Teoría de categorías

Una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$Consta de las siguientes tres entidades matemáticas:

• Una clase${\displaystyle {\text{ob}}({\mathcal {C}})}$, cuyos elementos se denominan objetos ;
• Una clase${\displaystyle {\text{hom}}({\mathcal {C}})}$, cuyos elementos se denominan morfismos , aplicaciones o flechas .

  Cada morfismo${\displaystyle f}$tiene un objeto de origen${\displaystyle a}$y objeto objetivo${\displaystyle b}$.

  La expresión${\displaystyle f\colon a\rightarrow b}$se expresaría verbalmente como "${\displaystyle f}$es un morfismo de a a b ".

  La expresión${\displaystyle {\text{hom}}(a,b)}$– expresado alternativamente como${\displaystyle {\text{hom}}_{\mathcal {C}}(a,b)}$,${\displaystyle {\text{mor}}(a,b)}$, o${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$– denota la clase hom de todos los morfismos de${\displaystyle a}$a${\displaystyle b}$. ^{[ a ]}

• Una operación binaria${\displaystyle \circ }$, llamada composición de morfismos , tal que para cualesquiera tres objetos a , b , y c , tenemos$${\displaystyle \circ \colon {\text{hom}}(b,c)\times {\text{hom}}(a,b)\to {\text{hom}}(a,c)}$$La composición de${\displaystyle f\colon a\rightarrow b}$y${\displaystyle g\colon b\rightarrow c}$se escribe como${\displaystyle g\circ f}$o${\displaystyle gf}$, ^{[ b ]} regida por dos axiomas:
  1. Asociatividad : Si${\displaystyle f\colon a\rightarrow b}$,${\displaystyle g\colon b\rightarrow c}$, y${\displaystyle h\colon c\rightarrow d}$entonces$${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$$
  2. Identidad : Para cada objeto x , existe un morfismo${\displaystyle 1_{x}\colon x\rightarrow x}$(también denotado como${\displaystyle {\text{id}}_{x}}$) llamado morfismo identidad para x , tal que para cada morfismo${\displaystyle f\colon a\rightarrow b}$, tenemos$${\displaystyle 1_{b}\circ f=f=f\circ 1_{a}}$$

     A partir de los axiomas, se puede demostrar que existe exactamente un morfismo identidad para cada objeto.

Las relaciones entre morfismos (como fg = h ) se suelen representar mediante diagramas conmutativos , donde los "puntos" (esquinas) representan objetos y las "flechas" representan morfismos.

Los morfismos pueden tener cualquiera de las siguientes propiedades. Un morfismo f  : a → b es:

• un monomorfismo (o mónico ) si f ∘ g ₁ = f ∘ g ₂ implica g ₁ = g ₂ para todos los morfismos g ₁ , g ₂  : x → a .
• un epimorfismo (o epic ) si g ₁ ∘ f = g ₂ ∘ f implica g ₁ = g ₂ para todos los morfismos g ₁ , g ₂  : b → x .
• un bimorfismo si f es a la vez épico y mónico.
• un isomorfismo si existe un morfismo g  : b → a tal que f ∘ g = 1 _b y g ∘ f = 1 _a . ^{[ c ]}
• un endomorfismo si a = b . end( a ) denota la clase de endomorfismos de a .
• un automorfismo si f es a la vez un endomorfismo y un isomorfismo. aut( a ) denota la clase de automorfismos de a .
• una retracción si existe un inverso derecho de f , es decir, si existe un morfismo g  : b → a con f ∘ g = 1 _b .
• una sección si existe un inverso izquierdo de f , es decir, si existe un morfismo g  : b → a con g ∘ f = 1 _a .

Toda retracción es un epimorfismo, y toda sección es un monomorfismo. Además, las siguientes tres afirmaciones son equivalentes:

• f es un monomorfismo y una retracción;
• f es un epimorfismo y una sección;
• f es un isomorfismo.

Utilizando el lenguaje de la teoría de categorías, se pueden categorizar muchas áreas de estudio matemático. Las categorías incluyen conjuntos, grupos y topologías.

