Dualidad más verde

En matemáticas , la dualidad de Verdier es una dualidad cohomológica en topología algebraica que generaliza la dualidad de Poincaré para variedades . La dualidad de Verdier fue introducida en 1965 por Jean-Louis Verdier ( 1965 ) como un análogo para espacios topológicos localmente compactos de la teoría de la dualidad de Poincaré de Alexander Grothendieck en cohomología étale para esquemas en geometría algebraica . Es, por lo tanto (junto con la mencionada teoría étale y, por ejemplo, la dualidad coherente de Grothendieck ), un ejemplo del formalismo de las seis operaciones de Grothendieck . 

La dualidad de Verdier generaliza la dualidad clásica de Poincaré de las variedades en dos direcciones: se aplica a aplicaciones continuas de un espacio a otro (reduciéndose al caso clásico de la aplicación única de una variedad a un espacio de un punto), y se aplica a espacios que no son variedades debido a la presencia de singularidades. Se encuentra comúnmente al estudiar haces constructibles o perversos .

La dualidad de Verdier establece que (sujeto a las condiciones de finitud adecuadas que se discuten más adelante) ciertos functores de imagen derivados para haces son en realidad functores adjuntos . Hay dos versiones.

La dualidad global de Verdier establece que para un mapa continuo${\displaystyle f\colon X\to Y}$de espacios de Hausdorff localmente compactos, el functor derivado de la imagen directa con soportes compactos (o propios)${\displaystyle Rf_{!}}$tiene un adjunto derecho${\displaystyle f^{!}}$en la categoría derivada de haces , en otras palabras, para (complejos de) haces (de grupos abelianos)${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en${\displaystyle X}$y${\displaystyle {\mathcal {G}}}$en${\displaystyle Y}$tenemos

${\displaystyle RHom(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong RHom({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}}).}$

La dualidad local de Verdier establece que

${\displaystyle R\,{\mathcal {H}}om(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong Rf_{\ast }R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}})}$

en la categoría derivada de haces sobre Y. La distinción entre las versiones global y local radica en que la primera relaciona morfismos entre complejos de haces en las categorías derivadas, mientras que la segunda relaciona complejos internos de Hom y, por lo tanto, puede evaluarse localmente. Tomar secciones globales de ambos lados en la formulación local da como resultado la dualidad de Verdier global.

Estos resultados se mantienen sujetos al functor de imagen directa con soporte compacto.${\displaystyle f_{!}}$que tiene dimensión cohomológica finita . Este es el caso si existe un límite.${\displaystyle d\in \mathbf {N}}$de tal manera que la cohomología soportada de forma compacta ${\displaystyle H_{c}^{r}(X_{y},\mathbf {Z} )}$desaparece para todas las fibras${\displaystyle X_{y}=f^{-1}(y)}$(dónde${\displaystyle y\in Y}$) y${\displaystyle r>d}$Esto se cumple si todas las fibras${\displaystyle X_{y}}$son como máximo${\displaystyle d}$variedades de -dimensiones o, más generalmente, como máximo${\displaystyle d}$Complejos CW -dimensionales .

La discusión anterior trata sobre categorías derivadas de haces de grupos abelianos. En cambio, es posible considerar un anillo. ${\displaystyle A}$y (categorías derivadas de) haces de${\displaystyle A}$-módulos; el caso anterior corresponde a ${\displaystyle A=\mathbf {Z} }$.

El complejo dualizante${\displaystyle D_{X}}$en${\displaystyle X}$se define como

${\displaystyle \omega _{X}=p^{!}(k),}$

donde p es el mapa de${\displaystyle X}$hasta cierto punto. Parte de lo que hace interesante la dualidad de Verdier en el contexto singular es que cuando${\displaystyle X}$Si no es una variedad (por ejemplo, un grafo o una variedad algebraica singular ), entonces el complejo dualizante no es cuasi-isomorfo a un haz concentrado en un solo grado. Desde esta perspectiva, la categoría derivada es necesaria para el estudio de los espacios singulares.

