de categorías temprana y pueden considerarse como la forma lineal del cálculo de functores. La forma cuadrática se puede observar en el trabajo de André Haefliger sobre enlaces de esferas en 1965, donde definió un "rango metaestable" en el que el problema es más simple. ^{[ 6 ]} Esto fue identificado como la aproximación cuadrática al functor de incrustaciones en Goodwillie y Weiss.

• Thomas Goodwillie Archivado el 28/11/2009 en Wayback Machine
• Juan Klein
• Michael S. Weiss