teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel

Las clases tienen varios usos en NBG:

• Producen una axiomatización finita de la teoría de conjuntos. ^{[ 4 ]}
• Se utilizan para enunciar una "forma muy fuerte del axioma de elección " ^{[ 5 ]} , a saber, el axioma de elección global : Existe una función de elección global.${\displaystyle G}$definido en la clase de todos los conjuntos no vacíos tales que${\displaystyle G(x)\in x}$para cada conjunto no vacío${\displaystyle x.}$Esto es más fuerte que el axioma de elección de ZFC: Para cada conjunto${\displaystyle s}$de conjuntos no vacíos, existe una función de elección${\displaystyle f}$definido en${\displaystyle s}$de tal manera que${\displaystyle f(x)\in x}$a pesar de${\displaystyle x\in s.}$^{[ a ]}
• Las paradojas de la teoría de conjuntos se abordan reconociendo que algunas clases no pueden ser conjuntos. Por ejemplo, supongamos que la clase${\displaystyle Ord}$de todos los ordinales es un conjunto. Entonces${\displaystyle Ord}$es un conjunto transitivo bien ordenado por${\displaystyle \in }$. Por lo tanto, por definición,${\displaystyle Ord}$es un ordinal. Por lo tanto,${\displaystyle Ord\in Ord}$, lo cual contradice${\displaystyle \in }$ser un buen orden de${\displaystyle Ord.}$Por lo tanto,${\displaystyle Ord}$no es un conjunto. Una clase que no es un conjunto se llama clase propia ;${\displaystyle Ord}$es una clase propia. ^{[ 6 ]}
• Las clases propias son útiles en las construcciones. En su demostración de la consistencia relativa del axioma de elección global y la hipótesis del continuo generalizado , Gödel utilizó clases propias para construir el universo constructible . Construyó una función sobre la clase de todos los ordinales que, para cada ordinal, construye un conjunto constructible aplicando una operación de construcción de conjuntos a conjuntos previamente construidos. El universo constructible es la imagen de esta función. ^{[ 7 ]}

Una vez que se agregan clases al lenguaje de ZFC, es fácil transformar ZFC en una teoría de conjuntos con clases. Primero, se agrega el esquema axiomático de comprensión de clases. Este esquema axiomático establece: Para cada fórmula${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$que cuantifica solo sobre conjuntos, existe una clase${\displaystyle A}$compuesto por${\displaystyle n}$- tuplas que satisfacen la fórmula—es decir,${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})].}$Luego, el esquema axiomático de reemplazo se reemplaza por un único axioma que utiliza una clase. Finalmente, el axioma de extensionalidad de ZFC se modifica para manejar clases: si dos clases tienen los mismos elementos, entonces son idénticas. Los demás axiomas de ZFC no se modifican. ^{[ 8 ]}

Esta teoría no está axiomatizada de forma finita. El esquema de reemplazo de ZFC ha sido sustituido por un único axioma, pero se ha introducido el esquema axiomático de comprensión de clases.

Para producir una teoría con un número finito de axiomas, el esquema axiomático de comprensión de clases se reemplaza primero con un número finito de axiomas de existencia de clases . Luego, estos axiomas se utilizan para demostrar el teorema de existencia de clases, que implica cada instancia del esquema axiomático. ^{[ 8 ]} La demostración de este teorema requiere solo siete axiomas de existencia de clases, que se utilizan para convertir la construcción de una fórmula en la construcción de una clase que satisface dicha fórmula.

NBG tiene dos tipos de objetos: clases y conjuntos. Intuitivamente, todo conjunto es también una clase. Hay dos maneras de axiomatizar esto. Bernays utilizó lógica de múltiples tipos con dos tipos: clases y conjuntos. ^{[ 2 ]} Gödel evitó los tipos introduciendo predicados primitivos:${\displaystyle {\mathfrak {Cls}}(A)}$para "${\displaystyle A}$es una clase" y${\displaystyle {\mathfrak {M}}(A)}$para "${\displaystyle A}$es un conjunto" (en alemán, "conjunto" es Menge ). También introdujo axiomas que establecen que todo conjunto es una clase y que si la clase${\displaystyle A}$es miembro de una clase, entonces${\displaystyle A}$es un conjunto. ^{[ 9 ]} El uso de predicados es la forma estándar de eliminar las clases. Elliott Mendelson modificó el enfoque de Gödel al hacer que todo sea una clase y definir el predicado de conjunto.${\displaystyle M(A)}$como${\displaystyle \exists C(A\in C).}$^{[ 10 ]} Esta modificación elimina el predicado de clase de Gödel y sus dos axiomas.

