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La constante del catalán

En matemáticas , la constante de Catalan G , es la suma alternada de los recíprocos de los números cuadrados impares , siendo definida por: GRAMO = β ( 2 ) = ∑ norte = 0 ∞ ( − 1...

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En matemáticas , la constante de Catalan G , es la suma alternada de los recíprocos de los números cuadrados impares , siendo definida por:

GRAMO = β ( 2 ) = ∑ norte = 0 ∞ ( − 1 ) norte ( 2 norte + 1 ) 2 = 1 1 2 − 1 3 2 + 1 5 2 − 1 7 2 + 1 9 2 − ⋯ , {\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots ,}

donde β es la función beta de Dirichlet . Su valor numérico [1] es aproximadamente (secuencia A006752 en la OEIS )

G =0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

La constante de Catalan debe su nombre a Eugène Charles Catalan , quien encontró series de convergencia rápida para su cálculo y publicó una memoria sobre ella en 1865. [2] [3]

Usos

En topología de baja dimensión , la constante de Catalan es 1/4 del volumen de un octaedro hiperbólico ideal , y por lo tanto 1/4 del volumen hiperbólico del complemento del enlace de Whitehead . [4] Es 1/8 del volumen del complemento de los anillos borromeos . [5]

En combinatoria y mecánica estadística , surge en conexión con el conteo de mosaicos de dominó , [6] árboles de expansión , [7] y ciclos hamiltonianos de gráficos de cuadrícula . [8]

En teoría de números , la constante de Catalan aparece en una fórmula conjeturada para el número asintótico de primos de la forma según la conjetura F de Hardy y Littlewood . Sin embargo, es un problema no resuelto (uno de los problemas de Landau ) si hay incluso infinitos primos de esta forma. [9] norte 2 + 1 estilo de visualización n^{2}+1

La constante de Catalan también aparece en el cálculo de la distribución de masa de las galaxias espirales . [10] [11]

Propiedades

Problema sin resolver en matemáticas :
¿Es irracional la constante del catalán? Y si es así, ¿es trascendental?
(más problemas sin resolver en matemáticas)

No se sabe si G es irracional , y mucho menos trascendental . [12] Se ha dicho que G es "posiblemente la constante más básica cuya irracionalidad y trascendencia (aunque se sospecha fuertemente) siguen sin demostrarse". [13]

Sin embargo, existen resultados parciales. Se sabe que una cantidad infinita de números β (2 n ) son irracionales, donde β(s) es la función beta de Dirichlet. [14] En particular, al menos uno de β (2), β (4), β (6), β (8), β (10) y β (12) debe ser irracional, donde β (2) es la constante de Catalan. [15] Estos resultados de Wadim Zudilin y Tanguy Rivoal están relacionados con otros similares dados para las constantes zeta impares ζ(2 n+1 ).

Se sabe que la constante de Catalan es un periodo algebraico , lo que se deduce de algunas de las integrales dobles que se dan a continuación.

Representaciones en serie

La constante de Catalan aparece en la evaluación de varias series racionales, entre ellas: [16] Las dos fórmulas siguientes implican series que convergen rápidamente y, por lo tanto, son apropiadas para el cálculo numérico: y π 2 16 + GRAMO 2 = ∑ norte = 0 ∞ 1 ( 4 norte + 1 ) 2 . {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}+{\frac {G}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+1)^{2}}}.} π 2 16 − GRAMO 2 = ∑ norte = 0 ∞ 1 ( 4 norte + 3 ) 2 . {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}-{\frac {G}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+3)^{2}}}.} GRAMO = 3 ∑ norte = 0 ∞ 1 2 4 norte ( − 1 2 ( 8 norte + 2 ) 2 + 1 2 2 ( 8 norte + 3 ) 2 − 1 2 3 ( 8 norte + 5 ) 2 + 1 2 3 ( 8 norte + 6 ) 2 − 1 2 4 ( 8 norte + 7 ) 2 + 1 2 ( 8 norte + 1 ) 2 ) − 2 ∑ norte = 0 ∞ 1 2 12 norte ( 1 2 4 ( 8 norte + 2 ) 2 + 1 2 6 ( 8 norte + 3 ) 2 − 1 2 9 ( 8 norte + 5 ) 2 − 1 2 10 ( 8 norte + 6 ) 2 − 1 2 12 ( 8 norte + 7 ) 2 + 1 2 3 ( 8 norte + 1 ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)\\&\qquad -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}} GRAMO = π 8 registro ⁡ ( 2 + 3 ) + 3 8 ∑ norte = 0 ∞ 1 ( 2 norte + 1 ) 2 ( 2 norte norte ) . {\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\log \left(2+{\sqrt {3}}\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}

Los fundamentos teóricos para tales series están dados por Broadhurst, para la primera fórmula, [17] y Ramanujan, para la segunda fórmula. [18] Los algoritmos para la evaluación rápida de la constante de Catalan fueron construidos por E. Karatsuba. [19] [20] Usando estas series, calcular la constante de Catalan es ahora casi tan rápido como calcular la constante de Apéry , . [21] ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)}

