Categoría de conjuntos

En el campo matemático de la teoría de categorías , la categoría de conjuntos , denotada por Set , es la categoría cuyos objetos son conjuntos . Las flechas o morfismos entre conjuntos A y B son las funciones de A a B , y la composición de morfismos es la composición de funciones .

Muchas otras categorías (como la categoría de grupos , con homomorfismos de grupo como flechas) añaden estructura a los objetos de la categoría de conjuntos o restringen las flechas a funciones de un tipo particular (o ambas cosas).

Los axiomas de una categoría se satisfacen con Set porque la composición de funciones es asociativa y porque cada conjunto X tiene una función identidad id _X  : X → X que sirve como elemento identidad para la composición de funciones.

En el conjunto , los epimorfismos son las aplicaciones sobreyectivas , los monomorfismos son las aplicaciones inyectivas y los isomorfismos son las aplicaciones biyectivas .

El conjunto vacío sirve como objeto inicial en Set , con funciones vacías como morfismos. Cada singleton es un objeto terminal , con las funciones que mapean todos los elementos de los conjuntos fuente al único elemento destino como morfismos. Por lo tanto, no hay objetos cero en Set .

La categoría Conjunto es completa y cocompleta . El producto en esta categoría viene dado por el producto cartesiano de conjuntos. El coproducto viene dado por la unión disjunta : dados conjuntos A _i donde i recorre algún conjunto de índices I , construimos el coproducto como la unión de A _i × { i } (el producto cartesiano con i sirve para asegurar que todos los componentes permanezcan disjuntos).

El conjunto es el prototipo de una categoría concreta ; otras categorías son concretas si están "construidas sobre" el conjunto de alguna manera bien definida.

Cada conjunto de dos elementos sirve como clasificador de subobjetos en Set . El objeto potencia de un conjunto A viene dado por su conjunto potencia , y el objeto exponencial de los conjuntos A y B viene dado por el conjunto de todas las funciones de A a B. Set es, por lo tanto , un topos elemental (y en particular cartesiano cerrado y exacto en el sentido de Barr ). De hecho, es el ejemplo principal de un topos de Grothendieck , al ser la categoría de haces en el espacio topológico de un punto.

El conjunto no es abeliano , aditivo ni preaditivo .

Todo conjunto no vacío es un objeto inyectivo en Set . Todo conjunto es un objeto proyectivo en Set (suponiendo el axioma de elección ).

Los objetos finitamente presentables en Set son los conjuntos finitos. Dado que cada conjunto es un límite directo de sus subconjuntos finitos, la categoría Set es una categoría localmente finitamente presentable .

Si C es una categoría arbitraria, los functores contravariantes de C a Set suelen ser un objeto de estudio importante. Si A es un objeto de C , entonces el functor de C a Set que envía X a Hom _C ( X , A ) (el conjunto de morfismos en C de X a A ) es un ejemplo de dicho functor. Si C es una categoría pequeña (es decir, la colección de sus objetos forma un conjunto), entonces los functores contravariantes de C a Set , junto con las transformaciones naturales como morfismos, forman una nueva categoría, una categoría de functores conocida como la categoría de prehaces en C.

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la colección de todos los conjuntos no es un conjunto; esto se deduce del axioma de fundación . A las colecciones que no son conjuntos se las denomina clases propias . No se pueden tratar las clases propias como se tratan los conjuntos; en particular, no se puede escribir que esas clases propias pertenezcan a una colección (ya sea un conjunto o una clase propia). Esto supone un problema porque implica que la categoría de conjuntos no puede formalizarse directamente en este contexto. Las categorías como Conjunto , cuya colección de objetos forma una clase propia, se conocen como categorías grandes , para distinguirlas de las categorías pequeñas cuyos objetos forman un conjunto.

Una forma de resolver el problema es trabajar en un sistema que otorgue estatus formal a las clases propias, como la teoría de conjuntos NBG . En este contexto, se dice que las categorías formadas a partir de conjuntos son pequeñas y aquellas (como Set ) que se forman a partir de clases propias se consideran grandes .

Otra solución es asumir la existencia de universos de Grothendieck . En términos generales, un universo de Grothendieck es un conjunto que es en sí mismo un modelo de ZF(C) (por ejemplo, si un conjunto pertenece a un universo, sus elementos y su conjunto potencia pertenecerán al universo). La existencia de universos de Grothendieck (aparte del conjunto vacío y el conjunto${\displaystyle V_{\omega }}$La existencia de conjuntos hereditariamente finitos no está implícita en los axiomas habituales de ZF; es un axioma adicional e independiente, aproximadamente equivalente a la existencia de cardinales fuertemente inaccesibles . Suponiendo este axioma adicional, se pueden limitar los objetos de Set a los elementos de un universo particular. (No existe un "conjunto de todos los conjuntos" dentro del modelo, pero aún se puede razonar sobre la clase U de todos los conjuntos internos, es decir, los elementos de U ).

En una variante de este esquema, la clase de conjuntos es la unión de toda la torre de universos de Grothendieck. (Esta es necesariamente una clase propia , pero cada universo de Grothendieck es un conjunto porque es un elemento de algún universo de Grothendieck mayor). Sin embargo, no se trabaja directamente con la "categoría de todos los conjuntos". En cambio, los teoremas se expresan en términos de la categoría Conjunto _U cuyos objetos son los elementos de un universo de Grothendieck U suficientemente grande , y luego se demuestra que no dependen de la elección particular de U. Como fundamento para la teoría de categorías , este enfoque se ajusta bien a un sistema como la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck en la que no se puede razonar directamente sobre clases propias; su principal desventaja es que un teorema puede ser verdadero para todo Conjunto _U pero no para Conjunto .

Se han propuesto otras soluciones y variaciones de las anteriores. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Los mismos problemas surgen con otras categorías concretas, como la categoría de grupos o la categoría de espacios topológicos .

• Categoría de espacios topológicos
• teoría de conjuntos
• Conjunto pequeño (teoría de categorías)
• Categoría de espacios medibles
• Teoría elemental de la categoría de conjuntos

• A231344 Número de morfismos en subcategorías completas de Set generados por {{}, {1}, {1, 2}, ..., {1, 2, ..., n}}     en OEIS .