El enfoque de Bernays de dos tipos puede parecer más natural al principio, pero crea una teoría más compleja. ^{[ b ]} En la teoría de Bernays, cada conjunto tiene dos representaciones: una como conjunto y la otra como clase. Además, hay dos relaciones de pertenencia : la primera, denotada por "∈", es entre dos conjuntos; la segunda, denotada por "η", es entre un conjunto y una clase. ^{[ 2 ]} Esta redundancia es necesaria para la lógica de muchos tipos porque las variables de diferentes tipos abarcan subdominios disjuntos del dominio del discurso .

Las diferencias entre estos dos enfoques no afectan lo que se puede probar, pero sí afectan la forma en que se escriben las afirmaciones. En el enfoque de Gödel,${\displaystyle A\in C}$dónde${\displaystyle A}$y${\displaystyle C}$son clases es una afirmación válida. En el enfoque de Bernays esta afirmación no tiene significado. Sin embargo, si${\displaystyle A}$es un conjunto, existe una declaración equivalente: Definir "conjunto"${\displaystyle a}$representa la clase${\displaystyle A}$" si tienen los mismos conjuntos como miembros, es decir,${\displaystyle \forall x(x\in a\iff x\;\eta \;A).}$La declaración${\displaystyle a\;\eta \;C}$donde se establece${\displaystyle a}$representa la clase${\displaystyle A}$es equivalente al de Gödel${\displaystyle A\in C.}$^{[ 2 ]}

El enfoque adoptado en este artículo es el de Gödel con la modificación de Mendelson. Esto significa que NBG es un sistema axiomático en lógica de predicados de primer orden con igualdad , y sus únicas nociones primitivas son las de clases y la relación de pertenencia.

Un conjunto es una clase que pertenece al menos a una clase:${\displaystyle A}$es un conjunto si y solo si${\displaystyle \exists C(A\in C)}$Una clase que no es un conjunto se denomina clase propia:${\displaystyle A}$es una clase apropiada si y solo si${\displaystyle \forall C(A\notin C)}$. ^{[ 12 ]} Por lo tanto, toda clase es un conjunto o una clase propia, y ninguna clase es ambas cosas.

Gödel introdujo la convención de que las variables en mayúscula abarcan clases, mientras que las variables en minúscula abarcan conjuntos. ^{[ 9 ]} Gödel también utilizó nombres que comienzan con una letra mayúscula para denotar clases particulares, incluidas funciones y relaciones definidas en la clase de todos los conjuntos. La convención de Gödel se utiliza en este artículo. Nos permite escribir:

Los siguientes axiomas y definiciones son necesarios para la demostración del teorema de existencia de clases.

Axioma de extensionalidad. Si dos clases tienen los mismos elementos, entonces son idénticas.

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,[\forall x(x\in A\iff x\in B)\implies A=B]}$^{[ 13 ]}

Este axioma generaliza el axioma de extensionalidad de ZFC a las clases.

Axioma de emparejamiento . Si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son conjuntos, entonces existe un conjunto${\displaystyle p}$cuyos únicos miembros son${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$.

