Nudo alterno

En la teoría de nudos , un diagrama de nudo o enlace es alternante si los cruces se alternan por debajo, por encima, por debajo, por encima, a medida que se recorre cada componente del enlace. Un enlace es alternante si tiene un diagrama alternante.

Muchos de los nudos con un número de cruces menor que 10 son alternantes. Este hecho y las propiedades útiles de los nudos alternantes, como las conjeturas de Tait , fueron lo que permitió a los primeros tabuladores de nudos, como Tait, construir tablas con relativamente pocos errores u omisiones. Los nudos primos no alternantes más simples tienen 8 cruces (y hay tres de ellos: 8 ₁₉ , 8 ₂₀ , 8 ₂₁ ).

Se conjetura que, a medida que aumenta el número de cruces, el porcentaje de nudos que se alternan tiende a 0 exponencialmente rápido.

Los enlaces alternados terminan desempeñando un papel importante en la teoría de nudos y la teoría de variedades tridimensionales , debido a que sus complementos poseen propiedades geométricas y topológicas útiles e interesantes. Esto llevó a Ralph Fox a preguntarse: "¿Qué es un nudo alternado?". Con esto, se preguntaba qué propiedades no diagramáticas del complemento del nudo caracterizarían a los nudos alternados. ^{[ 1 ]}

En noviembre de 2015, Joshua Evan Greene publicó una preimpresión que establecía una caracterización de los enlaces alternados en términos de superficies de expansión definidas, es decir, una definición de enlaces alternados (de los cuales los nudos alternados son un caso especial) sin utilizar el concepto de diagrama de enlace . ^{[ 2 ]}

En un diagrama alternado se revela diversa información geométrica y topológica. La primalidad y la divisiblebilidad de un enlace se aprecian fácilmente en el diagrama. El número de cruces de un diagrama alternado reducido es el número de cruces del nudo. Esta última es una de las célebres conjeturas de Tait.

Un diagrama de nudos alternados guarda una correspondencia biunívoca con un grafo planar . Cada cruce se asocia con una arista y la mitad de los componentes conexos del complemento del diagrama se asocian con vértices de forma similar a un tablero de ajedrez.

Las conjeturas de Tait son:

1. Cualquier diagrama simplificado de un enlace alterno tiene el menor número posible de cruces.
2. Cualquier par de diagramas reducidos del mismo nudo alternante tienen el mismo giro .
3. Dados dos diagramas alternantes reducidos cualesquiera D ₁ y D ₂ de un enlace alternante primo orientado: D ₁ puede transformarse en D ₂ mediante una secuencia de ciertos movimientos simples llamados flypes . También conocida como la conjetura de flyping de Tait. ^{[ 3 ]}

Morwen Thistlethwaite , Louis Kauffman y K. Murasugi demostraron las dos primeras conjeturas de Tait en 1987, y Morwen Thistlethwaite y William Menasco demostraron la conjetura del vuelo de Tait en 1991.

Menasco , aplicando el teorema de hiperbolización de Thurston para las variedades de Haken , demostró que cualquier enlace alternante primo y no dividido es hiperbólico , es decir, el complemento del enlace tiene una geometría hiperbólica , a menos que el enlace sea un enlace toroidal .

Así, el volumen hiperbólico es un invariante de muchos enlaces alternados. Marc Lackenby ha demostrado que el volumen tiene límites lineales superiores e inferiores que dependen del número de regiones de torsión de un diagrama alternado reducido.

• Weisstein, Eric W. "Nudo alternado" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Conjeturas del nudo de Tait" . MathWorld .
• Nudos celtas para construir un nudo alternado a partir de su gráfico plano.