Sistemas fermiónicos causales

Un sistema fermiónico causal de dimensión de espín${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$es un triple${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {F}},\rho )}$dónde

• ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$es un espacio de Hilbert complejo .
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es el conjunto de todos los operadores lineales autoadjuntos de rango finito en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$que (contando multiplicidades ) tienen como máximo${\displaystyle n}$positivo y como máximo${\displaystyle n}$valores propios negativos.
• ${\displaystyle \rho }$es una medida sobre${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

La medida${\displaystyle \rho }$se la conoce como la medida universal .

Como se explicará más adelante, esta definición es lo suficientemente rica como para codificar análogos de las estructuras matemáticas necesarias para formular teorías físicas. En particular, un sistema fermiónico causal da lugar a un espaciotiempo junto con estructuras adicionales que generalizan objetos como espinores , la métrica y la curvatura . Además, comprende objetos cuánticos como funciones de onda y un estado de Fock fermiónico . ^{[ 7 ]}

Inspirándose en la formulación lagrangiana de la teoría clásica de campos, la dinámica de un sistema fermiónico causal se describe mediante un principio variacional definido de la siguiente manera.

Dado un espacio de Hilbert${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle .|.\rangle _{\mathcal {H}})}$y la dimensión de giro${\displaystyle n}$, el conjunto${\displaystyle {\mathcal {F}}}$se define como arriba. Entonces, para cualquier${\displaystyle x,y\in {\mathcal {F}}}$, el producto${\displaystyle xy}$es un operador de rango como máximo${\displaystyle 2n}$No es necesariamente autoadjunto porque en general${\displaystyle (xy)^{*}=yx\neq xy}$Denotamos por los autovalores no triviales del operador${\displaystyle xy}$(contando multiplicidades algebraicas ) por

${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }.}$

Además, el peso espectral${\displaystyle |.|}$se define por

${\displaystyle |xy|=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|\quad {\text{y}}\quad {\big |}(xy)^{2}{\big |}=\sum _{i=1}^{2n}|\lambda _{i}^{xy}|^{2}{\,}.}$

El lagrangiano es introducido por

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)={\big |}(xy)^{2}{\big |}-{\frac {1}{2n}}{\,}|xy|^{2}={\frac {1}{4n}}\sum _{i,j=1}^{2n}{\big (}|\lambda _{i}^{xy}|-|\lambda _{j}^{xy}|{\big )}^{2}\geq 0{\,}.}$

La acción causal se define por

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}{\mathcal {L}}(x,y){\,}d\rho (x){\,}d\rho (y){\,}.}$

El principio de acción causal consiste en minimizar${\displaystyle {\mathcal {S}}}$bajo variaciones de${\displaystyle \rho }$dentro de la clase de medidas de Borel (positivas) bajo las siguientes restricciones:

• Restricción de acotación:${\displaystyle \iint _{{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}}|xy|^{2}{\,}d\rho (x){\,}d\rho (y)\leq C}$para alguna constante positiva${\displaystyle C}$.
• Restricción de traza:${\displaystyle \;\;\;\int _{\mathcal {F}}{\text{tr}}(x){\,}d\rho (x)}$se mantiene fijo.
• El volumen total${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$se conserva.

Aquí en${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathrm {L} }({\mathcal {H}})}$uno considera la topología inducida por la${\displaystyle \sup }$norma - en los operadores lineales acotados en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Las restricciones impiden la existencia de minimizadores triviales y garantizan la existencia, siempre que${\displaystyle {\mathcal {H}}}$es de dimensión finita. ^{[ 8 ]} Este principio variacional también tiene sentido en el caso de que el volumen total${\displaystyle \rho ({\mathcal {F}})}$es infinito si se consideran las variaciones${\displaystyle \delta \rho }$de variación limitada con${\displaystyle (\delta \rho )({\mathcal {F}})=0}$.