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,\exists p\,\forall z\,[z\in p\iff (z=x\,\lor \,z=y)]}$^{[ 14 ]}

Como en ZFC, el axioma de extensionalidad implica la unicidad del conjunto.${\displaystyle p}$, lo que nos permite introducir la notación${\displaystyle \{x,y\}.}$

Los pares ordenados se definen por:

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$

Las tuplas se definen inductivamente utilizando pares ordenados:

${\displaystyle (x_{1})=x_{1},}$

${\displaystyle {\text{For }}n>1\!:(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-1}),x_{n}).}$^{[ c ]}

Se utilizarán axiomas de existencia de clases para probar el teorema de existencia de clases: Para cada fórmula en${\displaystyle n}$variables de conjunto libres que cuantifican solo sobre conjuntos, existe una clase de${\displaystyle n}$-tuplas que lo satisfacen. El siguiente ejemplo parte de dos clases que son funciones y construye una función compuesta . Este ejemplo ilustra las técnicas necesarias para demostrar el teorema de existencia de clases, que conducen a los axiomas de existencia de clases necesarios.

Los axiomas de existencia de clases se dividen en dos grupos: axiomas que manejan primitivas del lenguaje y axiomas que manejan tuplas. Hay cuatro axiomas en el primer grupo y tres en el segundo. ^{[ d ]}

Axiomas para el manejo de primitivas del lenguaje:

Membresía. Existe una clase${\displaystyle E}$que contiene todos los pares ordenados cuyo primer componente es un miembro del segundo componente.

${\displaystyle \exists E\,\forall x\,\forall y\,[(x,y)\in E\iff x\in y]\!}$^{[ 18 ]}

Intersección (conjunción). Para cualesquiera dos clases${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, hay una clase${\displaystyle C}$que consiste precisamente en los conjuntos que pertenecen a ambos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$.

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall x\,[x\in C\iff (x\in A\,\land \,x\in B)]}$^{[ 19 ]}

Complemento (negación). Para cualquier clase${\displaystyle A}$, hay una clase${\displaystyle B}$que consiste precisamente en los conjuntos que no pertenecen a${\displaystyle A}$.

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \neg (x\in A)]}$^{[ 20 ]}

Dominio (cuantificador existencial). Para cualquier clase${\displaystyle A}$, hay una clase${\displaystyle B}$que consiste precisamente en los primeros componentes de los pares ordenados de${\displaystyle A}$.

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \exists y((x,y)\in A)]}$^{[ 21 ]}

Por el axioma de extensionalidad, clase${\displaystyle C}$en el axioma de intersección y clase${\displaystyle B}$En el complemento y los axiomas de dominio son únicos. Se denotarán por:${\displaystyle A\cap B,}$${\displaystyle \complement (A),}$y${\displaystyle Dom(A),}$respectivamente. ^{[ e ]}

Los tres primeros axiomas implican la existencia de la clase vacía y la clase de todos los conjuntos: El axioma de pertenencia implica la existencia de una clase${\displaystyle E.}$Los axiomas de intersección y complemento implican la existencia de${\displaystyle E\cap \complement (E)}$, que está vacía. Por el axioma de extensionalidad, esta clase es única; se denota por${\displaystyle \emptyset .}$El complemento de${\displaystyle \emptyset }$es la clase${\displaystyle V}$de todos los conjuntos, que también es único por extensionalidad. El predicado de conjunto${\displaystyle M(A)}$, que se definió como${\displaystyle \exists C(A\in C)}$, ahora se redefine como${\displaystyle A\in V}$para evitar cuantificar sobre clases.

Axiomas para el manejo de tuplas:

Producto de${\displaystyle V}$Para cualquier clase${\displaystyle A}$, hay una clase${\displaystyle B}$que consta de los pares ordenados cuyo primer componente pertenece a${\displaystyle A}$.

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\iff \exists x\,\exists y\,(u=(x,y)\land x\in A)]}$^{[ 23 ]}

Permutación circular . Para cualquier clase${\displaystyle A}$, hay una clase${\displaystyle B}$cuyas 3 - tuplas se obtienen aplicando la permutación circular${\displaystyle (y,z,x)\mapsto (x,y,z)}$a las 3 - tuplas de${\displaystyle A}$.

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (y,z,x)\in A]}$^{[ 24 ]}

Transposición . Para cualquier clase${\displaystyle A}$, hay una clase${\displaystyle B}$cuyas 3 - tuplas se obtienen transponiendo los dos últimos componentes de las 3 - tuplas de${\displaystyle A}$.

