Producto Cauchy

En matemáticas , más concretamente en análisis matemático , el producto de Cauchy es la convolución discreta de dos series infinitas . Recibe su nombre del matemático francés Augustin-Louis Cauchy .

Definiciones

El producto de Cauchy puede aplicarse a series infinitas ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} o series de potencias. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Cuando se aplica a secuencias finitas ^{[ 5 ]} o series finitas, puede verse simplemente como un caso particular de un producto de series con un número finito de coeficientes distintos de cero (véase convolución discreta ).

Los problemas de convergencia se analizan en la siguiente sección .

Producto de Cauchy de dos series infinitas

Dejar ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ y ${\textstyle \sum _ {j=0}^{\infty }b_ {j}}$ Sean dos series infinitas con términos complejos. El producto de Cauchy de estas dos series infinitas se define mediante una convolución discreta de la siguiente manera:

\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}

dónde

c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{kl}

.

Producto de Cauchy de dos series de potencias

Consideremos las siguientes dos series de potencias

\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}

y

\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}

con coeficientes complejos $\{a_{i}\}$ y $\{b_{j}\}$ El producto de Cauchy de estas dos series de potencias se define mediante una convolución discreta de la siguiente manera:

\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}

dónde

c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{kl}

.

Convergencia y el teorema de Mertens

Sean $(a n) n \geq0$ y $(b n) n \geq0$ sucesiones reales o complejas. Franz Mertens demostró que, si la serie ${\textstyle \sum _ {n=0}^{\infty }a_ {n}}$ converge a $A$ y ${\textstyle \sum _ {n=0}^{\infty }b_ {n}}$ Si converge a $B$ y al menos uno de ellos converge absolutamente , entonces su producto de Cauchy converge a $AB$ . ^{[ 6 ]} El teorema sigue siendo válido en un álgebra de Banach (véase la primera línea de la siguiente demostración).

No basta con que ambas series sean convergentes; si ambas secuencias son condicionalmente convergentes , el producto de Cauchy no tiene por qué converger hacia el producto de las dos series, como muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Consideremos las dos series alternas con

$a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,$

que son solo condicionalmente convergentes (la divergencia de la serie de los valores absolutos se deduce del criterio de comparación directa y de la divergencia de la serie armónica ). Los términos de su producto de Cauchy vienen dados por

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{nk}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}$

para cada entero $n \geq 0$ . Dado que para cada $k \in {0, 1, ..., n}$ tenemos las desigualdades $k + 1 \leq n + 1$ y $n - k + 1 \leq n + 1$ , se deduce para la raíz cuadrada en el denominador que $\sqrt (k + 1)(n - k + 1) \leq n +1$ , por lo tanto, debido a que hay $n + 1$ sumandos,

$|c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1$

para cada entero $n \geq 0.$ Por lo tanto, $c n$ no converge a cero cuando $n \to \infty$ , por lo tanto, la serie de $(c n) n \geq0$ diverge según la prueba del término .

Demostración del teorema de Mertens

Para simplificar, lo demostraremos para números complejos. Sin embargo, la demostración que vamos a presentar es formalmente idéntica para un álgebra de Banach arbitraria (ni siquiera se requiere conmutatividad ni asociatividad).

Supongamos sin pérdida de generalidad que la serie ${\textstyle \sum _ {n=0}^{\infty }a_ {n}}$ Converge absolutamente. Defina las sumas parciales .

$A_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\quad B_{n}=\sum _{i=0}^{n}b_{i}\quad {\text{y}}\quad C_{n}=\sum _{i=0}^{n}c_{i}$

con

$c_{i}=\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{ik}\,.$

Entonces

$C_{n}=\sum _ {i=0}^{n}a_ {ni}B_ {i}$

por reordenamiento, por lo tanto

Fijar $ε > 0$ . Dado que ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} }|a_{k}|<\infty }$ por convergencia absoluta, y puesto que $B n$ converge a $B$ cuando $n \to \infty$ , existe un entero $N$ tal que, para todos los enteros $n \geq N$ ,

(este es el único lugar donde se utiliza la convergencia absoluta). Dado que la serie de los $(a n) n \geq0$ converge, el individual $a n$ debe converger a 0 por la prueba del término . Por lo tanto, existe un entero $M$ tal que, para todos los enteros $n \geq M$ ,

Además, dado que $A n$ converge a $A$ cuando $n \to \infty$ , existe un entero $L$ tal que, para todos los enteros $n \geq L$ ,

