teoría de la representación modular

La teoría de la representación modular es una rama de las matemáticas y constituye la parte de la teoría de la representación que estudia las representaciones lineales de grupos finitos sobre un cuerpo K de característica positiva p , necesariamente un número primo . Además de tener aplicaciones en la teoría de grupos , las representaciones modulares surgen de forma natural en otras ramas de las matemáticas, como la geometría algebraica , la teoría de la codificación , la combinatoria y la teoría de números .

Dentro de la teoría de grupos finitos, los resultados basados ​​en la teoría de caracteres, demostrados por Richard Brauer mediante la teoría de representaciones modulares, desempeñaron un papel importante en los primeros avances hacia la clasificación de grupos simples finitos , especialmente para aquellos cuya caracterización no era susceptible de ser abordada mediante métodos puramente de teoría de grupos, debido a que sus subgrupos de Sylow de orden 2 eran demasiado pequeños en un sentido apropiado. Asimismo, un resultado general sobre la incrustación de elementos de orden 2 en grupos finitos, denominado teorema Z* , demostrado por George Glauberman utilizando la teoría desarrollada por Brauer, resultó particularmente útil en el programa de clasificación.

Si la característica p de K no divide el orden | G |, entonces las representaciones modulares son completamente reducibles, al igual que las representaciones ordinarias (característica 0), en virtud del teorema de Maschke . En el otro caso, cuando | G | ≡ 0 (mod p ), el proceso de promediar sobre el grupo necesario para demostrar el teorema de Maschke se rompe, y las representaciones no tienen por qué ser completamente reducibles. Gran parte de la discusión que sigue asume implícitamente que el cuerpo K es suficientemente grande (por ejemplo, que K sea algebraicamente cerrado es suficiente); de lo contrario, algunas afirmaciones requieren mayor precisión.

Los primeros trabajos sobre teoría de representaciones en cuerpos finitos fueron realizados por Dickson (1902), quien demostró que cuando p no divide el orden del grupo, la teoría de representaciones es similar a la de característica 0. También investigó los invariantes modulares de algunos grupos finitos. El estudio sistemático de las representaciones modulares, cuando la característica p divide el orden del grupo, fue iniciado por Brauer (1935) y continuado por él durante las décadas siguientes.

Encontrar una representación del grupo cíclico de dos elementos sobre F ₂ es equivalente al problema de encontrar matrices cuyo cuadrado sea la matriz identidad . Sobre todo cuerpo de característica distinta de 2, siempre existe una base tal que la matriz se puede escribir como una matriz diagonal con solo 1 o −1 en la diagonal, como por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

Sobre F ₂ , existen muchas otras matrices posibles, como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica positiva, la teoría de representaciones de un grupo cíclico finito se explica completamente mediante la teoría de la forma normal de Jordan . Las formas de Jordan no diagonales aparecen cuando la característica divide el orden del grupo.

Dado un cuerpo K y un grupo finito G , el álgebra de grupo K [ G ] (que es el espacio vectorial K con base K que consta de los elementos de G , dotado de multiplicación de álgebras al extender la multiplicación de G por linealidad) es un anillo artiniano .

Cuando el orden de G es divisible por la característica de K , el álgebra de grupo no es semisimple , por lo que tiene un radical de Jacobson distinto de cero . En ese caso, existen módulos de dimensión finita para el álgebra de grupo que no son módulos proyectivos . Por el contrario, en el caso de característica cero, toda representación irreducible es un sumando directo de la representación regular , por lo que es proyectiva.

La teoría de la representación modular fue desarrollada por Richard Brauer a partir de 1940 para estudiar con mayor profundidad las relaciones entre la teoría de la representación característica p , la teoría de caracteres ordinarios y la estructura de G , especialmente en lo que respecta a la incrustación y las relaciones entre sus p -subgrupos. Estos resultados pueden aplicarse en la teoría de grupos a problemas que no se formulan directamente en términos de representaciones.