Otras series de convergencia rápida, debidas a Guillera y Pilehrood y empleadas por el software y-cruncher , incluyen: [21]

G = 1 2 ∑ k = 0 ∞ ( − 8 ) k ( 3 k + 2 ) ( 2 k + 1 ) 3 ( 2 k k ) 3 {\displaystyle G={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-8)^{k}(3k+2)}{(2k+1)^{3}{\binom {2k}{k}}^{3}}}}
G = 1 64 ∑ k = 1 ∞ 256 k ( 580 k 2 − 184 k + 15 ) k 3 ( 2 k − 1 ) ( 6 k 3 k ) ( 6 k 4 k ) ( 4 k 2 k ) {\displaystyle G={\frac {1}{64}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {256^{k}(580k^{2}-184k+15)}{k^{3}(2k-1){\binom {6k}{3k}}{\binom {6k}{4k}}{\binom {4k}{2k}}}}}
G = − 1 1024 ∑ k = 1 ∞ ( − 4096 ) k ( 45136 k 4 − 57184 k 3 + 21240 k 2 − 3160 k + 165 ) k 3 ( 2 k − 1 ) 3 ( ( 2 k ) ! 6 ( 3 k ) ! 3 k ! 3 ( 6 k ) ! 3 ) {\displaystyle G=-{\frac {1}{1024}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-4096)^{k}(45136k^{4}-57184k^{3}+21240k^{2}-3160k+165)}{k^{3}(2k-1)^{3}}}\left({\frac {(2k)!^{6}(3k)!^{3}}{k!^{3}(6k)!^{3}}}\right)}

Todas estas series tienen complejidad temporal . [21] O ( n log ⁡ ( n ) 3 ) {\displaystyle O(n\log(n)^{3})}

Identidades integrales

Como escribe Seán Stewart, "Existe una fuente rica y aparentemente interminable de integrales definidas que pueden equipararse o expresarse en términos de la constante de Catalan". [22] Algunas de estas expresiones incluyen: G = − 1 π i ∫ 0 π 2 ln ⁡ ln ⁡ tan ⁡ x ln ⁡ tan ⁡ x d x G = ∬ [ 0 , 1 ] 2 1 1 + x 2 y 2 d x d y G = ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x 1 1 − x 2 − y 2 d y d x G = ∫ 1 ∞ ln ⁡ t 1 + t 2 d t G = − ∫ 0 1 ln ⁡ t 1 + t 2 d t G = 1 2 ∫ 0 π 2 t sin ⁡ t d t G = ∫ 0 π 4 ln ⁡ cot ⁡ t d t G = 1 2 ∫ 0 π 2 ln ⁡ ( sec ⁡ t + tan ⁡ t ) d t G = ∫ 0 1 arccos ⁡ t 1 + t 2 d t G = ∫ 0 1 arcsinh ⁡ t 1 − t 2 d t G = 1 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ t t 1 + t 2 d t G = 1 2 ∫ 0 1 arctanh ⁡ t 1 − t 2 d t G = ∫ 0 ∞ arccot ⁡ e t d t G = 1 4 ∫ 0 π 2 / 4 csc ⁡ t d t G = 1 16 ( π 2 + 4 ∫ 1 ∞ arccsc 2 ⁡ t d t ) G = 1 2 ∫ 0 ∞ t cosh ⁡ t d t G = π 2 ∫ 1 ∞ ( t 4 − 6 t 2 + 1 ) ln ⁡ ln ⁡ t ( 1 + t 2 ) 3 d t G = 1 2 ∫ 0 ∞ arcsin ⁡ ( sin ⁡ t ) t d t G = 1 + lim α → 1 − { ∫ 0 α ( 1 + 6 t 2 + t 4 ) arctan ⁡ t t ( 1 − t 2 ) 2 d t + 2 artanh ⁡ α − π α 1 − α 2 } G = 1 − 1 8 ∬ R 2 x sin ⁡ ( 2 x y / π ) ( x 2 + π 2 ) cosh ⁡ x sinh ⁡ y d x d y G = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ x 4 ( x y − 1 ) ( x + 1 ) 2 y 4 ( y + 1 ) 2 log ⁡ ( x y ) d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}G&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \ln \tan x\ln \tan x\,dx\\[3pt]G&=\iint _{[0,1]^{2}}\!{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}{\frac {1}{1-x^{2}-y^{2}}}\,dy\,dx\\[3pt]G&=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \cot t\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \left(\sec t+\tan t\right)\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsinh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {arctan} t}{t{\sqrt {1+t^{2}}}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arctanh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {arccot} e^{t}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{4}}\int _{0}^{{\pi ^{2}}/{4}}\csc {\sqrt {t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{16}}\left(\pi ^{2}+4\int _{1}^{\infty }\operatorname {arccsc} ^{2}t\,dt\right)\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\cosh t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\left(t^{4}-6t^{2}+1\right)\ln \ln t}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\arcsin \left(\sin t\right)}{t}}\,dt\\[3pt]G&=1+\lim _{\alpha \to {1^{-}}}\!\left\{\int _{0}^{\alpha }\!{\frac {\left(1+6t^{2}+t^{4}\right)\arctan {t}}{t\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt+2\operatorname {artanh} {\alpha }-{\frac {\pi \alpha }{1-\alpha ^{2}}}\right\}\\[3pt]G&=1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\!\!{\frac {x\sin \left(2xy/\pi \right)}{\,\left(x^{2}+\pi ^{2}\right)\cosh x\sinh y\,}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt[{4}]{x}}\left({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}-1\right)}{(x+1)^{2}{\sqrt[{4}]{y}}(y+1)^{2}\log(xy)}}dxdy\end{aligned}}}