Para${\displaystyle x,y\in M}$, denotamos los autovalores no triviales del operador${\displaystyle xy}$(contando multiplicidades algebraicas ) por${\displaystyle \lambda _{1}^{xy},\ldots ,\lambda _{2n}^{xy}\in {\mathbb {C} }}$. Los puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$se definen como separados espacialmente si todos los${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$tienen el mismo valor absoluto. Están separados de forma temporal si el${\displaystyle \lambda _{j}^{xy}}$no todos tienen el mismo valor absoluto y todos son reales. En todos los demás casos, los puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$están separadas como la luz .

Esta noción de causalidad encaja con la "causalidad" de la acción causal anterior en el sentido de que si dos puntos espaciotemporales${\displaystyle x,y\in M}$están separados como el espacio, entonces el lagrangiano${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,y)}$Se desvanece. Esto corresponde a la noción física de causalidad según la cual los puntos espaciotemporales separados espacialmente no interactúan. Esta estructura causal es la razón de la noción de "causal" en los sistemas fermiónicos causales y en la acción causal.

Dejar${\displaystyle \pi _{x}}$denotamos la proyección ortogonal sobre el subespacio${\displaystyle S_{x}:=x({\mathcal {H}})\subset {\mathcal {H}}}$. Entonces el signo del funcional

${\displaystyle i{\text{Tr}}{\big (}x\,y\,\pi _{x}\,\pi _{y}-y\,x\,\pi _{y}\,\pi _{x})}$

distingue el futuro del pasado . A diferencia de la estructura de un conjunto parcialmente ordenado , la relación "se encuentra en el futuro de" generalmente no es transitiva. Pero sí lo es a escala macroscópica en ejemplos típicos. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Por cada${\displaystyle x\in M}$El espacio de espín se define por${\displaystyle S_{x}=x({\mathcal {H}})}$; es un subespacio de${\displaystyle {\mathcal {H}}}$de dimensión como máximo${\displaystyle 2n}$El producto escalar de espín${\displaystyle {\prec }\cdot |\cdot {\succ }_{x}}$definido por

${\displaystyle {\prec }u|v{\succ }_{x}=-{\langle }u|xv{\rangle }_{\mathcal {H}}\qquad {\text{for all }}u,v\in S_{x}}$

es un producto interno indefinido en${\displaystyle S_{x}}$de firma${\displaystyle (p,q)}$con${\displaystyle p,q\leq n}$.

Una función de onda${\displaystyle \psi }$es un mapeo

${\displaystyle \psi {\,}:{\,}M\rightarrow {\mathcal {H}}\qquad {\text{with}}\qquad \psi (x)\in S_{x}\quad {\text{for all }}x\in M{\,}.}$

Sobre funciones de onda para las cuales la norma${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$definido por

${\displaystyle {|\!|\!|}\psi {|\!|\!|}^{2}=\int _{M}\left\langle \psi (x){\bigg |}\,|x|\,\psi (x)\right\rangle _{\mathcal {H}}{\,}d\rho (x)}$

es finito (donde${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$es el valor absoluto del operador simétrico${\displaystyle x}$), se puede definir el producto interno

${\displaystyle {\mathopen {<}}\psi |\phi {\mathclose {>}}=\int _{M}{\prec }\psi (x)|\phi (x){\succ }_{x}{\,}d\rho (x){\,}.}$

Junto con la topología inducida por la norma${\displaystyle {|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}}$, se obtiene un espacio de Krein${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathopen {<}}\cdot |\cdot {\mathclose {>}})}$.

A cualquier vector${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$podemos asociar la función de onda

${\displaystyle \psi ^{u}(x):=\pi _{x}u}$

(dónde${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$es de nuevo la proyección ortogonal al espacio de espín). Esto da lugar a una distinguida familia de funciones de onda, denominadas funciones de onda de los estados ocupados .

