Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Carácter (matemáticas)

En matemáticas , un carácter es (generalmente) un tipo especial de función de un grupo a un cuerpo (como los números complejos ). Existen al menos dos significados distintos, au...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En matemáticas , un carácter es (generalmente) un tipo especial de función de un grupo a un cuerpo (como los números complejos ). Existen al menos dos significados distintos, aunque superpuestos. [ 1 ] Otros usos de la palabra «carácter» casi siempre van acompañados de una especificación.

Carácter multiplicativo

Un carácter multiplicativo (o carácter lineal , o simplemente carácter ) en un grupo G es un homomorfismo de grupo de G al grupo multiplicativo de un cuerpo ( Artin 1966 ) , generalmente el cuerpo de los números complejos . Si G es cualquier grupo, entonces el conjunto Ch( G ) de estos morfismos forma un grupo abeliano bajo la multiplicación puntual.

Este grupo se conoce como el grupo de caracteres de G. A veces, solo se consideran caracteres unitarios (es decir, la imagen se encuentra en el círculo unitario ); otros homomorfismos de este tipo se denominan entonces cuasicaracteres . Los caracteres de Dirichlet pueden considerarse un caso especial de esta definición.

Los caracteres multiplicativos son linealmente independientes , es decir, siχ1,χ2,…,χnorte{\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}}son caracteres diferentes en un grupo G al mismo campo entonces dea1χ1+a2χ2+⋯+anorteχnorte=0{\displaystyle a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\dots +a_{n}\chi _{n}=0}resulta quea1=a2=⋯=anorte=0{\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0}.

Carácter de una representación

El personajeχ:GRAMO→F{\displaystyle \chi :G\to F} de una representaciónϕ:GRAMO→GRAMOL(V){\displaystyle \phi \colon G\to \mathrm {GL} (V)}de un grupo G en un espacio vectorial V de dimensión finita sobre un cuerpo F es la traza de la representaciónϕ{\displaystyle \phi }( Serre 1977 ) , es decir

χϕ(gramo)=Tran⁡(ϕ(gramo)){\displaystyle \chi _{\phi }(g)=\operatorname {Tr} (\phi (g))}paragramo∈GRAMO{\displaystyle g\in G}

En general, la traza no es un homomorfismo de grupo, ni el conjunto de trazas forma un grupo. Los caracteres de las representaciones unidimensionales son idénticos a las representaciones unidimensionales, por lo que la noción anterior de carácter multiplicativo puede considerarse un caso especial de caracteres de dimensiones superiores. El estudio de las representaciones mediante caracteres se denomina « teoría de caracteres », y en este contexto, los caracteres unidimensionales también se denominan «caracteres lineales».

Definición alternativa

Si se restringe a un grupo abeliano finito con1×1{\displaystyle 1\times 1}representación endo{\displaystyle \mathbb {C} }(es decirGRAMOL(V)=GRAMOL(1,do){\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )}), la siguiente definición alternativa sería equivalente a la anterior (Para grupos abelianos, toda representación matricial se descompone en una suma directa de1×1{\displaystyle 1\times 1}representaciones. Para los grupos no abelianos, la definición original sería más general que esta):

Un personajeχ{\displaystyle \chi }del grupo(GRAMO,⋅){\displaystyle (G,\cdot )}es un homomorfismo de grupoχ:GRAMO→do∗{\displaystyle \chi :G\rightarrow \mathbb {C} ^{*}}es decirχ(incógnita⋅y)=χ(incógnita)χ(y){\displaystyle \chi (x\cdot y)=\chi (x)\chi (y)}a pesar deincógnita,y∈GRAMO.{\displaystyle x,y\in G.}

SiGRAMO{\displaystyle G}es un grupo abeliano finito, los caracteres desempeñan el papel de armónicos . Para grupos abelianos infinitos, lo anterior se reemplazaría porχ:GRAMO→T{\displaystyle \chi :G\to \mathbb {T} }dóndeT{\displaystyle \mathbb {T} }es el grupo circular .

Véase también

Referencias

  1. ↑ "carácter en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 31 de octubre de 2017 .
  • Artin, Emil (1966), Teoría de Galois , Conferencias Matemáticas de Notre Dame, número 2, Arthur Norton Milgram (Reimpreso por Dover Publications, 1997), ISBN 978-0-486-62342-9 Conferencias impartidas en la Universidad de Notre Dame
  • Serre, Jean-Pierre (1977), Representaciones lineales de grupos finitos , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  42, Traducido de la segunda edición francesa por Leonard L. Scott, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4684-9458-7 , ISBN 0-387-90190-6, MR 0450380