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Centro de masa

Este juguete utiliza los principios del centro de masas para mantener el equilibrio cuando se apoya sobre un dedo. En física , el centro de masa de una distribución de masa en e...

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Este juguete utiliza los principios del centro de masas para mantener el equilibrio cuando se apoya sobre un dedo.

En física , el centro de masa de una distribución de masa en el espacio (a veces denominado baricentro o punto de equilibrio ) es el único punto en cualquier instante dado donde la suma de las posiciones relativas ponderadas de la masa distribuida es cero. Para un cuerpo rígido que contiene su centro de masa, este es el punto al que se puede aplicar una fuerza para producir una aceleración lineal sin aceleración angular . Los cálculos en mecánica suelen simplificarse cuando se formulan con respecto al centro de masa. Es un punto hipotético donde se puede suponer que se concentra toda la masa de un objeto para visualizar su movimiento. En otras palabras, el centro de masa es el equivalente particulado de un objeto dado para la aplicación de las leyes del movimiento de Newton . [ 1 ]

En el caso de un cuerpo rígido , el centro de masa está fijo con respecto al cuerpo, y si este tiene densidad uniforme , se ubicará en el centroide . El centro de masa puede estar ubicado fuera del cuerpo físico , como ocurre a veces con objetos huecos o abiertos, como una herradura . En el caso de una distribución de cuerpos separados, como los planetas del Sistema Solar , el centro de masa puede no corresponder a la posición de ningún miembro individual del sistema.

El centro de masas es un punto de referencia útil para cálculos en mecánica que involucran masas distribuidas en el espacio, como el momento lineal y angular de los cuerpos planetarios y la dinámica de cuerpos rígidos . En mecánica orbital , las ecuaciones de movimiento de los planetas se formulan como masas puntuales ubicadas en los centros de masas (véase Baricentro (astronomía) para más detalles). El sistema de referencia del centro de masas es un sistema de referencia inercial en el que el centro de masas de un sistema está en reposo con respecto al origen del sistema de coordenadas .

Historia

Se desconocen los orígenes del concepto de centro de gravedad (también conocido como centro de masa o centro de peso), pero parece haber sido un concepto filosófico bien conocido en la antigua Grecia. Se analiza en detalle en las obras de Herón de Alejandría y Papo de Alejandría en los siglos II y III d. C., pero su primera aparición conocida data del siglo III a. C., en los escritos de Arquímedes de Siracusa , matemático , físico e ingeniero griego . Arquímedes trabajó con supuestos simplificados sobre la gravedad que equivalen a un campo uniforme, llegando así a las propiedades matemáticas de lo que hoy llamamos centro de masa. Arquímedes demostró que el torque ejercido sobre una palanca por pesos que descansan en distintos puntos a lo largo de ella es el mismo que si todos los pesos se movieran a un solo punto: su centro de masa. En su obra Sobre los cuerpos flotantes , Arquímedes demostró que la orientación de un objeto flotante es aquella que hace que su centro de masa esté lo más bajo posible. Desarrolló técnicas matemáticas para hallar los centros de masa de objetos de densidad uniforme y diversas formas bien definidas. [ 2 ] Sin embargo, los escritos que se conservan de Arquímedes tratan alguna forma del centro de gravedad como una idea preexistente, lo que implica que tiene orígenes anteriores, ya sea en sus propios estudios previos pero perdidos, o en obras desconocidas de sus contemporáneos o predecesores. [ 3 ] Dijksterhuis argumenta a favor de orígenes pregriegos del concepto, basándose en indicios contextuales. [ 3 ]

En los períodos del Renacimiento y la Modernidad temprana , obra de Guido Ubaldi , Francesco Maurolico , [ 4 ] Federico Commandino , [ 5 ] Evangelista Torricelli , Simon Stevin , [ 6 ] Luca Valerio , [ 7 ] Jean-Charles de la Faille , Paul Guldin , [ 8 ] John Wallis , Christiaan Huygens , [ 9 ] Louis Carré , Pierre Varignon , y Alexis Clairaut amplió aún más el concepto. [ 10 ]

La segunda ley de Newton se reformula con respecto al centro de masa en la primera ley de Euler . [ 11 ]

Definición

El centro de masas es el único punto en el centro de una distribución de masa en el espacio que tiene la propiedad de que la suma de los vectores de posición ponderados con respecto a este punto es cero. De forma análoga a la estadística, el centro de masas es la ubicación media de una distribución de masa en el espacio.

