El criterio de Cartan

En matemáticas , el criterio de Cartan da condiciones para que un álgebra de Lie en característica 0 sea resoluble , lo que implica un criterio relacionado para que el álgebra de Lie sea semisimple . Se basa en la noción de la forma de Killing , una forma bilineal simétrica en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$definido por la fórmula

${\displaystyle \kappa (u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),}$

donde tr denota la traza de un operador lineal . El criterio fue introducido por Élie Cartan ( 1894 ) . ^{[ 1 ]} 

El criterio de Cartan para la solubilidad establece:

Una subálgebra de mentira ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero es resoluble si y solo si${\displaystyle \operatorname {tr} (ab)=0}$cuando sea${\displaystyle a\in {\mathfrak {g}},b\in [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}].}$

El hecho de que${\displaystyle \operatorname {tr} (ab)=0}$en el caso resoluble se deduce del teorema de Lie que establece${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$en la forma triangular superior sobre la clausura algebraica del campo base (la traza se puede calcular después de extender el campo base). El recíproco se puede deducir del criterio de nilpotencia basado en la descomposición de Jordan-Chevalley , como se explica allí.

Aplicando el criterio de Cartan a la representación adjunta se obtiene:

Un álgebra de Lie de dimensión finita${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sobre un campo de característica cero es resoluble si y solo si${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0}$(dónde${\displaystyle \kappa }$es la forma de matar).

El criterio de Cartan para la semisimplicidad establece:

Un álgebra de Lie de dimensión finita${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sobre un campo de característica cero es semisimple si y solo si la forma de Killing no es degenerada .

Jean Dieudonné ( 1953 ) dio una demostración muy breve de que si un álgebra de Lie de dimensión finita (en cualquier característica) tiene una forma bilineal invariante no degenerada y ningún ideal abeliano distinto de cero, y en particular si su forma de Killing no es degenerada, entonces es una suma de álgebras de Lie simples. 

Por el contrario, del criterio de Cartan para la resolubilidad se deduce fácilmente que un álgebra semisimple (en característica 0) tiene una forma de Killing no degenerada.

Los criterios de Cartan fallan en característica${\displaystyle p>0}$; Por ejemplo:

• el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{p}(k)}$ es simple si k tiene característica distinta de 2 y tiene forma de Killing nula, aunque tiene una forma bilineal invariante distinta de cero dada por${\displaystyle (a,b)=\operatorname {tr} (ab)}$.
• El álgebra de Lie con base${\displaystyle a_{n}}$para${\displaystyle n\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$y el corchete [ a _i , a _j ] = ( i − j ) a _{i + j} es simple para${\displaystyle p>2}$pero no tiene forma bilineal invariante distinta de cero.
• Si k tiene característica 2, entonces el producto semidirecto gl ₂ ( k ). k ² es un álgebra de Lie resoluble, pero la forma de Killing no es idénticamente cero en su álgebra derivada sl ₂ ( k ). k ² .

Si un álgebra de Lie de dimensión finita es nilpotente, entonces la forma de Killing es idénticamente cero (y, en general, la forma de Killing se anula en cualquier ideal nilpotente). Lo contrario es falso: existen álgebras de Lie no nilpotentes cuya forma de Killing se anula. Un ejemplo lo proporciona el producto semidirecto de un álgebra de Lie abeliana V con un álgebra de Lie unidimensional que actúa sobre V como un endomorfismo b, ^tal que b no es nilpotente y Tr( b² ) = 0.

En característica 0, toda álgebra de Lie reductiva (una que es suma de álgebras de Lie abelianas y simples) tiene una forma bilineal simétrica invariante no degenerada. Sin embargo, lo contrario es falso: un álgebra de Lie con una forma bilineal simétrica invariante no degenerada no tiene por qué ser una suma de álgebras de Lie simples y abelianas. Un contraejemplo típico es G = L [ t ]/ t ⁿ L [ t ] donde n >1, L es un álgebra de Lie compleja simple con una forma bilineal (,), y la forma bilineal en G viene dada por el coeficiente de t ^{n − 1} de la forma bilineal con valores en C [ t ] en G inducida por la forma en L . La forma bilineal es no degenerada, pero el álgebra de Lie no es una suma de álgebras de Lie simples y abelianas.

• Cartan, Élie (1894), Sur la estructura de los grupos de transformaciones finis et continus , Tesis, Nony
• Dieudonné, Jean (1953), "Sobre álgebras de Lie semisimples", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 4 (6): 931– 932, doi : 10.2307/2031832 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2031832 , MR 0059262   
• Serre, Jean-Pierre (2006) [1964], Álgebras de Lie y grupos de Lie , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1500, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-70634-2 , ISBN 978-3-540-55008-2, MR 2179691 

• Álgebra de Lie modular