Clase Chern

Las clases de Chern son clases características . Son invariantes topológicos asociados a fibrados vectoriales en una variedad diferenciable. La cuestión de si dos fibrados vectoriales aparentemente diferentes son iguales puede ser bastante difícil de responder. Las clases de Chern proporcionan una prueba sencilla: si las clases de Chern de un par de fibrados vectoriales no coinciden, entonces los fibrados vectoriales son diferentes. Sin embargo, lo contrario no es cierto.

En topología, geometría diferencial y geometría algebraica, a menudo es importante contar cuántas secciones linealmente independientes tiene un fibrado vectorial. Las clases de Chern ofrecen información al respecto, por ejemplo, mediante el teorema de Riemann-Roch y el teorema del índice de Atiyah-Singer .

Las clases de Chern también son factibles de calcular en la práctica. En geometría diferencial (y algunos tipos de geometría algebraica), las clases de Chern se pueden expresar como polinomios en los coeficientes de la forma de curvatura .

Existen diversas maneras de abordar el tema, cada una de las cuales se centra en un aspecto ligeramente diferente de la clase Chern.

El enfoque original para las clases de Chern fue a través de la topología algebraica: las clases de Chern surgen mediante la teoría de homotopía , que proporciona una aplicación asociada a un fibrado vectorial a un espacio clasificador (una grassmanniana infinita en este caso). Para cualquier fibrado vectorial complejo V sobre una variedad M , existe una aplicación f de M al espacio clasificador tal que el fibrado V es igual a la imagen inversa, por f , de un fibrado universal sobre el espacio clasificador, y las clases de Chern de V pueden definirse, por lo tanto, como la imagen inversa de las clases de Chern del fibrado universal. A su vez, estas clases de Chern universales pueden escribirse explícitamente en términos de ciclos de Schubert .

Se puede demostrar que para cualesquiera dos aplicaciones f y g de M al espacio clasificador, cuyas imágenes inversas sean el mismo fibrado V , las aplicaciones deben ser homotópicas. Por lo tanto, la imagen inversa, ya sea f o g, de cualquier clase de Chern universal a una clase de cohomología de M debe ser la misma clase. Esto demuestra que las clases de Chern de V están bien definidas.

El enfoque de Chern empleó la geometría diferencial, mediante el método de curvatura descrito principalmente en este artículo. Demostró que la definición anterior era, de hecho, equivalente a la suya. La teoría resultante se conoce como la teoría de Chern-Weil .

También existe un enfoque de Alexander Grothendieck que muestra que, axiomáticamente, solo es necesario definir el caso del fibrado de líneas.

Las clases de Chern surgen de forma natural en la geometría algebraica . Las clases de Chern generalizadas en geometría algebraica se pueden definir para haces vectoriales (o, más precisamente, haces localmente libres ) sobre cualquier variedad no singular. Las clases de Chern algebro-geométricas no requieren que el cuerpo subyacente tenga propiedades especiales. En particular, los haces vectoriales no tienen por qué ser complejos.

Independientemente del paradigma particular, el significado intuitivo de la clase de Chern se refiere a los "ceros requeridos" de una sección de un fibrado vectorial: por ejemplo, el teorema que afirma que no se puede aplanar una bola peluda ( teorema de la bola peluda ). Si bien, estrictamente hablando, se trata de una cuestión relativa a un fibrado vectorial real (los "pelos" de una bola son en realidad copias de la recta real), existen generalizaciones en las que los pelos son complejos (véase el ejemplo del teorema de la bola peluda compleja más adelante), o para espacios proyectivos unidimensionales sobre muchos otros cuerpos.

Para más información, consulte la teoría de Chern-Simons .