El núcleo del proyector fermiónico${\displaystyle P(x,y)}$se define por

${\displaystyle P(x,y)=\pi _{x}\,y|_{S_{y}}{\,}:{\,}S_{y}\rightarrow S_{x}}$

(dónde${\displaystyle \pi _{x}:{\mathcal {H}}\rightarrow S_{x}}$es de nuevo la proyección ortogonal sobre el espacio de espín, y${\displaystyle |_{S_{y}}}$denota la restricción a${\displaystyle S_{y}}$). El proyector fermiónico${\displaystyle P}$es el operador

${\displaystyle P{\,}:{\,}{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {K}}{\,},\qquad (P\psi )(x)=\int _{M}P(x,y)\,\psi (y)\,d\rho (y){\,},}$

que tiene el dominio de definición denso dado por todos los vectores${\displaystyle \psi \in {\mathcal {K}}}$satisfaciendo las condiciones

${\displaystyle \phi$ :=\int _{M}x\,\psi (x)\,d\rho (x){\,}\in {\,}{\mathcal {H}}\quad {\text{y}}\quad {|\!|\!|}\phi {|\!|\!|}<\infty {\,}.}

Como consecuencia del principio de acción causal, el núcleo del proyector fermiónico tiene propiedades de normalización adicionales ^{[ 9 ]} que justifican el nombre de proyector .

Al ser un operador de un espacio de espín a otro, el núcleo del proyector fermiónico da relaciones entre diferentes puntos del espaciotiempo. Este hecho puede usarse para introducir una conexión de espín.

${\displaystyle D_{x,y}\,:\,S_{y}\rightarrow S_{x}\quad {\text{unitary}}\,.}$

La idea básica es tomar una descomposición polar de${\displaystyle P(x,y)}$La construcción se vuelve más compleja debido a que la conexión de espín debe inducir una conexión métrica correspondiente.

${\displaystyle \nabla _{x,y}\,:\,T_{y}\rightarrow T_{x}\quad {\text{isometric}}\,,}$

donde el espacio tangente${\displaystyle T_{x}}$es un subespacio específico de los operadores lineales en${\displaystyle S_{x}}$dotado de una métrica lorentziana. La curvatura de espín se define como la holonomía de la conexión de espín,

${\displaystyle {\mathfrak {R}}(x,y,z)=D_{x,y}\,D_{y,z}\,D_{z,x}\,:\,S_{x}\rightarrow S_{x}\,.}$

De manera similar, la conexión métrica da lugar a la curvatura métrica . Estas estructuras geométricas dan lugar a una propuesta para una geometría cuántica . ^{[ 5 ]}

Un minimizador${\displaystyle \rho }$de la acción causal satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes . ^{[ 10 ]} Estas afirman que la función ${\displaystyle \ell _{\kappa }}$definido por

${\displaystyle \ell _{\kappa }(x):=\int _{M}{\big (}{\mathcal {L}}_{\kappa }(x,y)+\kappa \,|xy|^{2}{\big )}\,d\rho (y)\,-\,{\mathfrak {s}}}$

(con dos parámetros de Lagrange)${\displaystyle \kappa }$y${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$) desaparece y es mínimo en el soporte de${\displaystyle \rho }$,

${\displaystyle \ell _{\kappa }|_{M}\equiv \inf _{x\in {\mathcal {F}}}\ell _{\kappa }(x)=0\,.}$

Para el análisis, es conveniente introducir chorros${\displaystyle {\mathfrak {u}}:=(a,u)}$que consiste en una función de valor real${\displaystyle a}$en${\displaystyle M}$y un campo vectorial${\displaystyle u}$ en${\displaystyle T{\mathcal {F}}}$a lo largo de${\displaystyle M}$y para denotar la combinación de multiplicación y derivada direccional por${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}g(x):=a(x)\,g(x)+{\big (}D_{u}g{\big )}(x)}$. Entonces, las ecuaciones de Euler-Lagrange implican que las ecuaciones débiles de Euler-Lagrange

${\displaystyle \nabla _{\mathfrak {u}}\ell |_{M}=0}$

espera para cualquier prueba de chorro${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$.

Familias de soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange se generan infinitesimalmente mediante un chorro${\displaystyle {\mathfrak {v}}}$que satisface las ecuaciones de campo linealizadas

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle |_{M}=0\,,}$

estar satisfecho para todos los aviones de prueba${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$donde el Laplaciano${\displaystyle \Delta }$se define por  

${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},\Delta {\mathfrak {v}}\rangle (x):=\nabla _{\mathfrak {u}}{\bigg (}\int _{M}{\big (}\nabla _{1,{\mathfrak {v}}}+\nabla _{2,{\mathfrak {v}}}{\big )}{\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y)-\nabla _{\mathfrak {v}}{\mathfrak {s}}{\bigg )}\,.}$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange describen la dinámica del sistema fermiónico causal, mientras que las pequeñas perturbaciones del sistema se describen mediante las ecuaciones de campo linealizadas.

