Paquete canónico

En matemáticas , el fibrado canónico de una variedad algebraica no singular${\displaystyle V}$de dimensión${\displaystyle n}$sobre un campo es el haz de líneas${\displaystyle \,\!\Omega ^{n}=\omega }$, que es el${\displaystyle n}$la potencia exterior del haz cotangente${\displaystyle \Omega }$en${\displaystyle V}$.

Sobre los números complejos , es el fibrado determinante del fibrado cotangente holomorfo.${\displaystyle T^{*}V}$. Equivalentemente, es el fibrado de líneas de holomorfo${\displaystyle n}$-formularios en${\displaystyle V}$Este es el objeto dualizante para la dualidad de Serre en${\displaystyle V}$. También puede considerarse como un haz invertible .

La clase canónica es la clase divisora ​​de un divisor de Cartier.${\displaystyle K}$en${\displaystyle V}$dando lugar al fibrado canónico : es una clase de equivalencia para la equivalencia lineal en${\displaystyle V}$y cualquier divisor en él puede llamarse divisor canónico . Un divisor anticanónico es cualquier divisor −${\displaystyle K}$con${\displaystyle K}$canónico.

El fibrado anticanónico es el fibrado inverso correspondiente.${\displaystyle \omega ^{-1}}$Cuando el paquete anticanónico de${\displaystyle V}$es amplio ,${\displaystyle V}$Se denomina variedad Fano .

Supongamos que${\displaystyle X}$es una variedad suave y eso${\displaystyle D}$es un divisor suave en${\displaystyle X}$. La fórmula de adjunción relaciona los haces canónicos de${\displaystyle X}$y${\displaystyle D}$Es un isomorfismo natural.

${\displaystyle \omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)).}$

En términos de clases canónicas, es

${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}.}$

Esta fórmula es una de las fórmulas más poderosas en geometría algebraica. Una herramienta importante de la geometría birracional moderna es la inversión de la adjunción , que permite deducir resultados sobre las singularidades de${\displaystyle X}$de las singularidades de${\displaystyle D}$.

Dejar${\displaystyle X}$ser una superficie normal. Un género${\displaystyle g}$fibración${\displaystyle f:X\to B}$de${\displaystyle X}$es un morfismo plano propio${\displaystyle f}$a una curva suave tal que${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\cong {\mathcal {O}}_{B}}$y todas las fibras de${\displaystyle f}$tener género aritmético${\displaystyle g}$. Si${\displaystyle X}$es una superficie proyectada lisa y las fibras de${\displaystyle f}$no contienen curvas racionales de autointersección${\displaystyle -1}$, entonces la fibración se llama mínima . Por ejemplo, si${\displaystyle X}$admite una fibración de género 0 (mínimo), entonces es${\displaystyle X}$está regido birracionalmente, es decir, birracional a${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times B}$.

Para una fibración mínima de género 1 (también llamadas fibraciones elípticas )${\displaystyle f:X\to B}$todas menos un número finito de fibras de${\displaystyle f}$son geométricamente integrales y todas las fibras están geométricamente conectadas (por el teorema de conectividad de Zariski ). En particular, para una fibra${\displaystyle F=\sum _{i=1}^{n}a_{i}E_{i}}$de${\displaystyle f}$, tenemos eso${\displaystyle F.E_{i}=K_{X}.E_{i}=0,}$dónde${\displaystyle K_{X}}$es un divisor canónico de${\displaystyle X}$; entonces si${\displaystyle \operatorname {gcd} (a_{i})=1}$,${\displaystyle F}$es geométricamente integral y una fibra múltiple en caso contrario.

Consideremos una fibración de género mínimo 1${\displaystyle f:X\to B}$. Dejar${\displaystyle F_{1},\dots ,F_{r}}$sean las fibras finitas que no son geométricamente integrales y escriban${\displaystyle F_{i}=m_{i}F_{i}^{'}}$dónde${\displaystyle m_{i}>1}$es el máximo común divisor de los coeficientes de la expansión de${\displaystyle F_{i}}$en componentes integrales; estas se denominan fibras múltiples . Por cohomología y cambio de base se tiene que${\displaystyle R^{1}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {T}}}$dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es un haz invertible y${\displaystyle {\mathcal {T}}}$es un haz de torsión (${\displaystyle {\mathcal {T}}}$es compatible con${\displaystyle b\in B}$de tal manera que${\displaystyle h^{0}(X_{b},{\mathcal {O}}_{X_{b}})>1}$). Entonces, uno tiene que

${\displaystyle \omega _{X}\cong f^{*}({\mathcal {L}}^{-1}\otimes \omega _{B})\otimes {\mathcal {O}}_{X}\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}F_{i}'\right)}$

dónde${\displaystyle 0\leq a_{i}<m_{i}}$para cada${\displaystyle i}$y${\displaystyle \operatorname {deg} \left({\mathcal {L}}^{-1}\right)=\chi ({\mathcal {O}}_{X})+\operatorname {length} ({\mathcal {T}})}$. ^{[ 1 ]} Se observa que

${\displaystyle \operatorname {length} ({\mathcal {T}})=0\iff a_{i}=m_{i}-1}$.

Por ejemplo, para la fibración mínima de género 1 de una superficie (cuasi)bielíptica inducida por el morfismo de Albanese , la fórmula del fibrado canónico indica que esta fibración no tiene fibras múltiples. Una deducción similar puede hacerse para cualquier fibración mínima de género 1 de una superficie K3 . Por otro lado, una fibración mínima de género uno de una superficie de Enriques siempre admitirá fibras múltiples y, por lo tanto, dicha superficie no admitirá una sección.

En una variedad singular${\displaystyle X}$Existen varias formas de definir el divisor canónico. Si la variedad es normal, es suave en codimensión uno. En particular, podemos definir el divisor canónico en el lugar liso. Esto nos da una clase de divisor de Weil única en${\displaystyle X}$Es esta clase, denotada por${\displaystyle K_{X}}$que se conoce como el divisor canónico en${\displaystyle X.}$

Alternativamente, de nuevo en una variedad normal.${\displaystyle X}$, uno puede considerar${\displaystyle h^{-d}(\omega _{X}^{.})}$, el${\displaystyle -d}$'th cohomología del complejo dualizante normalizado de${\displaystyle X}$Este haz corresponde a una clase de divisores de Weil , que es igual a la clase de divisores.${\displaystyle K_{X}}$definido anteriormente. En ausencia de la hipótesis de normalidad, el mismo resultado se cumple si${\displaystyle X}$es S2 y Gorenstein en la dimensión uno.

Si la clase canónica es efectiva , entonces determina una aplicación racional de V al espacio proyectivo. Esta aplicación se llama aplicación canónica . La aplicación racional determinada por el n -ésimo múltiplo de la clase canónica es la aplicación n -canónica . La aplicación n -canónica envía V a un espacio proyectivo de dimensión uno menos que la dimensión de las secciones globales del n -ésimo múltiplo de la clase canónica. Las aplicaciones n -canónicas pueden tener puntos base, lo que significa que no están definidas en todas partes (es decir, pueden no ser un morfismo de variedades). Pueden tener fibras de dimensión positiva, e incluso si tienen fibras de dimensión cero, no necesariamente son isomorfismos analíticos locales.

• Geometría birracional
• Forma diferencial