Un sistema de partículas

Para un sistema de partículasPAGi{\displaystyle P_{i}},i=1,...,norte{\displaystyle i=1,...,n}, el centro de masa se define como R=∑i=1nortemetroiri∑i=1nortemetroi,{\displaystyle \mathbf {R} ={\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i} \over \sum _{i=1}^{n}m_{i}},} dóndemetroi{\displaystyle m_{i}}denota las masas de las partículas yri{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}denota las posiciones de las partículas. [ 12 ]

En el caso de un sistema de solo dos partículas, esto se reduce a [ 12 ].R=metro1r1+metro2r2metro1+metro2.{\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}

Un volumen continuo

En el caso de un volumen continuo, la suma se convierte en una integral, de modo que la ecuación para el centro de masa se convierte en R=1METRO∫rdmetro=1METRO∫ρ(r)rdV,{\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \,dm={\frac {1}{M}}\int \rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,dV,} dóndeMETRO{\displaystyle M}es la masa total en el volumen yρ(r){\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}es la densidad del volumen en la posiciónr{\displaystyle \mathbf {r} }. [ 12 ]

Si una distribución de masa continua tiene densidad uniforme, lo que significa que ρ es constante, entonces el centro de masa es el mismo que el centroide del volumen. [ 13 ]

Sistemas con condiciones de contorno periódicas

Para partículas en un sistema con condiciones de contorno periódicas, dos partículas pueden ser vecinas aunque estén en lados opuestos del sistema. Esto ocurre a menudo en simulaciones de dinámica molecular , por ejemplo, en las que se forman cúmulos en ubicaciones aleatorias y, a veces, los átomos vecinos cruzan el límite periódico. Cuando un cúmulo se extiende a ambos lados del límite periódico, un cálculo ingenuo del centro de masa será incorrecto. Un método generalizado para calcular el centro de masa para sistemas periódicos es tratar cada coordenada, x e y y /o z , como si estuviera en un círculo en lugar de una línea. [ 14 ] El cálculo toma la coordenada x de cada partícula y calcula N posibles centros de masa,

incógnita¯norte=incógnita¯0+2πnortenorte,norte=1,2,…,norte,{\bar {x}}_{n}={\bar {x}}_{0}+{\frac {2\pi n}{N}},\;\;\;n=1,2,\ldots ,N,

dóndeincógnita¯0{\bar {x}}_{0}es la posición promedio ponderada por masa ingenua para todas las partículas. El verdadero centro de masa es entonces el valor en el vectorincógnita¯=[incógnita¯1,incógnita¯2,…,incógnita¯norte]{\bar {\mathbf {x} }}=[{\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2},\ldots ,{\bar {x}}_{n}], con la menor suma de distancias de arco al cuadrado entre los puntos.

El proceso puede repetirse para todas las dimensiones del sistema para determinar el centro de masa completo. La utilidad del algoritmo radica en que permite que las matemáticas determinen dónde se encuentra el centro de masa "óptimo", en lugar de adivinar o utilizar el análisis de clústeres para "desplegar" un clúster que abarca los límites periódicos. Este enfoque calcula el centro de masa intrínseco. [ 15 ] La media circular extrínseca es una forma popular de estimar el centro de masa, [ 16 ] sin embargo, este enfoque puede ser impreciso. [ 14 ]

Centro de gravedad

Diagrama de un juguete educativo que se equilibra sobre un punto: El centro de masa (C) se sitúa debajo de su soporte (P).

El centro de gravedad de un cuerpo es el punto alrededor del cual se anula el torque resultante debido a las fuerzas gravitatorias. [ 17 ] Cuando un campo gravitatorio puede considerarse uniforme, el centro de masa y el centro de gravedad coincidirán. Sin embargo, para satélites en órbita alrededor de un planeta, en ausencia de otros torques aplicados al satélite, la ligera variación (gradiente) en el campo gravitatorio entre las partes más cercanas y más lejanas al planeta (gravedad más fuerte y más débil respectivamente) puede generar un torque que tenderá a alinear el satélite de manera que su eje longitudinal sea vertical. En tal caso, es importante distinguir entre el centro de gravedad y el centro de masa. [ 18 ] Cualquier desplazamiento horizontal entre ambos resultará en un torque aplicado.

El centro de masas es una propiedad fija para un cuerpo rígido dado (por ejemplo, sin oscilaciones ni articulaciones), mientras que el centro de gravedad puede, además, depender de su orientación en un campo gravitatorio no uniforme. En este último caso, el centro de gravedad siempre estará algo más cerca del cuerpo principal que ejerce la atracción gravitatoria en comparación con el centro de masas, y por lo tanto, cambiará su posición en el cuerpo de interés a medida que cambie su orientación.

