Teoría del carácter

En matemáticas , más concretamente en la teoría de grupos , el carácter de una representación de grupo es una función del grupo que asocia a cada elemento del grupo la traza de la matriz correspondiente . El carácter lleva la información esencial sobre la representación en una forma más condensada. Georg Frobenius desarrolló inicialmente la teoría de la representación de grupos finitos basada enteramente en los caracteres, y sin ninguna realización matricial explícita de las propias representaciones. Esto es posible porque una representación compleja de un grupo finito está determinada (hasta el isomorfismo ) por su carácter. La situación con representaciones sobre un cuerpo de característica positiva , las llamadas "representaciones modulares", es más delicada, pero Richard Brauer desarrolló también en este caso una potente teoría de caracteres. Muchos teoremas profundos sobre la estructura de grupos finitos utilizan caracteres de representaciones modulares .

Los caracteres de las representaciones irreducibles codifican muchas propiedades importantes de un grupo y, por lo tanto, pueden usarse para estudiar su estructura. La teoría de caracteres es una herramienta esencial en la clasificación de grupos simples finitos . Cerca de la mitad de la prueba del teorema de Feit-Thompson implica cálculos intrincados con valores de caracteres. Los resultados más fáciles, pero aún esenciales, que usan la teoría de caracteres incluyen el teorema de Burnside (desde entonces se ha encontrado una prueba puramente teórica de grupos del teorema de Burnside, pero esa prueba llegó más de medio siglo después de la prueba original de Burnside) y un teorema de Richard Brauer y Michio Suzuki que establece que un grupo simple finito no puede tener un grupo de cuaterniones generalizado como su subgrupo de Sylow 2 .

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo F y sea ρ  : G → GL( V ) una representación de un grupo G sobre V . El carácter de ρ es la función χ _ρ  : G → F dada por

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\nombre del operador {Tr} (\rho (g))}$

donde Tr es la traza .

Un carácter χ _ρ se denomina irreducible o simple si ρ es una representación irreducible . El grado del carácter χ es la dimensión de ρ ; en característica cero, es igual al valor χ (1) . Un carácter de grado 1 se denomina lineal . Cuando G es finito y F tiene característica cero, el núcleo del carácter χ _ρ es el subgrupo normal :

${\displaystyle \ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace ,}$

que es precisamente el núcleo de la representación ρ . Sin embargo, el carácter no es un homomorfismo de grupo en general.

• Los caracteres son funciones de clase , es decir, cada uno de ellos toma un valor constante en una clase de conjugación dada . Más precisamente, el conjunto de caracteres irreducibles de un grupo dado G en un cuerpo F forma una base del espacio vectorial F de todas las funciones de clase G → F .
• Las representaciones isomorfas tienen los mismos caracteres. En un cuerpo de característica 0 , dos representaciones son isomorfas si y sólo si tienen el mismo carácter. ^[1]
• Si una representación es la suma directa de subrepresentaciones , entonces el carácter correspondiente es la suma de los caracteres de esas subrepresentaciones.
• Si un carácter del grupo finito G está restringido a un subgrupo H , entonces el resultado también es un carácter de H .
• Cada valor de carácter χ ( g ) es una suma de n raíces m -ésimas de la unidad , donde n es el grado (es decir, la dimensión del espacio vectorial asociado) de la representación con el carácter χ y m es el orden de g . En particular, cuando F = C , cada valor de carácter es un entero algebraico .
• Si F = C y χ es irreducible, entonces es un entero algebraico para todo x en G .$${\displaystyle [G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}}$$
• Si F es algebraicamente cerrado y char ( F ) no divide el orden de G , entonces el número de caracteres irreducibles de G es igual al número de clases de conjugación de G . Además, en este caso, los grados de los caracteres irreducibles son divisores del orden de G (e incluso dividen a [ G  : Z ( G )] si F = C ).