Luego, para todos los enteros $n \geq max{L, M + N}$ , use la representación ( 1 ) para $C n$ , divida la suma en dos partes, use la desigualdad triangular para el valor absoluto y finalmente use las tres estimaciones ( 2 ), ( 3 ) y ( 4 ) para demostrar que

${\begin{aligned}|C_{n}-AB|&={\biggl |}(A_{n}-A)B+\sum _{i=0}^{n}a_{ni}(B_{i}-B){\biggr |}\\&\leq {}\underbrace {|A_{n}-A|\,|B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ por (4)}}}+\underbrace {\sum _{i=0}^{N-1}|a_{\underbrace {\scriptstyle ni} _{\scriptscriptstyle \geq M}}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ por (3)}}}+{}\underbrace {\sum _{i=N}^{n}|a_{ni}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ por (2)}}}\leq \varepsilon \,.\end{aligned}}$

Por definición de convergencia de una serie , $C n \to AB$ como se requiere.

Teorema de Cesàro

En los casos en que las dos secuencias son convergentes pero no absolutamente convergentes, el producto de Cauchy sigue siendo sumable en el sentido de Cesàro . ^{[ 7 ]} Específicamente:

Si ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}}$ , ${\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}}$ son secuencias reales con ${\textstyle \sum a_{n}\to A}$ y ${\textstyle \sum b_{n}\to B}$ entonces

${\frac {1}{N}}\left(\sum _{n=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{ik}\right)\to AB.$

Esto se puede generalizar al caso en que las dos secuencias no convergen sino que son simplemente sumables en el sentido de Cesàro:

Teorema

Para ${\textstyle r>-1}$ y ${\textstyle s>-1}$ , supongamos la secuencia ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}}$ es ${\textstyle (C,\;r)}$ sumable con suma A y ${\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}}$ es ${\textstyle (C,\;s)}$ sumable con suma B. Entonces su producto de Cauchy es ${\textstyle (C,\;r+s+1)}$ sumable con suma AB .

Ejemplos

Para algunos ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$ , dejar ${\textstyle a_{n}=x^{n}/n!}$ y ${\textstyle b_{n}=y^{n}/n!}$ . Entonces $c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}={\frac {(x+y)^{n}}{n!}}$ por definición y la fórmula binomial . Dado que, formalmente , ${\textstyle \exp(x)=\sum a_{n}}$ y ${\textstyle \exp(y)=\sum b_{n}}$ , hemos demostrado que ${\textstyle \exp(x+y)=\sum c_{n}}$ Dado que el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series, hemos demostrado la fórmula. ${\textstyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$ a pesar de ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$ .
Como segundo ejemplo, dejemos ${\textstyle a_{n}=b_{n}=1}$ a pesar de ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ . Entonces ${\textstyle c_{n}=n+1}$ a pesar de $n\in \mathbb {N}$ por lo tanto el producto de Cauchy $\sum c_{n}=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )$ no converge.

Generalizaciones

Todo lo anterior se aplica a las secuencias en ${\textstyle \mathbb {C} }$ ( números complejos ). El producto de Cauchy se puede definir para series en el ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ espacios ( espacios euclidianos ) donde la multiplicación es el producto interno . En este caso, tenemos el resultado de que si dos series convergen absolutamente, entonces su producto de Cauchy converge absolutamente al producto interno de los límites.

Productos de un número finito de series infinitas

Dejar $n\in \mathbb {N}$ de tal manera que $n\geq 2$ (en realidad, lo siguiente también es cierto para $n=1$ pero la afirmación se vuelve trivial en ese caso) y dejemos ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }a_{n,k_{n}}}$ sean series infinitas con coeficientes complejos, de las cuales todas excepto la $n$ uno converge absolutamente, y el $n$ El uno converge. Entonces el límite $\lim _{N\to \infty }\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}$ existe y tenemos: $\prod _{j=1}^{n}\left(\sum _{k_{j}=0}^{\infty }a_{j,k_{j}}\right)=\lim _{N\to \infty }\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}$

Prueba

Porque $\forall N\in \mathbb {N$ La afirmación se puede probar por inducción sobre $n$ : El caso de $n=2$ Es idéntico a la afirmación sobre el producto Cauchy. Esta es nuestra base de inducción.