En el estudio de la dinámica de aeronaves, vehículos y embarcaciones, es necesario determinar las fuerzas y los momentos con respecto al centro de masas. Esto es válido independientemente de si se considera la gravedad. Si bien referirse al centro de masas como centro de gravedad es un término coloquial, su uso es común y, cuando los efectos del gradiente gravitatorio son insignificantes, centro de gravedad y centro de masas se utilizan indistintamente.

En física, las ventajas de utilizar el centro de masas para modelar una distribución de masa se pueden apreciar al considerar la resultante de las fuerzas gravitatorias sobre un cuerpo continuo. Consideremos un cuerpo Q de volumen V con densidad ρ ( r ) en cada punto r del volumen. En un campo gravitatorio paralelo, la fuerza f en cada punto r viene dada por: F(r)=−dmetrogramok^=−ρ(r)dVgramok^,{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )=-dm\,g\mathbf {\hat {k}} =-\rho (\mathbf {r} )\,dV\,g\mathbf {\hat {k}} ,} donde dm es la masa en el punto r , g es la aceleración de la gravedad yk^{\textstyle \mathbf {\sombrero {k}} }es un vector unitario que define la dirección vertical.

Elija un punto de referencia R en el volumen y calcule la fuerza y ​​el torque resultantes en este punto. F=∭QF(r)dV=∭Qρ(r)dV(−gramok^)=−METROgramok^,{\displaystyle \mathbf {F} =\iiint _{Q}\mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\,dV\left(-g\mathbf {\hat {k}} \right)=-Mg\mathbf {\hat {k}} ,} y T=∭Q(r−R)×F(r)dV=∭Q(r−R)×(−gramoρ(r)dVk^)=(∭Qρ(r)(r−R)dV)×(−gramok^).{\displaystyle \mathbf {T} =\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \left(-g\rho (\mathbf {r} )\,dV\,\mathbf {\hat {k}} \right)=\left(\iiint _ {Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV\right)\times \left(-g\mathbf {\hat {k}} \right).}

Si el punto de referencia R se elige de modo que sea el centro de masa, entonces ∭Qρ(r)(r−R)dV=0,{\displaystyle \iiint _ {Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0,} lo que significa que el torque resultante T = 0. Debido a que el torque resultante es cero, el cuerpo se moverá como si fuera una partícula con su masa concentrada en el centro de masa.

Al seleccionar el centro de gravedad como punto de referencia para un cuerpo rígido, las fuerzas gravitatorias no provocarán que el cuerpo gire, lo que significa que el peso del cuerpo puede considerarse concentrado en el centro de masa.

Momento lineal y angular

El momento lineal y angular de un conjunto de partículas se puede simplificar midiendo la posición y la velocidad de las partículas con respecto al centro de masas. Sea el sistema de partículas P i , i = 1, ..., n de masas m i ubicado en las coordenadas r i con velocidades v i . Seleccione un punto de referencia R y calcule los vectores de posición y velocidad relativos, ri=(ri−R)+R,vi=ddt(ri−R)+v.{\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {v} .}

El momento lineal total y el momento angular del sistema son pag=ddt(∑i=1nortemetroi(ri−R))+(∑i=1nortemetroi)v,{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {v} ,} y L=∑i=1nortemetroi(ri−R)×ddt(ri−R)+(∑i=1nortemetroi)[R×ddt(ri−R)+(ri−R)×v]+(∑i=1nortemetroi)R×v{\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\left[\mathbf {R} \times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} \right]+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {R} \times \mathbf {v} }

Si se elige R como centro de masa, estas ecuaciones se simplifican a pag=metrov,L=∑i=1nortemetroi(ri−R)×ddt(ri−R)+∑i=1nortemetroiR×v{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {R} \times \mathbf {v} } donde m es la masa total de todas las partículas, p es el momento lineal y L es el momento angular.

La ley de conservación del momento lineal predice que, para cualquier sistema no sometido a fuerzas externas, el momento lineal del sistema permanecerá constante, lo que significa que el centro de masa se moverá con velocidad constante. Esto se aplica a todos los sistemas con fuerzas internas clásicas, incluidos campos magnéticos, campos eléctricos, reacciones químicas, etc. Formalmente, esto es cierto para cualquier fuerza interna que se cancele de acuerdo con la tercera ley de Newton . [ 19 ]

Determinación

La determinación experimental del centro de masa de un cuerpo utiliza las fuerzas de gravedad que actúan sobre él y se basa en el hecho de que el centro de masa coincide con el centro de gravedad en el campo gravitatorio paralelo cercano a la superficie terrestre.