Sean ρ y σ representaciones de G. Entonces se cumplen las siguientes identidades:

• ${\displaystyle \chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }}$
• ${\displaystyle \chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }}$
• ${\displaystyle \chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}}$
• ${\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$
• ${\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Sym}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$

donde ρ ⊕ σ es la suma directa , ρ ⊗ σ es el producto tensorial , ρ ^∗ denota la transpuesta conjugada de ρ , y Alt ² es el producto alterno Alt ² ρ = ρ ∧ ρ y Sym ² es el cuadrado simétrico , que está determinado por $${\displaystyle \rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho .}$$

Los caracteres complejos irreducibles de un grupo finito forman una tabla de caracteres que codifica mucha información útil sobre el grupo G en una forma compacta. Cada fila está etiquetada por una representación irreducible y las entradas en la fila son los caracteres de la representación en la respectiva clase de conjugación de G . Las columnas están etiquetadas por (representantes de) las clases de conjugación de G . Es habitual etiquetar la primera fila por el carácter de la representación trivial , que es la acción trivial de G en un espacio vectorial unidimensional por para todo . Cada entrada en la primera fila es, por lo tanto, 1. De manera similar, es habitual etiquetar la primera columna por la identidad. Por lo tanto, la primera columna contiene el grado de cada carácter irreducible. ${\displaystyle \rho (g)=1}$${\displaystyle g\in G}$

Aquí está la tabla de caracteres de

${\displaystyle C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\rangle ,}$

el grupo cíclico con tres elementos y generador u :

donde ω es una tercera raíz primitiva de la unidad.

La tabla de caracteres siempre es cuadrada, porque el número de representaciones irreducibles es igual al número de clases de conjugación. ^[2]

El espacio de funciones de clase de valor complejo de un grupo finito G tiene un producto interno natural :

${\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}}$

donde β ( g ) es el conjugado complejo de β ( g ) . Con respecto a este producto interno, los caracteres irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase, y esto produce la relación de ortogonalidad para las filas de la tabla de caracteres:

${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}}$

Para g , h en G , al aplicar el mismo producto interno a las columnas de la tabla de caracteres se obtiene:

${\displaystyle \sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|,&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate }}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

donde la suma es sobre todos los caracteres irreducibles χ _i de G y el símbolo | C _G ( g )| denota el orden del centralizador de g . Nótese que como g y h son conjugados si y solo si están en la misma columna de la tabla de caracteres, esto implica que las columnas de la tabla de caracteres son ortogonales.

Las relaciones de ortogonalidad pueden facilitar muchos cálculos, entre ellos:

• Descomponer un carácter desconocido como una combinación lineal de caracteres irreducibles.
• Construcción de la tabla de caracteres completa cuando sólo se conocen algunos de los caracteres irreducibles.
• Encontrar los órdenes de los centralizadores de representantes de las clases de conjugación de un grupo.
• Encontrar el orden del grupo.

Algunas propiedades del grupo G se pueden deducir de su tabla de caracteres:

• El orden de G viene dado por la suma de los cuadrados de las entradas de la primera columna (los grados de los caracteres irreducibles). De manera más general, la suma de los cuadrados de los valores absolutos de las entradas de cualquier columna da el orden del centralizador de un elemento de la clase de conjugación correspondiente.
• Todos los subgrupos normales de G (y, por lo tanto, si G es simple o no ) se pueden reconocer a partir de su tabla de caracteres. El núcleo de un carácter χ es el conjunto de elementos g en G para los cuales χ ( g ) = χ (1) ; este es un subgrupo normal de G . Cada subgrupo normal de G es la intersección de los núcleos de algunos de los caracteres irreducibles de G .
• El subgrupo conmutador de G es la intersección de los núcleos de los caracteres lineales de G.
• Si G es finito, entonces como la tabla de caracteres es cuadrada y tiene tantas filas como clases de conjugación, se deduce que G es abeliano sólo si y sólo si cada clase de conjugación es un singleton sólo si y sólo si la tabla de caracteres de G es sólo si y sólo si cada carácter irreducible es lineal.${\displaystyle |G|\!\times \!|G|}$
• De ello se deduce, utilizando algunos resultados de Richard Brauer de la teoría de la representación modular , que los divisores primos de los órdenes de los elementos de cada clase de conjugación de un grupo finito pueden deducirse de su tabla de caracteres (una observación de Graham Higman ).

La tabla de caracteres no determina en general el grupo hasta el isomorfismo : por ejemplo, el grupo de cuaterniones Q y el grupo diedro de 8 elementos, D ₄ , tienen la misma tabla de caracteres. Brauer se preguntó si la tabla de caracteres, junto con el conocimiento de cómo se distribuyen las potencias de los elementos de sus clases de conjugación, determina un grupo finito hasta el isomorfismo. En 1964, EC Dade respondió negativamente a esta pregunta .