donde las tres últimas fórmulas están relacionadas con las integrales de Malmsten . [23]

Si K( k ) es la integral elíptica completa de primer tipo , en función del módulo elíptico k , entonces G = 1 2 ∫ 0 1 K ( k ) d k {\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,dk}

Si E( k ) es la integral elíptica completa de segundo tipo , en función del módulo elíptico k , entonces G = − 1 2 + ∫ 0 1 E ( k ) d k {\displaystyle G=-{\tfrac {1}{2}}+\int _{0}^{1}\mathrm {E} (k)\,dk}

Con la función gamma Γ( x + 1) = x ! G = π 4 ∫ 0 1 Γ ( 1 + x 2 ) Γ ( 1 − x 2 ) d x = π 2 ∫ 0 1 2 Γ ( 1 + y ) Γ ( 1 − y ) d y {\displaystyle {\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {x}{2}}\right)\,dx\\&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\frac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy\end{aligned}}}

La integral es una función especial conocida, llamada integral tangente inversa , y fue ampliamente estudiada por Srinivasa Ramanujan . G = Ti 2 ⁡ ( 1 ) = ∫ 0 1 arctan ⁡ t t d t {\displaystyle G=\operatorname {Ti} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt}

Relación con funciones especiales

G aparece en valores de la segunda función poligamma , también llamada función trigamma , en argumentos fraccionarios: [16]

ψ 1 ( 1 4 ) = π 2 + 8 G ψ 1 ( 3 4 ) = π 2 − 8 G . {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\\\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&=\pi ^{2}-8G.\end{aligned}}}

Simon Plouffe da una colección infinita de identidades entre la función trigamma, π 2 y la constante de Catalan; estas se pueden expresar como trayectorias en un gráfico.

La constante de Catalan aparece frecuentemente en relación con la función de Clausen , la integral de la tangente inversa , la integral del seno inversa, la función G de Barnes , así como en integrales y series sumables en términos de las funciones antes mencionadas.

Como ejemplo particular, al expresar primero la integral tangente inversa en su forma cerrada –en términos de funciones de Clausen– y luego expresar esas funciones de Clausen en términos de la función G de Barnes , se obtiene la siguiente expresión (ver función de Clausen para más información):

G = 4 π log ⁡ ( G ( 3 8 ) G ( 7 8 ) G ( 1 8 ) G ( 5 8 ) ) + 4 π log ⁡ ( Γ ( 3 8 ) Γ ( 1 8 ) ) + π 2 log ⁡ ( 1 + 2 2 ( 2 − 2 ) ) . {\displaystyle G=4\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {3}{8}}\right)G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)G\left({\frac {5}{8}}\right)}}\right)+4\pi \log \left({\frac {\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\log \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}\right).}

Si se define la función trascendente de Lerch Φ( z , s , α ) (relacionada con la función zeta de Lerch ) entonces Φ ( z , s , α ) = ∑ n = 0 ∞ z n ( n + α ) s , {\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}},} G = 1 4 Φ ( − 1 , 2 , 1 2 ) . {\displaystyle G={\tfrac {1}{4}}\Phi \left(-1,2,{\tfrac {1}{2}}\right).}

Fracción continua

G se puede expresar de la siguiente forma: [24]

G = 1 1 + 1 4 8 + 3 4 16 + 5 4 24 + 7 4 32 + 9 4 40 + ⋱ {\displaystyle G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{4}}{8+{\cfrac {3^{4}}{16+{\cfrac {5^{4}}{24+{\cfrac {7^{4}}{32+{\cfrac {9^{4}}{40+\ddots }}}}}}}}}}}}}

La fracción continua simple viene dada por: [25]

G = 1 1 + 1 10 + 1 1 + 1 8 + 1 1 + 1 88 + ⋱ {\displaystyle G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{88+\ddots }}}}}}}}}}}}}

Esta fracción continua tendría términos infinitos si y sólo si es irracional, lo cual aún está sin resolver. G {\displaystyle G}

Dígitos conocidos

El número de dígitos conocidos de la constante G de Catalan ha aumentado drásticamente durante las últimas décadas. Esto se debe tanto al aumento del rendimiento de los ordenadores como a las mejoras algorítmicas. [26]

Véase también

Referencias

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Lectura adicional

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