Anillo de representación

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de la representación , el anillo de representación (o anillo de Green , según J.A. Green ) de un grupo es un anillo formado por todas las representaciones lineales de dimensión finita del grupo (o sus clases de isomorfismo ) . Los elementos del anillo de representación se denominan a veces representaciones virtuales. ^{[ 1 ]} Para un grupo dado, el anillo dependerá del cuerpo base de las representaciones. El caso de coeficientes complejos es el más desarrollado, pero el caso de cuerpos algebraicamente cerrados de característica p, donde los subgrupos de Sylow p son cíclicos, también es teóricamente abordable.

Dado un grupo G y un cuerpo F , los elementos de su anillo de representación R _F ( G ) son las diferencias formales de clases de isomorfismo de representaciones F de dimensión finita de G. Para la estructura de anillo, la suma viene dada por la suma directa de representaciones, y la multiplicación por su producto tensorial sobre F . Cuando se omite F de la notación, como en R ( G ), entonces F se considera implícitamente el cuerpo de los números complejos.

El anillo de representación de G es el anillo de Grothendieck de la categoría de representaciones de dimensión finita de G.

• Para las representaciones complejas del grupo cíclico de orden n , el anillo de representación R _C ( C _n ) es isomorfo a Z [ X ]/( X ⁿ  −  1), donde X corresponde a la representación compleja que envía un generador del grupo a una raíz primitiva n- ésima de la unidad .
• De manera más general, el anillo de representación compleja de un grupo abeliano finito puede identificarse con el anillo de grupo del grupo de caracteres .
• Para las representaciones racionales del grupo cíclico de orden 3, el anillo de representación R _Q (C ₃ ) es isomorfo a Z [ X ]/( X ²  − X − 2), donde X corresponde a la representación racional irreducible de dimensión 2.   
• Para las representaciones modulares del grupo cíclico de orden 3 sobre un cuerpo F de característica 3, el anillo de representación R _F ( C ₃ ) es isomorfo a Z [ X , Y ]/( X ²  − Y − 1, XY − 2 Y , Y ² − 3 Y ).       
• El anillo de representación continua R (S ¹ ) para el grupo del círculo es isomorfo a Z [ X , X ⁻¹ ]. El anillo de representaciones reales es el subanillo de R ( G ) de elementos fijos por la involución en R ( G ) dada por X ↦ X ⁻¹ .
• El anillo R _C ( S ₃ ) para el grupo simétrico de grado tres es isomorfo a Z [ X , Y ]/( XY  − Y , X ² − 1, Y ² − X − Y − 1), donde X es la representación alternada unidimensional e Y la representación irreducible bidimensional de S ₃ .         

Cualquier representación compleja de dimensión finita ρ de un grupo G define una función χ: G →${\displaystyle \mathbb {C} }$mediante la fórmula χ( g ) = tr(ρ( g )). Dicha función es una llamada función de clase , lo que significa que es constante en cada clase de conjugación de G. Denotemos el anillo de funciones de clase de valores complejos por C ( G ). La aplicación que envía clases de isomorfismo de representaciones a sus caracteres da un homomorfismo R ( G ) → C ( G ), y cuando G es finito este es inyectivo , de modo que R ( G ) puede identificarse con un subanillo de C ( G ).

En el caso de grupos finitos, este homomorfismo de anillos R ( G ) → C ( G ) se extiende a un isomorfismo de álgebras. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _ {\mathbb {Z} }}$R ( G ) → C ( G ). Dado que las clases de isomorfismo de representaciones irreducibles de un grupo finito forman una base de${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _ {\mathbb {Z} }}$R ( G ), mientras que las funciones características de las clases de conjugación forman una base de C ( G ), esto muestra que un grupo finito tiene tantas clases de isomorfismo de representaciones irreducibles como clases de conjugación. ^{[ 2 ]}

Para un grupo de Lie compacto y conexo , R ( G ) es isomorfo al subanillo de R ( T ) (donde T es un toro maximal) formado por las funciones de clase invariantes bajo la acción del grupo de Weyl (Atiyah y Hirzebruch, 1961). Para el grupo de Lie compacto general , véase Segal (1968).

Dada una representación de G y un número natural n , podemos formar la n -ésima potencia exterior de la representación, que es nuevamente una representación de G. Esto induce una operación λ ⁿ  : R ( G ) → R ( G ). Con estas operaciones, R ( G ) se convierte en un λ-anillo .

Las operaciones de Adams en el anillo de representación R ( G ) son aplicaciones Ψ ^k caracterizadas por su efecto sobre caracteres χ:

${\displaystyle \Psi ^{k}\chi (g)=\chi (g^{k})\ .}$

Las operaciones Ψ ^k son homomorfismos de anillos de R ( G ) sobre sí mismo, y sobre representaciones ρ de dimensión d

${\displaystyle \Psi ^{k}(\rho )=N_{k}(\Lambda ^{1}\rho ,\Lambda ^{2}\rho ,\ldots ,\Lambda ^{d}\rho )\ }$

donde Λ ⁱ ρ son las potencias exteriores de ρ y N _k es la suma de la k -ésima potencia expresada como una función de las d funciones simétricas elementales de d variables.

• Atiyah, Michael F .; Hirzebruch, Friedrich (1961), "Vector bundles and homogeneous spaces", Proc. Sympos. Pure Math. , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol.  III, American Mathematical Society, pp. 7–38 , doi : 10.1090/pspum/003/0139181 , ISBN  9780821814031, MR 0139181 , Zbl 0108.17705  {{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) .
• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Representaciones de grupos de mentiras compactos , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  98, Nueva York, Berlín, Heidelberg, Tokio: Springer-Verlag , ISBN 0-387-13678-9, SEÑOR 1410059 , OCLC 11210736 , Zbl 0581.22009   
• Segal, Graeme (1968), "El anillo de representación de un grupo de Lie compacto" , Publ. Math. IHÉS , 34 : 113–128 , doi : 10.1007/BF02684592 , MR 0248277 , S2CID 55847918 , Zbl 0209.06203   .
• Snaith, VP (1994), Inducción explícita de Brauer: con aplicaciones al álgebra y la teoría de números , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  40, Cambridge University Press , ISBN 0-521-46015-8, Zbl 0991.20005