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (x,z,y)\in A]}$^{[ 25 ]}

Por extensionalidad, el producto por${\displaystyle V}$El axioma implica la existencia de una clase única, que se denota por${\displaystyle A\times V.}$Este axioma se utiliza para definir la clase.${\displaystyle V^{n}}$de todos${\displaystyle n}$-tuplas :${\displaystyle V^{1}=V}$y${\displaystyle V^{n+1}=V^{n}\times V.\,}$Si${\displaystyle A}$es una clase, la extensionalidad implica que${\displaystyle A\cap V^{n}}$es la clase única que consta de${\displaystyle n}$-tuplas de${\displaystyle A.}$Por ejemplo, el axioma de pertenencia produce una clase${\displaystyle E}$que pueden contener elementos que no son pares ordenados, mientras que la intersección${\displaystyle E\cap V^{2}}$contiene únicamente los pares ordenados de${\displaystyle E}$.

Los axiomas de permutación y transposición circulares no implican la existencia de clases únicas porque especifican solo las 3 - tuplas de clase${\displaystyle B.}$Al especificar las 3 - tuplas, estos axiomas también especifican la${\displaystyle n}$-tuplas para${\displaystyle n\geq 4}$desde:$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-2},x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-2}),x_{n-1},x_{n}).}$$Los axiomas para el manejo de tuplas y el axioma de dominio implican el siguiente lema, que se utiliza en la demostración del teorema de existencia de clases.

Se necesita un axioma más para demostrar el teorema de existencia de clases: el axioma de regularidad . Dado que la existencia de la clase vacía ha sido demostrada, se da el enunciado habitual de este axioma. ^{[ f ]}

Axioma de regularidad . Todo conjunto no vacío tiene al menos un elemento con el que no tiene ningún elemento en común. $${\displaystyle \forall a\,[a\neq \emptyset \implies \exists u(u\in a\land u\cap a=\emptyset )].}$$

Este axioma implica que un conjunto no puede pertenecerse a sí mismo: Supongamos que${\displaystyle x\in x}$y dejar${\displaystyle a=\{x\}.}$Entonces${\displaystyle x\cap a\neq \emptyset }$desde${\displaystyle x\in x\cap a.}$Esto contradice el axioma de regularidad porque${\displaystyle x}$es el único elemento en${\displaystyle a.}$Por lo tanto,${\displaystyle x\notin x.}$El axioma de regularidad también prohíbe las secuencias de pertenencia descendentes infinitas de conjuntos:$${\displaystyle \cdots \in x_{n+1}\in x_{n}\in \cdots \in x_{1}\in x_{0}.}$$

Gödel afirmó la regularidad para clases en lugar de para conjuntos en su monografía de 1940, que se basó en conferencias impartidas en 1938. ^{[ 26 ]} En 1939, demostró que la regularidad para conjuntos implica la regularidad para clases. ^{[ 27 ]}

La demostración del teorema se realizará en dos pasos:

1. Las reglas de transformación se utilizan para transformar la fórmula dada.${\displaystyle \phi }$en una fórmula equivalente que simplifica la parte inductiva de la demostración. Por ejemplo, los únicos símbolos lógicos en la fórmula transformada son${\displaystyle \neg }$,${\displaystyle \land }$, y${\displaystyle \exists }$, por lo que la inducción maneja símbolos lógicos con solo tres casos.
2. El teorema de existencia de clases se demuestra inductivamente para fórmulas transformadas. Guiados por la estructura de la fórmula transformada, los axiomas de existencia de clases se utilizan para producir la clase única de${\displaystyle n}$-tuplas que satisfacen la fórmula.