Dado un fibrado vectorial complejo V de rango complejo n sobre una variedad diferenciable M, fije una conexión del fibrado vectorial.${\displaystyle \nabla }$. Luego, representantes de cada clase de Chern (también llamada forma de Chern )${\displaystyle c_{k}(V)}$Los coeficientes de V se dan como los coeficientes del polinomio característico de la forma de curvatura.${\displaystyle \Omega }$de${\displaystyle \nabla }$.

$${\displaystyle \det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}}$$

El determinante está sobre el anillo de${\displaystyle n\times n}$Matrices cuyas entradas son polinomios en t con coeficientes en el álgebra conmutativa de formas diferenciales complejas de grado par en M. La forma de curvatura${\displaystyle \Omega }$de V se define como $${\displaystyle \Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]}$$ con ω la forma de conexión y d la derivada exterior , o mediante la misma expresión en la que ω es un campo de calibre para el grupo de calibre de V. El escalar t se usa aquí solo como una indeterminada para generar la suma a partir del determinante, e I denota la matriz identidad n × n .

Decir que la expresión dada es representativa de la clase de Chern indica que "clase" aquí significa salvo la adición de una forma diferencial exacta . Es decir, las clases de Chern son clases de cohomología en el sentido de la cohomología de De Rham . Se puede demostrar que las clases de cohomología de las formas de Chern no dependen de la elección de la conexión.${\displaystyle \nabla }$.

Esto se deduce de la identidad matricial.${\displaystyle \mathrm {tr} (\ln(X))=\ln(\det(X))}$eso${\displaystyle \det(X)=\exp(\mathrm {tr} (\ln(X)))}$. Ahora aplicando la serie de Maclaurin para${\displaystyle \ln(X+I)}$, obtenemos la siguiente expresión para las formas de Chern:

$${\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[1+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].}$$

Se puede definir una clase de Chern en términos de una clase de Euler. Este es el enfoque del libro de Milnor y Stasheff, que enfatiza el papel de la orientación de un fibrado vectorial .

La observación básica es que un fibrado vectorial complejo viene con una orientación canónica, en última instancia porque${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$está conectado. Por lo tanto, simplemente se define la clase de Chern superior del fibrado como su clase de Euler (la clase de Euler del fibrado vectorial real subyacente) y se manejan las clases de Chern inferiores de manera inductiva.

La construcción precisa es la siguiente. La idea es realizar un cambio de base para obtener un paquete de rango uno menos. Sea${\displaystyle \pi \colon E\to B}$Sea un fibrado vectorial complejo sobre un espacio paracompacto B. Pensando en B como incrustado en E como la sección cero, sea${\displaystyle B'=E\setminus B}$y definir el nuevo haz vectorial: $${\displaystyle E'\to B'}$$ de tal manera que cada fibra es el cociente de una fibra F de E por la línea generada por un vector no nulo v en F (un punto de B′ se especifica mediante una fibra F de E y un vector no nulo en F. ) ^{[ 4 ]} Entonces${\displaystyle E'}$tiene un rango menor que el de E. De la secuencia de Gysin para el haz de fibras${\displaystyle \pi |_{B'}\colon B'\to B}$: $${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,}$$ vemos que${\displaystyle \pi |_{B'}^{*}}$es un isomorfismo para${\displaystyle k<2n-1}$. Dejar $${\displaystyle c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E')&k<n\\e(E_{\mathbb {R} })&k=n\\0&k>n\end{cases}}}$$

Luego se requiere cierto trabajo para comprobar que se cumplen los axiomas de las clases de Chern para esta definición.

Véase también: El isomorfismo de Thom .

Dejar${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$Sea la esfera de Riemann : un espacio proyectivo complejo unidimensional . Supongamos que z es una coordenada local holomorfa para la esfera de Riemann. Sea${\displaystyle V=T\mathbb {CP} ^{1}}$sea ​​el conjunto de vectores tangentes complejos que tienen la forma${\displaystyle a\partial /\partial z}$en cada punto, donde a es un número complejo . Demostramos la versión compleja del teorema de la bola peluda : V no tiene ninguna sección que sea distinta de cero en todas partes.

