Procesos estocásticos y problemas de valores en la frontera

En matemáticas , algunos problemas de valores en la frontera pueden resolverse utilizando los métodos del análisis estocástico . Quizás el ejemplo más célebre sea la solución de Shizuo Kakutani de 1944 del problema de Dirichlet para el operador de Laplace utilizando el movimiento browniano . ^{[ 1 ]} Sin embargo, resulta que para una gran clase de ecuaciones diferenciales parciales semielípticas de segundo orden, el problema de valores en la frontera de Dirichlet asociado puede resolverse utilizando un proceso de Itō que resuelve una ecuación diferencial estocástica asociada .

La relación entre los operadores semielípticos y los procesos estocásticos, seguida de su uso para resolver problemas de valores en la frontera, se redescubrió repetidamente y de forma independiente a principios y mediados del siglo XX.

La conexión que Kakutani establece entre las ecuaciones diferenciales estocásticas y el proceso de Itō es, en esencia, la misma que la ecuación directa de Kolmogorov , formulada en 1931, que posteriormente se reconoció como la ecuación de Fokker-Planck , presentada por primera vez entre 1914 y 1917. La solución de un problema de contorno mediante valores esperados sobre procesos estocásticos se conoce ahora más comúnmente no con el nombre de Kakutani, sino como la fórmula de Feynman-Kac , desarrollada en 1947.

Estos resultados se basan en el uso de la integral de Itō , necesaria para integrar un proceso estocástico. Sin embargo, esta también se redescubre de forma independiente como la integral de Stratonovich ; ambas formas pueden transformarse una en la otra mediante un desplazamiento.

Dejar${\displaystyle D}$ser un dominio (un conjunto abierto y conexo ) en${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Dejar${\displaystyle \Delta }$Sea el operador de Laplace , sea${\displaystyle g}$ser una función acotada en el límite${\displaystyle \partial D}$y consideremos el problema:

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta u(x)=0,&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}}$

Se puede demostrar que si una solución${\displaystyle u}$existe, entonces${\displaystyle u(x)}$es el valor esperado de${\displaystyle g(x)}$en el primer punto de salida (aleatorio) de${\displaystyle D}$para un movimiento browniano canónico que comienza en${\displaystyle x}$. Véase el teorema 3 en Kakutani 1944, pág.  710.

Dejar${\displaystyle D}$ser un dominio en${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$y dejar${\displaystyle L}$sea ​​un operador diferencial semielíptico en${\textstyle C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$del formulario:

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}}$

donde los coeficientes${\displaystyle b_{i}}$y${\displaystyle a_{ij}}$son funciones continuas y todos los valores propios de la matriz${\displaystyle \alpha (x)=a_{ij}(x)}$son no negativos. Sea${\textstyle f\in C(D;\mathbb {R} )}$y${\textstyle g\in C(\partial D;\mathbb {R} )}$Consideremos el problema de Poisson :

${\displaystyle {\begin{cases}-Lu(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}\quad {\mbox{(P1)}}}$

La idea del método estocástico para resolver este problema es la siguiente. Primero, se encuentra una difusión de Itō.${\displaystyle X}$cuyo generador infinitesimal${\displaystyle A}$coincide con${\displaystyle L}$sobre soporte compacto${\displaystyle C^{2}}$funciones${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$. Por ejemplo,${\displaystyle X}$puede tomarse como la solución de la ecuación diferencial estocástica:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}}$

dónde${\displaystyle B}$es movimiento browniano n -dimensional,${\displaystyle b}$tiene componentes${\displaystyle b_{i}}$como se indicó anteriormente, y el campo de matriz${\displaystyle \sigma }$se elige de manera que:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (x)\sigma (x)^{\top }=a(x),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Por un punto${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, dejar${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$denotan la ley de${\displaystyle X}$dado el dato inicial${\displaystyle X_{0}=x}$y dejar${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$denota la expectativa con respecto a${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$. Dejar${\displaystyle \tau _{D}}$denota el primer tiempo de salida de${\displaystyle X}$de${\displaystyle D}$.

En esta notación, la solución candidata para (P1) es:

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\cdot \chi _{\{\tau _{D}<+\infty \}}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

siempre que${\displaystyle g}$es una función acotada y que:

${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}{\big |}f(X_{t}){\big |}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty }$

Resulta que se requiere una condición adicional:

${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}{\big (}\tau _{D}<\infty {\big )}=1,\quad \forall x\in D}$

A pesar de${\displaystyle x}$, el proceso${\displaystyle X}$comenzando en${\displaystyle x}$casi con seguridad se va${\displaystyle D}$en un tiempo finito. Bajo esta suposición, la solución candidata anterior se reduce a:

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

y resuelve (P1) en el sentido de que si${\displaystyle {\mathcal {A}}}$denota el operador característico para${\displaystyle X}$(lo cual concuerda con${\displaystyle A}$en${\displaystyle C^{2}}$funciones), entonces:

${\displaystyle {\begin{cases}-{\mathcal {A}}u(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{t\uparrow \tau _{D}}u(X_{t})}=g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )},&\mathbb {P} ^{x}{\mbox{-a.s.,}}\;\forall x\in D\end{cases}}\quad {\mbox{(P2)}}}$

Además, si${\textstyle v\in C^{2}(D;\mathbb {R} )}$satisface (P2) y existe una constante${\displaystyle C}$de tal manera que, para todos${\displaystyle x\in D}$:

${\displaystyle |v(x)|\leq C\left(1+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}{\big |}f(X_{s}){\big |}\,\mathrm {d} s\right]\right)}$

entonces${\displaystyle v=u}$.

• Kakutani, Shizuo (1944). "Movimiento browniano bidimensional y funciones armónicas" . Proc. Imp. Acad. Tokyo . 20 (10): 706– 714. doi : 10.3792/pia/1195572706 .
• Kakutani, Shizuo (1944). "Sobre los movimientos brownianos en el espacio n " . Proc. Imp. Acad. Tokyo . 20 (9): 648– 652. doi : 10.3792/pia/1195572742 .