Brauer introdujo el concepto conocido como carácter de Brauer . Cuando K es algebraicamente cerrado de característica positiva p , existe una biyección entre las raíces de la unidad en K y las raíces complejas de la unidad de orden coprimo con p . Una vez elegida dicha biyección, el carácter de Brauer de una representación asigna a cada elemento del grupo de orden coprimo con p la suma de las raíces complejas de la unidad correspondientes a los autovalores (incluidas las multiplicidades) de ese elemento en la representación dada.

El carácter de Brauer de una representación determina sus factores de composición, pero no, en general, su tipo de equivalencia. Los caracteres de Brauer irreducibles son aquellos que proporcionan los módulos simples. Estos son combinaciones enteras (aunque no necesariamente no negativas) de las restricciones a elementos de orden coprimo con p de los caracteres irreducibles ordinarios. A la inversa, la restricción a los elementos de orden coprimo con p de cada carácter irreducible ordinario se puede expresar de forma única como una combinación entera no negativa de caracteres de Brauer irreducibles.

En la teoría desarrollada inicialmente por Brauer, el vínculo entre la teoría de la representación ordinaria y la teoría de la representación modular se ejemplifica mejor al considerar el álgebra de grupo del grupo G sobre un anillo de valuación discreta completo R con cuerpo residual K de característica positiva p y cuerpo de fracciones F de característica 0, como los enteros p -ádicos . La estructura de R [ G ] está estrechamente relacionada tanto con la estructura del álgebra de grupo K [ G ] como con la estructura del álgebra de grupo semisimple F [ G ], y existe una gran interacción entre la teoría de módulos de las tres álgebras.

Cada R [ G ]-módulo da lugar naturalmente a un F [ G ]-módulo y, mediante un proceso conocido informalmente como reducción (mod p ) , a un K [ G ]-módulo. Por otro lado, dado que R es un dominio ideal principal , cada F [ G ]-módulo de dimensión finita surge por extensión de escalares de un R [ G ]-módulo. En general, sin embargo, no todos los K [ G ]-módulos surgen como reducciones (mod p ) de R [ G ]-módulos. Aquellos que sí lo hacen son elevables .

En la teoría de representación ordinaria, el número de módulos simples k ( G ) es igual al número de clases de conjugación de G . En el caso modular, el número l ( G ) de módulos simples es igual al número de clases de conjugación cuyos elementos tienen orden coprimo con el primo correspondiente p , las llamadas clases p- regulares.

En la teoría de la representación modular, si bien el teorema de Maschke no se cumple cuando la característica divide el orden del grupo, el álgebra del grupo puede descomponerse como la suma directa de una colección máxima de ideales de dos lados conocidos como bloques . Cuando el cuerpo F tiene característica 0, o característica coprima con el orden del grupo, todavía existe tal descomposición del álgebra del grupo F [ G ] como una suma de bloques (uno para cada tipo de isomorfismo de módulo simple), pero la situación es relativamente transparente cuando F es suficientemente grande: cada bloque es un álgebra matricial completa sobre F , el anillo de endomorfismos del espacio vectorial subyacente al módulo simple asociado.

Para obtener los bloques, el elemento identidad del grupo G se descompone como una suma de idempotentes primitivos en Z ( R [G]), el centro del álgebra de grupo sobre el anillo de valuación R de F . El bloque correspondiente al idempotente primitivo e es el ideal bilado e R [ G ]. Para cada R [ G ]-módulo indescomponible, hay solo un idempotente primitivo que no lo aniquila, y se dice que el módulo pertenece a (o está en) el bloque correspondiente (en cuyo caso, todos sus factores de composición también pertenecen a ese bloque). En particular, cada módulo simple pertenece a un bloque único. Cada carácter irreducible ordinario también puede asignarse a un bloque único según su descomposición como una suma de caracteres de Brauer irreducibles. El bloque que contiene el módulo trivial se conoce como el bloque principal .

En la teoría de la representación ordinaria, todo módulo indescomponible es irreducible y, por lo tanto, todo módulo es proyectivo. Sin embargo, los módulos simples con característica que divide el orden del grupo rara vez son proyectivos. De hecho, si un módulo simple es proyectivo, entonces es el único módulo simple en su bloque, el cual es isomorfo al álgebra de endomorfismos del espacio vectorial subyacente, un álgebra matricial completa. En ese caso, se dice que el bloque tiene "defecto 0". En general, la estructura de los módulos proyectivos es difícil de determinar.