Para ello, necesitamos el siguiente hecho: la primera clase de Chern de un fibrado trivial es cero, es decir, $${\displaystyle c_{1}(\mathbb {CP} ^{1}\times \mathbb {C} )=0.}$$

Esto se evidencia por el hecho de que un fibrado trivial siempre admite una conexión plana. Por lo tanto, demostraremos que $${\displaystyle c_{1}(V)\not =0.}$$

Consideremos la métrica de Kähler.$${\displaystyle h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

Se puede demostrar fácilmente que la 2-forma de curvatura viene dada por $${\displaystyle \Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

Además, por la definición de la primera clase de Chern $${\displaystyle c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\operatorname {tr} \Omega \right].}$$

Debemos demostrar que esta clase de cohomología no es cero. Basta con calcular su integral sobre la esfera de Riemann: $${\displaystyle \int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2}$$ después de cambiar a coordenadas polares . Según el teorema de Stokes , una forma exacta se integraría a 0, por lo que la clase de cohomología es distinta de cero.

Esto demuestra que${\displaystyle T\mathbb {CP} ^{1}}$no es un fibrado vectorial trivial.

Existe una secuencia exacta de haces/paquetes: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {CP} ^{n}\to 0}$$ dónde${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}}$es el haz de estructuras (es decir, el fibrado de líneas trivial),${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)}$es el haz retorcido de Serre (es decir, el fibrado hiperplano ) y el último término no nulo es el haz /fibrado tangente.

Hay dos maneras de obtener la secuencia anterior:

Por la aditividad de la clase total de Chern${\displaystyle c=1+c_{1}+c_{2}+\cdots }$(es decir, la fórmula de suma de Whitney), $${\displaystyle c(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {CP} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1},}$$ donde a es el generador canónico del grupo de cohomología${\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n},\mathbb {Z} )}$; es decir, la negativa de la primera clase de Chern del fibrado de líneas tautológico${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(-1)}$(nota:${\displaystyle c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)}$cuando${\displaystyle E^{*}}$es el dual de E. )

En particular, para cualquier${\displaystyle k\geq 0}$, $${\displaystyle c_{k}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.}$$

Podemos usar estas propiedades abstractas para calcular el resto de las clases de Chern de haces de líneas en${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$. Recuerda que${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)^{*}\cong {\mathcal {O}}(1)}$demostración${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(1))=1\in H^{2}(\mathbb {CP} ^{1};\mathbb {Z} )}$Luego, utilizando potencias tensoriales, podemos relacionarlas con las clases de Chern de${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(n))=n}$para cualquier número entero.

Las clases de Chern satisfacen los siguientes cuatro axiomas:

1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$para todos E.
2. Naturalidad: Si${\displaystyle f:Y\to X}$es continua y f*E es el producto vectorial de E , entonces${\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)}$. ^{[ 15 ]}
3. Fórmula de suma de Whitney : Si${\displaystyle F\to X}$es otro fibrado vectorial complejo, entonces las clases de Chern de la suma directa${\displaystyle E\oplus F}$están dados por ^{[ 16 ] [ 17 ]}$${\displaystyle c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);}$$eso es,$${\displaystyle c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{k-i}(F).}$$
4. Normalización: La clase de Chern total del fibrado de líneas tautológico sobre${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k}}$es 1− H , donde H es el dual de Poincaré del hiperplano${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbb {CP} ^{k}}$.

Como alternativa, Alexander Grothendieck ( 1958 ) los reemplazó por un conjunto de axiomas ligeramente más pequeño: 

• Naturalidad: (Igual que lo anterior)
• Aditividad: Si${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$es una secuencia exacta de haces vectoriales, entonces${\displaystyle c(E)=c(E')\smile c(E'')}$.
• Normalización: Si E es un fibrado de líneas , entonces${\displaystyle c(E)=1+e(E_{\mathbb {R} })}$dónde${\displaystyle e(E_{\mathbb {R} })}$es la clase de Euler del fibrado vectorial real subyacente.

Utilizando el teorema de Leray-Hirsch, demuestra que la clase de Chern total de un fibrado vectorial complejo de rango finito arbitrario puede definirse en términos de la primera clase de Chern de un fibrado lineal definido tautológicamente.