Reglas de transformación. En las reglas 1 y 2 a continuación,${\displaystyle \Delta }$y${\displaystyle \Gamma }$denotan variables de conjunto o de clase. Estas dos reglas eliminan todas las ocurrencias de variables de clase antes de una${\displaystyle \in }$y todas las ocurrencias de igualdad. Cada vez que se aplica la regla 1 o 2 a una subfórmula,${\displaystyle i}$se elige de modo que${\displaystyle z_{i}}$difiere de las otras variables en la fórmula actual. Las tres reglas se repiten hasta que no haya subfórmulas a las que se puedan aplicar. Esto produce una fórmula que se construye solo con${\displaystyle \neg }$,${\displaystyle \land }$,${\displaystyle \exists }$,${\displaystyle \in }$, variables de conjunto y variables de clase${\displaystyle Y_{k}}$dónde${\displaystyle Y_{k}}$no aparece antes de un${\displaystyle \in }$.

1. ${\displaystyle \,Y_{k}\in \Gamma }$se transforma en${\displaystyle \exists z_{i}(z_{i}=Y_{k}\,\land \,z_{i}\in \Gamma ).}$
2. La extensionalidad se utiliza para transformar${\displaystyle \Delta =\Gamma }$en${\displaystyle \forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ).}$
3. Las identidades lógicas se utilizan para transformar subfórmulas que contienen${\displaystyle \lor ,\implies ,\iff ,}$y${\displaystyle \forall }$a subfórmulas que solo utilizan${\displaystyle \neg ,\land ,}$y${\displaystyle \exists .}$

Reglas de transformación: variables ligadas . Considere la fórmula de la función compuesta del ejemplo 1 con sus variables de conjunto libre reemplazadas por${\displaystyle x_{1}}$y${\displaystyle x_{2}}$:${\displaystyle \exists t[(x_{1},t)\in F\,\land \,(t,x_{2})\in G].}$La prueba inductiva eliminará${\displaystyle \exists t}$, que produce la fórmula${\displaystyle (x_{1},t)\in F\land (t,x_{2})\in G.}$Sin embargo, dado que el teorema de existencia de clases se enuncia para variables subíndice, esta fórmula no tiene la forma esperada por la hipótesis de inducción . Este problema se resuelve reemplazando la variable.${\displaystyle t}$con${\displaystyle x_{3}.}$Las variables ligadas dentro de cuantificadores anidados se manejan incrementando el subíndice en uno por cada cuantificador sucesivo. Esto da lugar a la regla 4, que debe aplicarse después de las demás reglas, ya que las reglas 1 y 2 generan variables cuantificadas.

4. Si una fórmula no contiene variables de conjunto libre distintas de${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},}$luego variables vinculadas que están anidadas dentro${\displaystyle q}$Los cuantificadores se reemplazan por${\displaystyle x_{n+q}}$Estas variables tienen profundidad de anidamiento (cuantificador)${\displaystyle q}$.

Demostración del teorema de existencia de clases. La demostración comienza aplicando las reglas de transformación a la fórmula dada para obtener una fórmula transformada. Dado que esta fórmula es equivalente a la fórmula original, la demostración se completa probando el teorema de existencia de clases para fórmulas transformadas.

Gödel señaló que el teorema de existencia de clases «es un metateorema , es decir, un teorema sobre el sistema [NBG], no en el sistema…» ^{[ 30 ].} Es un teorema sobre NBG porque se demuestra en la metateoría por inducción sobre fórmulas de NBG. Además, su demostración —en lugar de invocar un número finito de axiomas de NBG— describe inductivamente cómo usar los axiomas de NBG para construir una clase que satisfaga una fórmula dada. Para cada fórmula, esta descripción puede convertirse en una demostración de existencia constructiva que está en NBG. Por lo tanto, este metateorema puede generar las demostraciones de NBG que reemplazan los usos del teorema de existencia de clases de NBG.