Las representaciones lineales de G son en sí mismas un grupo bajo el producto tensorial , ya que el producto tensorial de espacios vectoriales unidimensionales es nuevamente unidimensional. Es decir, si y son representaciones lineales, entonces define una nueva representación lineal. Esto da lugar a un grupo de caracteres lineales, llamado grupo de caracteres bajo la operación . Este grupo está conectado con los caracteres de Dirichlet y el análisis de Fourier . ${\displaystyle \rho _{1}:G\to V_{1}}$${\displaystyle \rho _{2}:G\to V_{2}}$${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))}$${\displaystyle [\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)}$

Se supone que los caracteres analizados en esta sección tienen valores complejos. Sea H un subgrupo del grupo finito G . Dado un carácter χ de G , sea χ _H su restricción a H . Sea θ un carácter de H . Ferdinand Georg Frobenius mostró cómo construir un carácter de G a partir de θ , utilizando lo que ahora se conoce como reciprocidad de Frobenius . Dado que los caracteres irreducibles de G forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase de valores complejos de G , existe una única función de clase θ ^G de G con la propiedad de que

${\displaystyle \langle \theta ^{G},\chi \rangle _{G}=\langle \theta ,\chi _{H}\rangle _{H}}$

para cada carácter irreducible χ de G (el producto interno más a la izquierda es para funciones de clase de G y el producto interno más a la derecha es para funciones de clase de H ). Dado que la restricción de un carácter de G al subgrupo H es nuevamente un carácter de H , esta definición deja en claro que θ ^G es una combinación entera no negativa de caracteres irreducibles de G , por lo que de hecho es un carácter de G . Se conoce como el carácter de G inducido a partir de θ . La fórmula definitoria de la reciprocidad de Frobenius se puede extender a funciones de clase generales de valor complejo.

Dada una representación matricial ρ de H , Frobenius posteriormente dio una forma explícita de construir una representación matricial de G , conocida como la representación inducida a partir de ρ , y escrita análogamente como ρ ^G . Esto condujo a una descripción alternativa del carácter inducido θ ^G . Este carácter inducido se desvanece en todos los elementos de G que no son conjugados con ningún elemento de H . Dado que el carácter inducido es una función de clase de G , ahora sólo es necesario describir sus valores en elementos de H . Si uno escribe G como una unión disjunta de clases laterales derechas de H , digamos

${\displaystyle G=Ht_{1}\cup \ldots \cup Ht_{n},}$

entonces, dado un elemento h de H , tenemos:

${\displaystyle \theta ^{G}(h)=\sum _{i\ :\ t_{i}ht_{i}^{-1}\in H}\theta \left(t_{i}ht_{i}^{-1}\right).}$

Dado que θ es una función de clase de H , este valor no depende de la elección particular de los representantes de clases laterales.

Esta descripción alternativa del carácter inducido a veces permite un cálculo explícito a partir de relativamente poca información sobre la incorporación de H en G y, a menudo, resulta útil para el cálculo de tablas de caracteres particulares. Cuando θ es el carácter trivial de H , el carácter inducido obtenido se conoce como el carácter de permutación de G (en las clases laterales de H ).

La técnica general de inducción de caracteres y sus posteriores refinamientos encontraron numerosas aplicaciones en la teoría de grupos finitos y en otras áreas de las matemáticas, en manos de matemáticos como Emil Artin , Richard Brauer , Walter Feit y Michio Suzuki , así como del propio Frobenius.

La descomposición de Mackey fue definida y explorada por George Mackey en el contexto de los grupos de Lie , pero es una herramienta poderosa en la teoría de caracteres y la teoría de representación de grupos finitos. Su forma básica se refiere a la forma en que un carácter (o módulo) inducido a partir de un subgrupo H de un grupo finito G se comporta en la restricción de regreso a un subgrupo K (posiblemente diferente) de G , y hace uso de la descomposición de G en clases laterales dobles ( H , K ) .