El centro de masa de un cuerpo con un eje de simetría y densidad constante debe estar sobre dicho eje. Así, el centro de masa de un cilindro circular de densidad constante se encuentra sobre el eje del cilindro. De igual modo, el centro de masa de un cuerpo con simetría esférica y densidad constante se sitúa en el centro de la esfera. En general, para cualquier simetría de un cuerpo, su centro de masa será un punto fijo de dicha simetría. [ 20 ]

En dos dimensiones

Método de la plomada

Un método experimental para localizar el centro de masa consiste en suspender el objeto de dos puntos distintos, en serie, y dejar caer cada vez una plomada desde el punto de suspensión. La intersección de las dos líneas es el centro de masa. [ 21 ]

La forma de un objeto puede estar determinada matemáticamente, pero puede ser demasiado compleja para usar una fórmula conocida. En este caso, se puede subdividir la forma compleja en formas más simples y elementales, cuyos centros de masa son fáciles de encontrar. Si se puede determinar la masa total y el centro de masa para cada área, entonces el centro de masa del conjunto es el promedio ponderado de los centros. [ 22 ] Este método puede funcionar incluso para objetos con agujeros, que pueden considerarse como masas negativas. [ 23 ]

Un desarrollo directo del planímetro, conocido como integrafo o integerómetro, puede utilizarse para determinar la posición del centroide o centro de masa de una figura bidimensional irregular. Este método puede aplicarse a figuras con contornos irregulares, lisos o complejos, donde otros métodos resultan demasiado difíciles. Los constructores navales lo utilizaban habitualmente para comparar el desplazamiento y el centro de flotabilidad requeridos de un buque y asegurar que no zozobrara. [ 24 ] [ 25 ]

En tres dimensiones

Un método experimental para localizar las coordenadas tridimensionales del centro de masa comienza por sostener el objeto en tres puntos y medir las fuerzas, F 1 , F 2 , y F 3 que resisten el peso del objeto,W=−Wk^{\displaystyle \mathbf {W} =-W\mathbf {\hat {k}} }(k^{\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }es el vector unitario en la dirección vertical). Sean r 1 , r 2 , y r 3 las coordenadas de posición de los puntos de apoyo, entonces las coordenadas R del centro de masa satisfacen la condición de que el torque resultante sea cero, T=(r1−R)×F1+(r2−R)×F2+(r3−R)×F3=0,{\displaystyle \mathbf {T} =(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{2}+(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{3}=0,} o R×(−Wk^)=r1×F1+r2×F2+r3×F3.{\displaystyle \mathbf {R} \times \left(-W\mathbf {\hat {k}} \right)=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}.}

Esta ecuación proporciona las coordenadas del centro de masa R * en el plano horizontal como, R∗=−1Wk^×(r1×F1+r2×F2+r3×F3).{\displaystyle \mathbf {R} ^{*}=-{\frac {1}{W}}\mathbf {\hat {k}} \times (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}).}

El centro de masa se encuentra sobre la línea vertical L , dada por L(t)=R∗+tk^.{\displaystyle \mathbf {L} (t)=\mathbf {R} ^{*}+t\mathbf {\hat {k}} .}

Las coordenadas tridimensionales del centro de masa se determinan realizando este experimento dos veces con el objeto posicionado de manera que se midan estas fuerzas en dos planos horizontales diferentes que lo atraviesan. El centro de masa será la intersección de las dos líneas L₁ y L₂ obtenidas en ambos experimentos.

Aplicaciones

Diseños de ingeniería

Aplicaciones automotrices

Los ingenieros intentan diseñar un coche deportivo de manera que su centro de masa se reduzca para mejorar su manejo, es decir, para mantener la tracción al realizar giros relativamente cerrados. [ 26 ]

El característico perfil bajo del Humvee militar estadounidense fue diseñado en parte para permitirle inclinarse más que los vehículos más altos sin volcar, asegurando que su bajo centro de masa permanezca sobre el espacio delimitado por las cuatro ruedas incluso en ángulos alejados de la horizontal.