Un programa informático recursivo captura de forma concisa la construcción de una clase a partir de una fórmula dada. La definición de este programa no depende de la demostración del teorema de existencia de clases. Sin embargo, la demostración es necesaria para probar que la clase construida por el programa satisface la fórmula dada y se construye utilizando los axiomas. Este programa está escrito en pseudocódigo que utiliza una sentencia case al estilo de Pascal . ^{[ i ]}$${\displaystyle {\begin{array}{l}\mathbf {function} \;{\text{Class}}(\phi ,\,n)\\\quad {\begin{array}{rl}\mathbf {input} \!:\;\,&\phi {\text{ is a transformed formula of the form }}\phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m});\\&n{\text{ specifies that a class of }}n{\text{-tuples is returned.}}\\\;\;\;\;\mathbf {output} \!:\;\,&{\text{class }}A{\text{ of }}n{\text{-tuples satisfying }}\\&\,\forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})].\end{array}}\\\mathbf {begin} \\\quad \mathbf {case} \;\phi \;\mathbf {of} \\\qquad {\begin{alignedat}{2}x_{i}\in x_{j}:\;\;&\mathbf {return} \;\,E_{i,j,n};&&{\text{// }}E_{i,j,n}\;\,=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}\\x_{i}\in Y_{k}:\;\;&\mathbf {return} \;\,E_{i,Y_{k},n};&&{\text{// }}E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}\\\neg \psi$$ :\;\;&\mathbf {return} \;\,\complement _{V^{n}}{\text{Class}}(\psi ,\,n);&&{\text{// }}\complement _{V^{n}}{\text{Class}}(\psi ,\,n)=V^{n}\setminus {\text{Class}}(\psi ,\,n)\\\psi _{1}\land \psi _{2}:\;\;&\mathbf {return} \;\,{\text{Class}}(\psi _{1},\,n)\cap {\text{Class}}(\psi _{2},\,n);&&\\\;\;\;\;\,\exists x_{n+1}(\psi ):\;\;&\mathbf {return} \;\,Dom({\text{Class}}(\psi ,\,n+1));&&{\text{// }}x_{n+1}{\text{ es libre en }}\psi  ;{\text{ Clase}}(\psi ,\,n+1)\\&\ &&{\text{// devuelve una clase de }}(n+1){\text{-tuplas}}\end{alignedat}}\\\quad \mathbf {end} \\\mathbf {end} \end{array}}}

Dejar${\displaystyle \phi }$Sea la fórmula del ejemplo 2. La llamada a la función${\displaystyle A=Class(\phi ,1)}$genera la clase${\displaystyle A,}$que se compara a continuación con${\displaystyle \phi .}$Esto demuestra que la construcción de la clase${\displaystyle A}$refleja la construcción de su fórmula definitoria${\displaystyle \phi .}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\phi \;&&=\;\;\exists x_{2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \;\;\neg \;\;\;\;\exists x_{3}\;(x_{3}\!\in \!x_{2}))\,\land \;\;\,\exists x_{2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \;\;\,\exists x_{3}\,(x_{3}\!\in \!x_{2}\,\land \;\;\neg \;\;\;\;\exists x_{4}\;(x_{4}\!\in \!x_{3})))\\&A\;&&=Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \;\complement _{V^{2}}\,Dom\,(\;E_{3,2,3}\;))\,\cap \,Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \,Dom\,(\;\,E_{3,2,3}\;\cap \;\complement _{V^{3}}\,Dom\,(\;E_{4,3,4}\;)))\end{alignedat}}}$$

Gödel extendió el teorema de existencia de clases a fórmulas.${\displaystyle \phi }$que contienen relaciones sobre clases (como${\displaystyle Y_{1}\subseteq Y_{2}}$y la relación unaria${\displaystyle M(Y_{1})}$), clases especiales (como${\displaystyle Ord}$), y operaciones (como${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$y${\displaystyle x_{1}\cap Y_{1}}$). ^{[ 32 ]} Para extender el teorema de existencia de clases, las fórmulas que definen relaciones, clases especiales y operaciones deben cuantificar solo sobre conjuntos. Entonces${\displaystyle \phi }$puede transformarse en una fórmula equivalente que satisfaga la hipótesis del teorema de existencia de clases .