Cada categoría se distingue por propiedades comunes a todos sus objetos, como el conjunto vacío o el producto de dos topologías . Sin embargo, en la definición de una categoría, los objetos se consideran atómicos; es decir, desconocemos si un objeto A es un conjunto, una topología o cualquier otro concepto abstracto. Por lo tanto, el reto consiste en definir objetos específicos sin hacer referencia a su estructura interna. Para definir el conjunto vacío sin mencionar elementos, o la topología producto sin mencionar conjuntos abiertos, se pueden caracterizar estos objetos en función de sus relaciones con otros objetos, según lo establecido por los morfismos de las categorías respectivas. Así pues, la tarea consiste en encontrar propiedades universales que determinen de forma unívoca los objetos de interés.

Numerosas construcciones importantes pueden describirse de forma puramente categórica si el límite de la categoría puede desarrollarse y dualizarse para dar lugar a la noción de colímite .

Es natural preguntarse: ¿bajo qué condiciones dos categorías pueden considerarse esencialmente iguales , en el sentido de que los teoremas sobre una categoría se pueden transformar fácilmente en teoremas sobre la otra? La principal herramienta que se emplea para describir esta situación se denomina equivalencia de categorías , la cual se define mediante functores apropiados entre dos categorías. La equivalencia categórica ha encontrado numerosas aplicaciones en matemáticas.

Las definiciones de categorías y functores solo ofrecen los fundamentos del álgebra categórica; a continuación se enumeran otros temas importantes. Si bien existen fuertes interrelaciones entre todos estos temas, el orden presentado puede considerarse una guía para lecturas posteriores.

• La categoría de funtores D ^C tiene como objetos los funtores de C a D y como morfismos las transformaciones naturales de dichos funtores. El lema de Yoneda es uno de los resultados básicos más famosos de la teoría de categorías; describe los funtores representables en categorías de funtores.
• Dualidad : En teoría de categorías, cada enunciado, teorema o definición tiene un dual que se obtiene esencialmente invirtiendo el orden de las proposiciones. Si un enunciado es verdadero en una categoría C, entonces su dual es verdadero en la categoría dual C ^op . Esta dualidad, que resulta evidente en el ámbito de la teoría de categorías, suele pasar desapercibida en las aplicaciones y puede dar lugar a relaciones sorprendentes.
• Funtores adjuntos : Un funtor puede ser adjunto por la izquierda (o por la derecha) de otro funtor que realiza la función en sentido contrario. Este par de funtores adjuntos suele surgir de una construcción definida por una propiedad universal; esto puede considerarse una visión más abstracta y potente de las propiedades universales.

Muchos de los conceptos anteriores, especialmente la equivalencia de categorías, los pares de funtores adjuntos y las categorías de funtores, pueden situarse en el contexto de categorías de dimensiones superiores . En resumen, si consideramos un morfismo entre dos objetos como un "proceso que nos lleva de un objeto a otro", entonces las categorías de dimensiones superiores nos permiten generalizar provechosamente este concepto al considerar "procesos de dimensiones superiores".

Por ejemplo, una 2-categoría (estricta) es una categoría junto con "morfismos entre morfismos", es decir, procesos que nos permiten transformar un morfismo en otro. Podemos entonces "componer" estos "bimorfismos" tanto horizontal como verticalmente, y requerimos que se cumpla una "ley de intercambio" bidimensional que relacione las dos leyes de composición. En este contexto, el ejemplo estándar es Cat , la 2-categoría de todas las categorías (pequeñas), y en este ejemplo, los bimorfismos de morfismos son simplemente transformaciones naturales de morfismos en el sentido usual. Otro ejemplo básico es considerar una 2-categoría con un solo objeto; estas son esencialmente categorías monoidales . Las bicategorías son una noción más débil de categorías bidimensionales en la que la composición de morfismos no es estrictamente asociativa, sino solo asociativa "salvo" un isomorfismo.

Este proceso puede extenderse a todos los números naturales n , y estos se denominan n -categorías . Incluso existe una noción de ω-categoría que corresponde al número ordinal ω .

Las categorías de dimensiones superiores forman parte del campo matemático más amplio del álgebra de dimensiones superiores , un concepto introducido por Ronald Brown .