Si es una unión disjunta, y θ es una función de clase compleja de H , entonces la fórmula de Mackey establece que ${\textstyle G=\bigcup _{t\in T}HtK}$

${\displaystyle \left(\theta ^{G}\right)_{K}=\sum _{t\in T}\left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},}$

donde θ ^t es la función de clase de t ⁻¹ Ht definida por θ ^t ( t ⁻¹ ht ) = θ ( h ) para todo h en H . Existe una fórmula similar para la restricción de un módulo inducido a un subgrupo, que se cumple para representaciones sobre cualquier anillo y tiene aplicaciones en una amplia variedad de contextos algebraicos y topológicos .

La descomposición de Mackey, en conjunción con la reciprocidad de Frobenius, produce una fórmula bien conocida y útil para el producto interno de dos funciones de clase θ y ψ inducidas a partir de los respectivos subgrupos H y K , cuya utilidad radica en el hecho de que solo depende de cómo se intersecan entre sí los conjugados de H y K. La fórmula (con su derivación) es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \theta ^{G},\psi ^{G}\right\rangle &=\left\langle \left(\theta ^{G}\right)_{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\theta ^{t}\right)_{t^{-1}Ht\cap K},\psi _{t^{-1}Ht\cap K}\right\rangle ,\end{aligned}}}$

(donde T es un conjunto completo de representantes de clases laterales dobles ( H , K ) , como antes). Esta fórmula se utiliza a menudo cuando θ y ψ son caracteres lineales, en cuyo caso todos los productos internos que aparecen en la suma de la derecha son 1 o 0 , dependiendo de si los caracteres lineales θ ^t y ψ tienen o no la misma restricción a t ⁻¹ Ht ∩ K . Si θ y ψ son ambos caracteres triviales, entonces el producto interno se simplifica a | T | .

Se puede interpretar el carácter de una representación como la dimensión "retorcida" de un espacio vectorial . ^[3] Si se trata el carácter como una función de los elementos del grupo χ ( g ) , su valor en la identidad es la dimensión del espacio, ya que χ (1) = Tr( ρ (1)) = Tr( I _V ) = dim( V ) . En consecuencia, se pueden considerar los otros valores del carácter como dimensiones "retorcidas". ^{[ aclaración necesaria ]}

Se pueden encontrar analogías o generalizaciones de enunciados sobre dimensiones a enunciados sobre caracteres o representaciones. Un ejemplo sofisticado de esto ocurre en la teoría de la luz de luna monstruosa : el j -invariante es la dimensión graduada de una representación graduada de dimensión infinita del grupo Monstruo , y al reemplazar la dimensión por el carácter se obtiene la serie McKay-Thompson para cada elemento del grupo Monstruo. ^[3]

Si es un grupo de Lie y una representación de dimensión finita de , el carácter de se define con precisión como para cualquier grupo como ${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))}$.

Mientras tanto, si es un álgebra de Lie y una representación de dimensión finita de , podemos definir el carácter por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})}$.

El carácter se cumplirá para todos los del grupo de Lie asociado y para todos los . Si tenemos una representación de grupo de Lie y una representación de álgebra de Lie asociada, el carácter de la representación de álgebra de Lie está relacionado con el carácter de la representación de grupo mediante la fórmula ${\displaystyle \chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$${\displaystyle \mathrm {X} _{\rho }}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})}$.

Supongamos ahora que es un álgebra de Lie semisimple compleja con subálgebra de Cartan . El valor del carácter de una representación irreducible de está determinado por sus valores en . La restricción del carácter a se puede calcular fácilmente en términos de los espacios de peso , de la siguiente manera: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}}$,

donde la suma es sobre todos los pesos de y donde es la multiplicidad de . ^[4]${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle m_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$

La (restricción del) carácter se puede calcular de forma más explícita mediante la fórmula del carácter de Weyl. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• Representación irreducible § Aplicaciones en física teórica y química
• Esquemas de asociación , una generalización combinatoria de la teoría del carácter grupal.
• La teoría de Clifford , introducida por AH Clifford en 1937, proporciona información sobre la restricción de un carácter irreducible complejo de un grupo finito G a un subgrupo normal N.
• Fórmula de Frobenius
• Elemento real , un elemento del grupo g tal que χ ( g ) es un número real para todos los caracteres χ

• Personaje en PlanetMath .