Anillo monoide

En álgebra abstracta , un anillo monoide es un anillo construido a partir de un anillo y un monoide , al igual que un anillo de grupo se construye a partir de un anillo y un grupo .

Sea R un anillo y sea G un monoide. El anillo de monoides o álgebra de monoides de G sobre R , denotado R [ G ] o RG , es el conjunto de sumas formales.${\displaystyle \sum _{g\in G}r_{g}g}$, dónde${\displaystyle r_{g}\in R}$para cada${\displaystyle g\in G}$y r _g = 0 para todos excepto un número finito de g , equipado con suma coeficiente a coeficiente, y la multiplicación en la que los elementos de R conmutan con los elementos de G. Más formalmente, R [ G ] es el R -módulo libre en el conjunto G , dotado de la multiplicación R -lineal definida en los elementos base por g·h  := gh , donde el lado izquierdo se entiende como la multiplicación en R [ G ] y el lado derecho se entiende en G.

Alternativamente, se puede identificar el elemento.${\displaystyle g\in R[G]}$con la función e _g que asigna g a 1 y cualquier otro elemento de G a 0. De esta manera, R [ G ] se identifica con el conjunto de funciones φ: G → R tales que { g  : φ( g ) ≠ 0 } es finito. equipado con la suma de funciones y con la multiplicación definida por

${\displaystyle (\phi \psi )(g)=\sum _{k\ell =g}\phi (k)\psi (\ell )}$.

Si G es un grupo , entonces R [ G ] también se llama el anillo de grupo de G sobre R.

Dados R y G , existe un homomorfismo de anillos α: R → R [ G ] que envía cada r a r 1 (donde 1 es el elemento identidad de G ), y un homomorfismo de monoides β: G → R [ G ] (donde este último se considera un monoide bajo la multiplicación) que envía cada g a 1 g (donde 1 es la identidad multiplicativa de R ) . Tenemos que α( r ) conmuta con β( g ) para todo r en R y g en G.

La propiedad universal del anillo monoide establece que dado un anillo S , un homomorfismo de anillos α': R → S y un homomorfismo de monoides β': G → S al monoide multiplicativo de S , tal que α'( r ) conmuta con β'( g ) para todo r en R y g en G , existe un único homomorfismo de anillos γ: R [ G ] → S tal que al componer α y β con γ se obtienen α' y β'.

La ampliación es el homomorfismo de anillos η : R [ G ] → R definido por

${\displaystyle \eta \left(\sum _{g\in G}r_{g}g\right)=\sum _{g\in G}r_{g}.}$

El núcleo de η se llama ideal de aumento . Es un R - módulo libre con base que consiste en 1 – g para todo g en G distinto de 1.  

Dado un anillo R y el monoide (aditivo) de los números naturales N (o { x ⁿ } visto multiplicativamente), obtenemos el anillo R [{ x ⁿ }] =: R [ x ] de polinomios sobre R . El monoide N ⁿ (con la adición) da el anillo de polinomios con n variables: R [ N ⁿ ] =: R [ X ₁ , ..., X _n ].

Si G es un semigrupo , la misma construcción produce un anillo de semigrupo R [ G ].

• Álgebra libre
• Serie Puiseux

• Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  211 (3.ª  ed. revisada). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-95385-X.

• R. Gilmer. Anillos de semigrupos conmutativos . University of Chicago Press, Chicago-Londres, 1984.