Es decir, introduciendo la proyectividad${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$del fibrado vectorial complejo de rango n E → B como el fibrado en B cuya fibra en cualquier punto${\displaystyle b\in B}$es el espacio proyectivo de la fibra E _b . El espacio total de este fibrado${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$está equipado con su fibrado de líneas complejo tautológico, que denotamos${\displaystyle \tau }$y la primera clase Chern $${\displaystyle c_{1}(\tau )=:-a}$$ restringe cada fibra${\displaystyle \mathbb {P} (E_{b})}$restar la clase (dual de Poincaré) del hiperplano, que abarca la cohomología de la fibra, en vista de la cohomología de los espacios proyectivos complejos .

Las clases $${\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbb {P} (E))}$$ Por lo tanto, forman una familia de clases de cohomología ambiental que se restringe a una base de la cohomología de la fibra. El teorema de Leray-Hirsch establece entonces que cualquier clase en${\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} (E))}$se puede escribir de forma única como una combinación lineal de 1, a , a ² , ..., a ^{n −1} con clases en la base como coeficientes.

En particular, se pueden definir las clases de Chern de E en el sentido de Grothendieck, denotado${\displaystyle c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)}$Al expandir de esta manera la clase${\displaystyle -a^{n}}$, con la relación: $${\displaystyle -a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E).}$$

Entonces se puede comprobar que esta definición alternativa coincide con cualquier otra definición que se prefiera, o bien utilizar la caracterización axiomática anterior.

De hecho, estas propiedades caracterizan de manera única a las clases de Chern. Implican, entre otras cosas:

• Si n es el rango complejo de V , entonces${\displaystyle c_{k}(V)=0}$para todo k > n . Por lo tanto, la clase de Chern total termina.
• La clase superior de Chern de V (que significa${\displaystyle c_{n}(V)}$, donde n es el rango de V ) siempre es igual a la clase de Euler del fibrado vectorial real subyacente.

Existe otra construcción de clases de Chern que toman valores en el análogo algebrogeométrico del anillo de cohomología, el anillo de Chow .

Dejar${\displaystyle X}$ser una variedad cuasiproyectiva no singular de dimensión${\displaystyle n}$Se puede demostrar que existe una teoría única de clases de Chern que asigna un fibrado vectorial algebraico.${\displaystyle E\to X}$a elementos${\displaystyle c_{i}(E)\in A^{i}(X)}$llamadas clases de Chern, con polinomio de Chern${\displaystyle c_{t}(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}}$, satisfaciendo lo siguiente (similar al enfoque axiomático de Grothendieck ). ^{[ 18 ]}

1. Si para un divisor de Cartier${\displaystyle D}$, tenemos${\displaystyle E\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)}$, entonces${\displaystyle c_{t}(E)=1+Dt}$.
2. Si${\displaystyle f:X'\to X}$es un morfismo, entonces${\displaystyle c_{i}(f^{*}E)=f^{*}c_{i}(E)}$.
3. Si${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$es una secuencia exacta de haces vectoriales en${\displaystyle X}$La fórmula de suma de Whitney se cumple:${\displaystyle c_{t}(E)=c_{t}(E')c_{t}(E'')}$.

El cálculo de las clases características para el espacio proyectivo constituye la base de muchos cálculos de clases características, ya que para cualquier subvariedad proyectiva suave${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$existe la secuencia corta exacta $${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N}}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$$

Las clases de Chern se pueden utilizar para construir un homomorfismo de anillos desde la K-teoría topológica de un espacio hasta (la completación de) su cohomología racional. Para un fibrado lineal L , el carácter de Chern ch se define por

$${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$$

En términos más generales, si${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$es una suma directa de haces de líneas, con clases de Chern de primer orden${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$El carácter de Chern se define de forma aditiva. $${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).}$$

Esto se puede reescribir como: ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+\cdots .}$$

Esta última expresión, justificada invocando el principio de escisión , se toma como la definición ch (V) para haces vectoriales arbitrarios V.

Si se utiliza una conexión para definir las clases de Chern cuando la base es una variedad (es decir, la teoría de Chern-Weil ), entonces la forma explícita del carácter de Chern es $${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left[\operatorname {tr} \left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)\right]}$$ donde Ω es la curvatura de la conexión.