Las siguientes definiciones especifican cómo las fórmulas definen relaciones, clases especiales y operaciones:

1. Una relación${\displaystyle R}$se define por:${\displaystyle R(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
2. Una clase especial${\displaystyle C}$se define por:${\displaystyle u\in C\iff \psi _{C}(u).}$
3. Una operación${\displaystyle P}$se define por:${\displaystyle u\in P(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$

Un término se define por:

1. Las variables y las clases especiales son términos.
2. Si${\displaystyle P}$es una operación con${\displaystyle k}$argumentos y${\displaystyle \Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}}$son términos, entonces${\displaystyle P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})}$es un término.

Las siguientes reglas de transformación eliminan relaciones, clases especiales y operaciones. Cada vez que se aplica la regla 2b, 3b o 4 a una subfórmula,${\displaystyle i}$se elige de modo que${\displaystyle z_{i}}$difiere de las demás variables en la fórmula actual. Las reglas se repiten hasta que no haya subfórmulas a las que se puedan aplicar.${\displaystyle \,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k},\Gamma ,}$y${\displaystyle \Delta }$denotan términos.

1. Una relación${\displaystyle R(Z_{1},\dots ,Z_{k})}$es reemplazado por su fórmula definitoria${\displaystyle \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
2. Dejar${\displaystyle \psi _{C}(u)}$ser la fórmula definitoria para la clase especial${\displaystyle C.}$
   1. ${\displaystyle \Delta \in C}$es reemplazado por${\displaystyle \psi _{C}(\Delta ).}$
   2. ${\displaystyle C\in \Delta }$es reemplazado por${\displaystyle \exists z_{i}[z_{i}=C\land z_{i}\in \Delta ].}$
3. Dejar${\displaystyle \psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k})}$ser la fórmula definitoria para la operación${\displaystyle P(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
   1. ${\displaystyle \Delta \in P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})}$es reemplazado por${\displaystyle \psi _{P}(\Delta ,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}).}$
   2. ${\displaystyle P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\in \Delta }$es reemplazado por${\displaystyle \exists z_{i}[z_{i}=P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\land z_{i}\in \Delta ].}$
4. La extensionalidad se utiliza para transformar${\displaystyle \Delta =\Gamma }$en${\displaystyle \forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ).}$

Los axiomas de emparejamiento y regularidad, necesarios para la demostración del teorema de existencia de clases, se han presentado anteriormente. NBG contiene otros cuatro axiomas de conjuntos. Tres de estos axiomas tratan sobre operaciones de clases aplicadas a conjuntos.

Definición.${\displaystyle F}$es una función si$${\displaystyle F\subseteq V^{2}\land \forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y)\in F\,\land \,(x,z)\in F\implies y=z].}$$

En teoría de conjuntos, la definición de una función no requiere especificar su dominio o codominio (véase Función (teoría de conjuntos) ). La definición de función de NBG generaliza la definición de ZFC, pasando de un conjunto de pares ordenados a una clase de pares ordenados.

Las definiciones de ZFC de las operaciones de conjunto de imagen , unión y conjunto potencia también se generalizan a operaciones de clase. La imagen de clase${\displaystyle A}$bajo la función${\displaystyle F}$es${\displaystyle F[A]=\{y:\exists x(x\in A\,\land \,(x,y)\in F)\}.}$Esta definición no requiere que${\displaystyle A\subseteq Dom(F).}$La unión de clases${\displaystyle A}$es${\displaystyle \cup A=\{x:\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in A)\}.}$La clase poderosa de${\displaystyle A}$es${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{x:x\subseteq A\}.}$La versión extendida del teorema de existencia de clases implica la existencia de estas clases. Los axiomas de reemplazo, unión y conjunto potencia implican que cuando estas operaciones se aplican a conjuntos, producen conjuntos. ^{[ 34 ]}

Axioma de reemplazo. Si${\displaystyle F}$es una función y${\displaystyle a}$es un conjunto, entonces${\displaystyle F[a]}$, la imagen de${\displaystyle a}$bajo${\displaystyle F}$, es un conjunto. $${\displaystyle \forall F\,\forall a\,[F{\text{ is a function}}\implies \exists b\,\forall y\,(y\in b\iff \exists x(x\in a\,\land \,(x,y)\in F))].}$$

No tener el requisito${\displaystyle A\subseteq Dom(F)}$en la definición de${\displaystyle F[A]}$produce un axioma de reemplazo más fuerte, que se utiliza en la siguiente demostración.

