Par de Cartan

En los campos matemáticos de la teoría de Lie y la topología algebraica , la noción de par de Cartan es una condición técnica sobre la relación entre un álgebra de Lie reductiva y una subálgebra reductiva en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Se dice que un par reductivo es de Cartan si la cohomología del álgebra de Lie relativa${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$

${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$

es isomorfo al producto tensorial del subálgebra característica

${\displaystyle \mathrm {im} {\big (}S({\mathfrak {k}}^{*})\to H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}}){\big )}}$

y una subálgebra exterior de , donde ${\displaystyle \bigwedge {\hat {P}}}$${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}})}$

• ${\displaystyle {\hat {P}}}$, el subespacio de Samelson , son aquellos elementos primitivos en el núcleo de la composición ,${\displaystyle P{\overset {\tau }{\to }}S({\mathfrak {g}}^{*})\to S({\mathfrak {k}}^{*})}$
• ${\estilo de visualización P}$es el subespacio primitivo de ,${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}})}$
• ${\estilo de visualización \tau}$es la transgresión ,
• y el mapa de álgebras simétricas es inducido por el mapa de restricción de espacios vectoriales duales .${\displaystyle S({\mathfrak {g}}^{*})\to S({\mathfrak {k}}^{*})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {k}}^{*}}$

A nivel de grupos de Lie , si G es un grupo de Lie compacto y conexo y K un subgrupo cerrado y conexo, existen haces de fibras naturales

${\displaystyle G\to G_{K}\to BK}$,

donde es el cociente de homotopía , aquí la homotopía es equivalente al cociente regular, y ${\displaystyle G_{K}:=(EK\times G)/K\simeq G/K}$

${\displaystyle G/K{\overset {\chi }{\to }}BK{\overset {r}{\to }}BG}$.

Entonces el álgebra característica es la imagen de , la transgresión del subespacio primitivo P de es la que surge de las aplicaciones de aristas en la secuencia espectral de Serre del fibrado universal , y el subespacio de es el núcleo de . ${\displaystyle \chi ^{*}\colon H^{*}(BK)\to H^{*}(G/K)}$${\displaystyle \tau \colon P\to H^{*}(BG)}$$Estilo de visualización H*(G)$ ${\displaystyle G\a EG\a BG}$${\displaystyle {\hat {P}}}$$Estilo de visualización H*(G/K)$${\displaystyle r^{*}\circ \tau }$