Si${\displaystyle X}$es un espacio localmente compacto de dimensión finita y${\displaystyle D^{b}(X)}$la categoría derivada acotada de haces de grupos abelianos sobre${\displaystyle X}$, entonces el dual de Verdier es un functor contravariante

${\displaystyle D\colon D^{b}(X)\to D^{b}(X)}$

definido por

${\displaystyle D({\mathcal {F}})=R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},\omega _{X}).}$

Tiene las siguientes propiedades:

La dualidad de Poincaré puede derivarse como un caso especial de la dualidad de Verdier. Aquí se calcula explícitamente la cohomología de un espacio utilizando la maquinaria de la cohomología de haces .

Supongamos que X es una variedad compacta orientable n -dimensional, k es un campo y${\displaystyle k_{X}}$es el haz constante en X con coeficientes en k . Sea${\displaystyle f=p}$ser el mapa constante a un punto. La dualidad global de Verdier entonces establece

${\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong [k_{X},p^{!}k].}$

Para entender cómo se obtiene la dualidad de Poincaré a partir de esta afirmación, quizás sea más fácil entender ambos lados pieza por pieza.

${\displaystyle k_{X}\to (I_{X}^{\bullet }=I_{X}^{0}\to I_{X}^{1}\to \cdots )}$

sea ​​una resolución inyectiva del haz constante. Entonces, por hechos estándar sobre functores derivados derechos

${\displaystyle Rp_{!}k_{X}=p_{!}I_{X}^{\bullet }=\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet })}$

es un complejo cuya cohomología es la cohomología de soporte compacto de X. Dado que los morfismos entre complejos de haces (o espacios vectoriales) forman a su vez un complejo, encontramos que

${\displaystyle \mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k)=\cdots \to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{2})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{1})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{0})^{\vee }\to 0}$

donde el último término no nulo está en grado 0 y los de la izquierda están en grado negativo. Los morfismos en la categoría derivada se obtienen de la categoría de homotopía de complejos de cadenas de haces tomando la cohomología cero del complejo, es decir

${\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong H^{0}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k))=H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }.}$

Para el otro lado del enunciado de dualidad de Verdier anterior, tenemos que dar por sentado el hecho de que cuando X es una variedad n -dimensional compacta y orientable

${\displaystyle p^{!}k=k_{X}[n],}$

que es el complejo dualizante para una variedad. Ahora podemos reescribir el lado derecho como

${\displaystyle [k_{X},k_{X}[n]]\cong H^{n}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(k_{X},k_{X}))=H^{n}(X;k_{X}).}$

Finalmente hemos obtenido la declaración de que

${\displaystyle H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n}(X;k_{X}).}$

Al repetir este argumento reemplazando el haz k _X con el mismo haz colocado en el grado i, obtenemos la dualidad clásica de Poincaré.

${\displaystyle H_{c}^{i}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n-i}(X;k_{X}).}$

• Dualidad de Poincaré
• Seis operaciones
• Dualidad coherente
• Categoría derivada

• Borel, Armand (1984), Cohomología de intersección , Progress in Mathematics, Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3274-8
• Gelfand, Serguéi I.; Manin, Yuri Ivanovich (1999), Álgebra homológica , Berlín: Springer, ISBN 978-3-540-65378-3
• Grothendieck, Alexandre (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5) , Apuntes de conferencias de matemáticas, vol.  589, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs.  xii+484, ISBN 978-3-540-08248-4, Exposés I y II contienen la teoría correspondiente en la situación étale
• Iversen, Birger (1986), Cohomología de gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-82783-9 , ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190 
• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2002), Gavillas sobre colectores , Berlín: Springer , ISBN 3540518614
• Verdier, Jean-Louis (1965), "Dualité dans la cohomologie des espaces localement compacts", Séminaire Bourbaki , vol.  9, París: Société Mathématique de France , págs.  Exp. Núm. 300, 337– 349, ISBN 978-2-85629-042-2, MR 1610971