Axioma de unión. Si${\displaystyle a}$es un conjunto, entonces hay un conjunto que contiene${\displaystyle \cup a.}$$${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,[\,\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in a)\implies x\in b\,].}$$

Axioma del conjunto potencia. Si${\displaystyle a}$es un conjunto, entonces hay un conjunto que contiene${\displaystyle {\mathcal {P}}(a).}$

${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,(x\subseteq a\implies x\in b).}$^{[ k ]}

Axioma del infinito. Existe un conjunto no vacío.${\displaystyle a}$de tal manera que para todos${\displaystyle x}$en${\displaystyle a}$, existe un${\displaystyle y}$en${\displaystyle a}$de tal manera que${\displaystyle x}$es un subconjunto propio de${\displaystyle y}$. $${\displaystyle \exists a\,[\exists u(u\in a)\,\land \,\forall x(x\in a\implies \exists y(y\in a\,\land \,x\subset y))].}$$

Los axiomas de infinito y reemplazo demuestran la existencia del conjunto vacío . En la discusión de los axiomas de existencia de clases , la existencia de la clase vacía${\displaystyle \emptyset }$Se demostró. Ahora demostramos que${\displaystyle \emptyset }$es un conjunto. Sea la función${\displaystyle F=\emptyset }$y dejar${\displaystyle a}$Sea el conjunto dado por el axioma del infinito. Por sustitución, la imagen de${\displaystyle a}$bajo${\displaystyle F}$, lo cual es igual a${\displaystyle \emptyset }$, es un conjunto.

El axioma de infinito de NBG está implícito en el axioma de infinito de ZFC :${\displaystyle \,\exists a\,[\emptyset \in a\,\land \,\forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)].\,}$El primer conjuntivo del axioma de ZFC,${\displaystyle \emptyset \in a}$, implica el primer conjuntivo del axioma de NBG. El segundo conjuntivo del axioma de ZFC,${\displaystyle \forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)}$, implica el segundo conjuntivo del axioma de NBG ya que${\displaystyle x\subset x\cup \{x\}.}$Para demostrar el axioma de infinito de ZFC a partir del axioma de infinito de NBG se requieren algunos de los otros axiomas de NBG (véase Axioma débil de infinito ). ^{[ l ]}

El concepto de clase permite que NBG tenga un axioma de elección más fuerte que ZFC. Una función de elección es una función${\displaystyle f}$definido en un conjunto${\displaystyle s}$de conjuntos no vacíos tales que${\displaystyle f(x)\in x}$a pesar de${\displaystyle x\in s.}$El axioma de elección de ZFC establece que existe una función de elección para cada conjunto de conjuntos no vacíos. Una función de elección global es una función${\displaystyle G}$definido en la clase de todos los conjuntos no vacíos tales que${\displaystyle G(x)\in x}$para cada conjunto no vacío${\displaystyle x.}$El axioma de elección global establece que existe una función de elección global. Este axioma implica el axioma de elección de ZFC ya que para cada conjunto${\displaystyle s}$de conjuntos no vacíos,${\displaystyle G\vert _{s}}$(la restricción de${\displaystyle G}$a${\displaystyle s}$) es una función de elección para${\displaystyle s.}$En 1964, William B. Easton demostró que la elección global es más fuerte que el axioma de elección al utilizar el método de forzamiento para construir un modelo que satisface el axioma de elección y todos los axiomas de NBG excepto el axioma de elección global. ^{[ 38 ]} El axioma de elección global es equivalente a que toda clase tenga un buen ordenamiento, mientras que el axioma de elección de ZFC es equivalente a que todo conjunto tenga un buen ordenamiento. ^{[ m ]}

Axioma de elección global. Existe una función que elige un elemento de cada conjunto no vacío.

${\displaystyle \exists G\,[G{\text{ is a function}}\,\land \forall x(x\neq \emptyset \implies \exists y(y\in x\land (x,y)\in G))].}$