Para el álgebra de grupo de un grupo finito, los módulos proyectivos indescomponibles (de tipos isomorfismos) están en correspondencia biunívoca con los módulos simples (de tipos isomorfismos): el socle de cada módulo proyectivo indescomponible es simple (e isomorfo al elemento superior), lo que permite la biyección, ya que los módulos proyectivos indescomponibles no isomorfos tienen socles no isomorfos. La multiplicidad de un módulo proyectivo indescomponible como sumando del álgebra de grupo (considerado como el módulo regular) es la dimensión de su socle (para cuerpos suficientemente grandes de característica cero, esto recupera el hecho de que cada módulo simple aparece con una multiplicidad igual a su dimensión como sumando directo del módulo regular).

Cada módulo proyectivo indescomponible (y por lo tanto cada módulo proyectivo) en característica positiva p puede elevarse a un módulo en característica 0. Usando el anillo R como se indicó anteriormente, con el cuerpo residual K , el elemento identidad de G puede descomponerse como una suma de idempotentes primitivos mutuamente ortogonales (no necesariamente centrales) de K [ G ]. Cada K [ G ]-módulo proyectivo indescomponible es isomorfo a e.K [ G ] para un idempotente primitivo e que aparece en esta descomposición. El idempotente e se eleva a un idempotente primitivo, digamos E , de R [ G ], y el módulo izquierdo E.R [ G ] tiene una reducción (mod p ) isomorfa a e.K [ G ] .

Cuando se eleva un módulo proyectivo, el carácter asociado se anula en todos los elementos de orden divisible por p y (con una elección consistente de raíces de la unidad) coincide con el carácter de Brauer del módulo original de característica p en elementos p -regulares. El producto interno (del anillo de caracteres usual) del carácter de Brauer de un indescomponible proyectivo con cualquier otro carácter de Brauer se puede definir así: este es 0 si el segundo carácter de Brauer es el del socle de un indescomponible proyectivo no isomorfo, y 1 si el segundo carácter de Brauer es el de su propio socle. La multiplicidad de un carácter irreducible ordinario en el carácter de la elevación de un indescomponible proyectivo es igual al número de ocurrencias del carácter de Brauer del socle del indescomponible proyectivo cuando la restricción del carácter ordinario a elementos p -regulares se expresa como una suma de caracteres de Brauer irreducibles.

Los factores de composición de los módulos proyectivos indescomponibles se pueden calcular de la siguiente manera: Dados los caracteres irreducibles ordinarios y los caracteres irreducibles de Brauer de un grupo finito particular, los caracteres irreducibles ordinarios se pueden descomponer como combinaciones enteras no negativas de los caracteres irreducibles de Brauer. Los enteros involucrados se pueden colocar en una matriz, con los caracteres irreducibles ordinarios asignados a las filas y los caracteres irreducibles de Brauer asignados a las columnas. Esto se conoce como la matriz de descomposición y frecuentemente se etiqueta como D. Es habitual colocar los caracteres triviales ordinarios y de Brauer en la primera fila y columna respectivamente. El producto de la transpuesta de D con D misma resulta en la matriz de Cartan , generalmente denotada C ; esta es una matriz simétrica tal que las entradas en su j -ésima fila son las multiplicidades de los respectivos módulos simples como factores de composición del j -ésimo módulo proyectivo indescomponible. La matriz de Cartan es no singular; de hecho, su determinante es una potencia de la característica de K.

Dado que un módulo proyectivo indescomponible en un bloque dado tiene todos sus factores de composición en ese mismo bloque, cada bloque tiene su propia matriz de Cartan.