Aeronáutica

El centro de masas es un punto importante en una aeronave , ya que afecta significativamente su estabilidad. Para garantizar que la aeronave sea lo suficientemente estable como para volar con seguridad, el centro de masas debe estar dentro de límites específicos. Si el centro de masas se encuentra por delante del límite delantero , la aeronave será menos maniobrable, posiblemente hasta el punto de no poder girar para el despegue ni realizar la maniobra de aterrizaje. [ 27 ] Si el centro de masas se encuentra por detrás del límite trasero, la aeronave será más maniobrable, pero también menos estable, y posiblemente lo suficientemente inestable como para que sea imposible volarla. El brazo de palanca del elevador también se reducirá, lo que dificulta la recuperación de una pérdida de sustentación . [ 28 ]

Para los helicópteros en vuelo estacionario , el centro de masa siempre se encuentra directamente debajo del rotor principal . En vuelo hacia adelante, el centro de masa se desplaza hacia adelante para equilibrar el par de cabeceo negativo producido al aplicar el control cíclico para impulsar el helicóptero; por consiguiente, un helicóptero en crucero vuela con la nariz hacia abajo en vuelo nivelado. [ 29 ]

Astronomía

Dos cuerpos orbitando su baricentro (cruz roja)

El centro de masas desempeña un papel importante en la astronomía y la astrofísica, donde se le conoce comúnmente como baricentro . El baricentro es el punto entre dos objetos donde se equilibran; es el centro de masas donde dos o más cuerpos celestes orbitan entre sí. Cuando una luna orbita un planeta , o un planeta orbita una estrella , ambos cuerpos orbitan en realidad un punto que se encuentra alejado del centro del cuerpo principal (el de mayor tamaño). [ 30 ] Por ejemplo, la Luna no orbita el centro exacto de la Tierra, sino un punto en una línea entre el centro de la Tierra y la Luna, aproximadamente a 1710  km (1062  millas) por debajo de la superficie terrestre, donde sus respectivas masas se equilibran. Este es el punto alrededor del cual orbitan la Tierra y la Luna mientras viajan alrededor del Sol. Si las masas son más similares, por ejemplo, Plutón y Caronte , el baricentro se encontrará fuera de ambos cuerpos.

Aparejos y seguridad

Conocer la ubicación del centro de gravedad durante el montaje es crucial, ya que una suposición incorrecta puede provocar lesiones graves o incluso la muerte. Un centro de gravedad situado en el punto de elevación o por encima de él tiene una alta probabilidad de provocar un vuelco. En general, cuanto más alejado esté el centro de gravedad del punto de elevación, más segura será la operación. Existen otros factores a considerar, como el desplazamiento de las cargas, la resistencia y la masa de la carga, la distancia entre los puntos de elevación y el número de puntos de elevación. En concreto, al seleccionar los puntos de elevación, es fundamental situar el centro de gravedad en el centro y bastante por debajo de dichos puntos. [ 31 ]

Movimiento del cuerpo

El centro de masa del cuerpo humano adulto, en sentido vertical, se encuentra 10  cm por encima del trocánter (donde el fémur se une a la cadera), [ 32 ] 1,4  cm por delante de la rodilla y 1,0  cm por detrás del trocánter. [ 33 ] En kinesiología y biomecánica, el centro de masa es un parámetro importante que ayuda a comprender la locomoción humana. Normalmente, el centro de masa de una persona se detecta mediante uno de dos métodos: el método de la tabla de reacción es un análisis estático que implica que la persona se acueste sobre dicho instrumento y utilice su ecuación de equilibrio estático para encontrar su centro de masa; el método de segmentación se basa en una solución matemática fundamentada en el principio físico de que la suma de los torques de las secciones individuales del cuerpo, con respecto a un eje específico, debe ser igual al torque de todo el sistema que constituye el cuerpo, medido con respecto al mismo eje. [ 34 ]

Mejoramiento

El método del centro de gravedad es un método de optimización convexa que utiliza el centro de gravedad de la región factible.

Véase también

Notas

  1. ↑ "10.3: El centro de masa" . Physics LibreTexts . 17 de septiembre de 2019. Consultado el 15 de octubre de 2024 .
  2. ↑ Shore 2008 , págs. 9–11.
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  4. ↑ Baron 2004 , págs. 91–94.
  5. ↑ Baron 2004 , págs. 94–96.
  6. ^ Barón 2004 , págs. 96-101.
  7. ^ Barón 2004 , págs. 101-106.
  8. ↑ Mancosu 1999 , págs. 56–61.
  9. ↑ Erlichson, H. (1996). "El descubrimiento de Christiaan Huygens de la fórmula del centro de oscilación" . American Journal of Physics . 64 (5): 571– 574. Bibcode : 1996AmJPh..64..571E . doi : 10.1119/1.18156 . ISSN 0002-9505 . 
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Referencias

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