El carácter de Chern es útil en parte porque facilita el cálculo de la clase de Chern de un producto tensorial. Específicamente, obedece las siguientes identidades: ^{[ 20 ] [ 21 ]}

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\oplus W)=\operatorname {ch} (V)+\operatorname {ch} (W)}$$$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\otimes W)=\operatorname {ch} (V)\operatorname {ch} (W).}$$

Como se indicó anteriormente, utilizando el axioma de aditividad de Grothendieck para las clases de Chern, la primera de estas identidades se puede generalizar para afirmar que ch es un homomorfismo de grupos abelianos de la K-teoría K ( X ) a la cohomología racional de X. La segunda identidad establece que este homomorfismo también respeta productos en K ( X ), por lo que ch es un homomorfismo de anillos.

El carácter de Chern se utiliza en el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch .

Si trabajamos en una variedad orientada de dimensión${\displaystyle 2n}$, entonces cualquier producto de clases de Chern de grado total${\displaystyle 2n}$(es decir, la suma de los índices de las clases de Chern en el producto debe ser${\displaystyle n}$) se puede combinar con la clase de homología de orientación (o "integrada sobre la variedad") para dar un número entero, un número de Chern del fibrado vectorial. Por ejemplo, si la variedad tiene dimensión 6, hay tres números de Chern linealmente independientes, dados por${\displaystyle c_{1}^{3}}$,${\displaystyle c_{1}c_{2}}$, y${\displaystyle c_{3}}$. En general, si la variedad tiene dimensión${\displaystyle 2n}$, el número de posibles números de Chern independientes es el número de particiones de${\displaystyle n}$.

Los números de Chern del fibrado tangente de una variedad compleja (o casi compleja) se denominan números de Chern de la variedad y son invariantes importantes.

Existe una generalización de la teoría de clases de Chern, donde la cohomología ordinaria se reemplaza por una teoría de cohomología generalizada . Las teorías para las que es posible tal generalización se denominan orientables complejas . Las propiedades formales de las clases de Chern permanecen iguales, con una diferencia crucial: la regla que calcula la primera clase de Chern de un producto tensorial de fibrados de líneas en términos de las primeras clases de Chern de los factores no es la suma (ordinaria), sino más bien una ley de grupo formal .

En geometría algebraica existe una teoría similar de clases de Chern de fibrados vectoriales. Existen varias variaciones dependiendo de los grupos a los que pertenezcan las clases de Chern:

• Para variedades complejas, las clases de Chern pueden tomar valores en la cohomología ordinaria, como se indicó anteriormente.
• Para variedades sobre cuerpos generales, las clases de Chern pueden tomar valores en teorías de cohomología como la cohomología étale o la cohomología l-ádica .
• Para variedades V sobre cuerpos generales, las clases de Chern también pueden tomar valores en homomorfismos de grupos de Chow CH(V): por ejemplo, la primera clase de Chern de un fibrado de líneas sobre una variedad V es un homomorfismo de CH( V ) a CH( V ) que reduce los grados en 1. Esto corresponde al hecho de que los grupos de Chow son una especie de análogo de los grupos de homología, y los elementos de los grupos de cohomología pueden pensarse como homomorfismos de grupos de homología usando el producto cap .

La teoría de las clases de Chern da lugar a invariantes de cobordismo para variedades casi complejas .

Si M es una variedad casi compleja, entonces su fibrado tangente es un fibrado vectorial complejo. Las clases de Chern de M se definen, por lo tanto, como las clases de Chern de su fibrado tangente. Si M también es compacta y de dimensión 2d , entonces cada monomio de grado total 2d en las clases de Chern puede emparejarse con la clase fundamental de M , dando un número entero, un número de Chern de M. Si M ' es otra variedad casi compleja de la misma dimensión, entonces es cobordante a M si y solo si los números de Chern de M ' coinciden con los de M.

La teoría también se extiende a los haces vectoriales simplécticos reales, mediante la intermediación de estructuras casi complejas compatibles. En particular, las variedades simplécticas poseen una clase de Chern bien definida.

(Véase la geometría de Arakelov )