En el contexto de los sistemas fermiónicos causales, las integrales espaciales se expresan mediante las llamadas integrales de capa superficial . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} En términos generales, una integral de capa superficial es una integral doble de la forma

${\displaystyle \int _{\Omega }{\bigg (}\int _{M\setminus \Omega }\cdots {\mathcal {L}}(x,y)\,d\rho (y){\bigg )}\,d\rho (x)\,,}$

donde una variable se integra sobre un subconjunto${\displaystyle \Omega \subset M}$y la otra variable se integra sobre el complemento de${\displaystyle \Omega }$Es posible expresar las leyes de conservación habituales para la carga, la energía, etc., en términos de integrales de capa superficial. Las leyes de conservación correspondientes son consecuencia de las ecuaciones de Euler-Lagrange del principio de acción causal y las ecuaciones de campo linealizadas. Para las aplicaciones, las integrales de capa superficial más importantes son la integral de corriente.${\displaystyle \gamma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {v}})}$, la forma simpléctica${\displaystyle \sigma _{\rho }^{\Omega }({\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}})}$, la capa superficial producto interno${\displaystyle \langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {v}}\rangle _{\rho }^{\Omega }}$y la integral de la capa superficial no lineal${\displaystyle \gamma ^{\Omega }({\tilde {\rho }},\rho )}$.

Basándose en las leyes de conservación para las integrales de la capa superficial mencionadas, la dinámica de un sistema fermiónico causal, tal como se describe mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes al principio de acción causal, puede reescribirse como una dinámica lineal que preserva la norma en el espacio de Fock bosónico construido a partir de soluciones de las ecuaciones de campo linealizadas. ^{[ 4 ]} En la denominada aproximación holomorfa , la evolución temporal respeta la estructura compleja, dando lugar a una evolución temporal unitaria en el espacio de Fock bosónico.

Si${\displaystyle {\mathcal {H}}}$tiene dimensión finita${\displaystyle f}$, eligiendo una base ortonormal${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{f}}$de${\displaystyle {\mathcal {H}}}$y tomando el producto exterior de las funciones de onda correspondientes.

${\displaystyle {\big (}\psi ^{u_{1}}\wedge \cdots \wedge \psi ^{u_{f}}{\big )}(x_{1},\ldots ,x_{f})}$

da un estado de un${\displaystyle f}$Espacio de Fock fermiónico de partículas . Debido a la antisimetrización total, este estado depende de la elección de la base de${\displaystyle {\mathcal {H}}}$solo por un factor de fase. ^{[ 12 ]} Esta correspondencia explica por qué los vectores en el espacio de partículas deben interpretarse como fermiones . También motiva el nombre de sistema fermiónico causal .

Partiendo de cualquier variedad de espín lorentziana hiperbólica global.${\displaystyle ({\hat {M}},g)}$con haz espinorial${\displaystyle S{\hat {M}}}$, uno entra en el marco de los sistemas fermiónicos causales eligiendo${\displaystyle ({\mathcal {H}},{\langle }.|.{\rangle }_{\mathcal {H}})}$como un subespacio del espacio de soluciones de la ecuación de Dirac . Definiendo el llamado operador de correlación local.${\displaystyle F(p)}$para${\displaystyle p\in {\hat {M}}}$por

${\displaystyle {\langle }\psi |F(p)\phi {\rangle }_{\mathcal {H}}=-{\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$

(dónde${\displaystyle {\prec }\psi |\phi {\succ }_{p}}$es el producto interno en la fibra${\displaystyle S_{p}{\hat {M}}}$) e introduciendo la medida universal como el impulso de la medida de volumen en${\displaystyle {\hat {M}}}$,