El paso de inducción es el siguiente: Sea la afirmación verdadera para un $n\in \mathbb {N}$ de tal manera que $n\geq 2$ y dejar ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }a_{n+1,k_{n+1}}}$ sean series infinitas con coeficientes complejos, de las cuales todas excepto la $n+1$ uno converge absolutamente, y el $n+1$ El -ésimo converge. Primero aplicamos la hipótesis de inducción a la serie ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }|a_{1,k_{1}}|,\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }|a_{n,k_{n}}|}$ . Obtenemos que la serie $\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}|a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}|$ converge y, por lo tanto, por la desigualdad triangular y el criterio del sándwich, la serie $\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\left|\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}\right|$ converge y, por lo tanto, la serie $\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}$ Converge absolutamente. Por lo tanto, por la hipótesis de inducción, por lo que demostró Mertens y por el cambio de nombre de las variables, tenemos: ${\begin{aligned}\prod _{j=1}^{n+1}\left(\sum _{k_{j}=0}^{\infty }a_{j,k_{j}}\right)&=\left(\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{n+1}}} ^{=:a_{k_{n+1}}}\right)\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}} ^{=:a_{k_{1}}}\right)\left(\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{n+1}}} ^{=:b_{k_{n+1}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{1}}\sum _{k_{4}=0}^{k_{3}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{1}}}\right)\left(\sum _{k_{2}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{2}}} ^{=:b_{n+1,k_{2}}=:b_{k_{2}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{k_{1}}\right)\left(\sum _{k_{2}=0}^{\infty }b_{k_{2}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}a_{k_{2}}b_{k_{1}-k_{2}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\left(\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{2}}}\right)\left(\overbrace {a_{n+1,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}-k_{2}}}\right)\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{2}}}\overbrace {a_{n+1,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}-k_{2}}}\right)\\&=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}a_{n+1,k_{1}-k_{2}}\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n+1}=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}\end{aligned}}$ Por lo tanto, la fórmula también es válida para $n+1$ .

Relación con la convolución de funciones

Una secuencia finita puede verse como una secuencia infinita con solo un número finito de términos distintos de cero, o en otras palabras como una función $f:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ con soporte finito. Para cualesquiera funciones de valor complejo f , g en $\mathbb {N}$ con soporte finito, se puede tomar su convolución : $(f*g)(n)=\sum _{i+j=n}f(i)g(j).$ Entonces ${\textstyle \sum (f*g)(n)}$ es lo mismo que el producto de Cauchy de ${\textstyle \sum f(n)}$ y ${\textstyle \sum g(n)}$ .

De forma más general, dado un monoide S , se puede formar el álgebra de semigrupos. $\mathbb {C} [S]$ de S , con la multiplicación dada por la convolución. Si se toma, por ejemplo, $S=\mathbb {N} ^{d}$ , luego la multiplicación en $\mathbb {C} [S]$ es una generalización del producto de Cauchy a una dimensión superior.

Notas

↑ Canuto & Tabaco 2015 , p. 20 .
↑ Bloch 2011 , pág. 463 .
↑ Canuto & Tabaco 2015 , p. 53 .
↑ Mathonline , Producto de Cauchy de series de potencias .
↑ Weisstein , Producto Cauchy .
↑ Rudin, Walter (1976). Principios de análisis matemático . McGraw-Hill. pág. 74.
↑ Hardy, Godfrey H. (2000). Serie Divergente (2.ª ed., (textualmente inalterada), reimpresión ). Providence, RI: AMS Chelsea Publ. ISBN 978-0-8218-2649-2.

Referencias

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Canuto, Claudio; Tabacco, Anita (2015), Análisis matemático II (2.ª ed.), Springer.

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Enlaces externos

Mathonline. "Serie Cauchy Product of Power" ..
Weisstein, Eric W., "Producto Cauchy", de MathWorld – Un recurso web de Wolfram.

[1] Canuto & Tabaco 2015 , p. 20 .

[2] Bloch 2011 , pág. 463 .

[3] Canuto & Tabaco 2015 , p. 53 .

[4] Mathonline , Producto de Cauchy de series de potencias .

[5] Weisstein , Producto Cauchy .

[6] Rudin, Walter (1976). Principios de análisis matemático . McGraw-Hill. pág. 74.

[7] Hardy, Godfrey H. (2000). Serie Divergente (2.ª ed., (textualmente inalterada), reimpresión ). Providence, RI: AMS Chelsea Publ. ISBN 978-0-8218-2649-2.

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