A cada bloque B del álgebra de grupo K [ G ], Brauer asoció un cierto p- subgrupo, conocido como su grupo de defecto (donde p es la característica de K ). Formalmente, es el p -subgrupo D de G más grande para el cual existe un Brauer correspondiente de B para el subgrupo , donde es el centralizador de D en G . ${\displaystyle DC_{G}(D)}$${\displaystyle C_{G}(D)}$

El grupo de defectos de un bloque es único salvo conjugación y tiene una fuerte influencia en la estructura del bloque. Por ejemplo, si el grupo de defectos es trivial, entonces el bloque contiene solo un módulo simple, solo un carácter ordinario, los caracteres irreducibles ordinario y de Brauer coinciden en elementos de orden primo a la característica relevante p , y el módulo simple es proyectivo. En el otro extremo, cuando K tiene característica p , el subgrupo de Sylow p del grupo finito G es un grupo de defectos para el bloque principal de K [ G ].

El orden del grupo de defectos de un bloque posee numerosas caracterizaciones aritméticas relacionadas con la teoría de la representación. Es el mayor factor invariante de la matriz de Cartan del bloque y tiene multiplicidad uno. Además, la potencia de p que divide el índice del grupo de defectos de un bloque es el máximo común divisor de las potencias de p que dividen las dimensiones de los módulos simples de dicho bloque, y esto coincide con el máximo común divisor de las potencias de p que dividen los grados de los caracteres irreducibles ordinarios de ese bloque.

Otras relaciones entre el grupo de defectos de un bloque y la teoría de caracteres incluyen el resultado de Brauer que establece que si ningún conjugado de la parte p de un elemento de grupo g pertenece al grupo de defectos de un bloque dado, entonces cada carácter irreducible en ese bloque se anula en g . Esta es una de las muchas consecuencias del segundo teorema principal de Brauer.

El grupo de defectos de un bloque también tiene varias caracterizaciones en el enfoque más modular de la teoría de bloques, basado en el trabajo de J.A. Green , que asocia un p -subgrupo conocido como vértice a un módulo indescomponible, definido en términos de la proyectividad relativa del módulo. Por ejemplo, el vértice de cada módulo indescomponible en un bloque está contenido (salvo conjugación) en el grupo de defectos del bloque, y ningún subgrupo propio del grupo de defectos posee esa propiedad.

El primer teorema principal de Brauer establece que el número de bloques de un grupo finito que tienen un p- subgrupo dado como grupo de defecto es el mismo que el número correspondiente para el normalizador en el grupo de ese p -subgrupo.

La estructura de bloques más fácil de analizar con un grupo de defectos no trivial es aquella en la que el grupo es cíclico. En ese caso, solo existen un número finito de tipos de isomorfismo de módulos indescomponibles en el bloque, y su estructura se comprende bien gracias a los trabajos de Brauer, E. C. Dade , J. A. Green y J. G. Thompson , entre otros. En todos los demás casos, existen infinitos tipos de isomorfismo de módulos indescomponibles en el bloque.

Los bloques cuyos grupos de defectos no son cíclicos se pueden dividir en dos tipos: dóciles y salvajes. Los bloques dóciles (que solo aparecen para el número primo 2) tienen como grupo de defectos un grupo diedral , un grupo semidiédrico o un grupo de cuaterniones (generalizado) , y su estructura ha sido ampliamente determinada en una serie de artículos de Karin Erdmann . Los módulos indescomponibles en los bloques salvajes son extremadamente difíciles de clasificar, incluso en principio.

• Brauer, R. (1935), Über die Darstellung von Gruppen in Galoisschen Feldern , Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 195, París: Hermann et cie, págs.  1 a 15, reseña
• Dickson, Leonard Eugene (1902), "Sobre el grupo definido para cualquier cuerpo dado por la tabla de multiplicación de cualquier grupo finito dado", Transactions of the American Mathematical Society , 3 (3), Providence, RI: American Mathematical Society : 285–301 , doi : 10.2307/1986379 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1986379
• Jean-Pierre Serre (1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90190-6.
• Walter Feit (1982). La teoría de la representación de grupos finitos . Biblioteca Matemática North-Holland. Vol. 25. Ámsterdam-Nueva York: North-Holland Publishing. ISBN 0-444-86155-6.