${\displaystyle \rho =F_{*}d\mu {\,},}$

se obtiene un sistema fermiónico causal. Para que los operadores de correlación locales estén bien definidos,${\displaystyle {\mathcal {H}}}$debe constar de secciones continuas, lo que normalmente hace necesario introducir una regularización a escala microscópica.${\displaystyle \varepsilon }$En el límite${\displaystyle \varepsilon \searrow 0}$Todas las estructuras intrínsecas del sistema fermiónico causal (como la estructura causal, la conexión y la curvatura) se transfieren a las estructuras correspondientes en la variedad de espín lorentziana. ^{[ 5 ]} De este modo, la geometría del espaciotiempo queda completamente codificada en los sistemas fermiónicos causales correspondientes.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes al principio de acción causal tienen un límite bien definido si los espaciotiempos${\displaystyle M:={\text{supp}}\,\rho }$de los sistemas fermiónicos causales pasan al espacio de Minkowski . Más específicamente, se considera una secuencia de sistemas fermiónicos causales (por ejemplo con${\displaystyle {\mathcal {H}}}$de dimensión finita para asegurar la existencia del estado de Fock fermiónico, así como de minimizadores de la acción causal), de modo que las funciones de onda correspondientes se transforman en una configuración de mares de Dirac interactuantes que involucran estados de partículas adicionales o "agujeros" en los mares. Este procedimiento, denominado límite continuo , proporciona ecuaciones efectivas con la estructura de la ecuación de Dirac acoplada a ecuaciones de campo clásicas . Por ejemplo, para un modelo simplificado que involucra tres partículas fermiónicas elementales en dimensión de espín dos, se obtiene una interacción mediante un campo de gauge axial clásico.${\displaystyle A}$^{[ 2 ]} descrito por las ecuaciones acopladasde DiracyYang-Mills

${\displaystyle {\begin{aligned}(i\partial \!\!\!/\ +\gamma ^{5}A\!\!\!/\ -m)\psi &=0\\C_{0}(\partial _{j}^{k}A^{j}-\Box A^{k})-C_{2}A^{k}&=12\pi ^{2}{\bar {\psi }}\gamma ^{5}\gamma ^{k}\psi \,.\end{aligned}}}$

Tomando el límite no relativista de la ecuación de Dirac, se obtiene la ecuación de Pauli o la ecuación de Schrödinger , lo que da la correspondencia con la mecánica cuántica . Aquí${\displaystyle C_{0}}$y${\displaystyle C_{2}}$Dependen de la regularización y determinan la constante de acoplamiento, así como la masa en reposo.

Asimismo, para un sistema que involucra neutrinos en dimensión de espín 4, se obtiene efectivamente un sistema masivo${\displaystyle SU(2)}$campo de gauge acoplado al componente zurdo de los espinores de Dirac. ^{[ 2 ]} La configuración fermiónica del modelo estándar se puede describir en dimensión de espín 16. ^{[ 1 ]}

Para el sistema mencionado anteriormente que involucra neutrinos, ^{[ 2 ]} el límite continuo también produce las ecuaciones de campo de Einstein acopladas a los espinores de Dirac,

${\displaystyle R_{jk}-{\frac {1}{2}}\,R\,g_{jk}+\Lambda \,g_{jk}=\kappa \,T_{jk}[\Psi ,A]\,,}$

hasta correcciones de orden superior en el tensor de curvatura. Aquí la constante cosmológica${\displaystyle \Lambda }$es indeterminado y${\displaystyle T_{jk}}$denota el tensor energía-momento de los espinores y el${\displaystyle SU(2)}$campo de gauge. La constante gravitacional${\displaystyle \kappa }$depende de la longitud de regularización.

Partiendo del sistema acoplado de ecuaciones obtenido en el límite continuo y expandiendo en potencias de la constante de acoplamiento, se obtienen integrales que corresponden a diagramas de Feynman a nivel de árbol. Los diagramas de bucle fermiónicos surgen debido a la interacción con los estados del mar, mientras que los diagramas de bucle bosónicos aparecen al tomar promedios sobre la estructura espaciotemporal microscópica (generalmente no suave) de un sistema fermiónico causal (la llamada mezcla microscópica ). ^{[ 3 ]} El análisis detallado y la comparación con la teoría cuántica de campos estándar es un trabajo en curso. ^{[ 4 ]}