Teorema de las cuerdas secantes

{\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|} — $|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$

{\displaystyle {\begin{aligned}&|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|\\={}&(r+d)\cdot (rd)=r^{2}-d^{2}\end{aligned}}} — ${\begin{aligned}&|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|\\={}&(r+d)\cdot (rd)=r^{2}-d^{2}\end{aligned}}$

{\displaystyle \triangle ASD\sim \triangle BSC} — $\triangle ASD\sim \triangle BSC$

En geometría euclidiana , el teorema de las cuerdas secantes , o simplemente teorema de la cuerda , describe la relación entre los cuatro segmentos de recta formados por la intersección de dos cuerdas dentro de un círculo . Este teorema establece que los productos de las longitudes de los segmentos de recta en cada cuerda son iguales. Corresponde a la Proposición 35 del Libro 3 de los Elementos de Euclides .

Más precisamente, para dos cuerdas $AC$ y $BD$ que se intersecan en un punto $S,$ se cumple la siguiente ecuación: $|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$

Lo contrario también es cierto. Es decir: si para dos segmentos de recta $AC$ y $BD$ que se intersecan en $S$ se cumple la ecuación anterior, entonces sus cuatro extremos $A, B, C y D$ se encuentran en una circunferencia común. O dicho de otro modo, si las diagonales de un cuadrilátero $ABCD$ se intersecan en $S$ y cumplen la ecuación anterior, entonces se trata de un cuadrilátero cíclico .

El valor de los dos productos en el teorema de la cuerda depende únicamente de la distancia del punto de intersección $S$ al centro del círculo y se denomina valor absoluto de la potencia de $S$ ; más precisamente, se puede afirmar que: $|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^{2}-d^{2},$ donde $r$ es el radio del círculo y $d$ es la distancia entre el centro del círculo y el punto de intersección $S.$ Esta propiedad se deduce directamente de la aplicación del teorema de la cuerda a una tercera cuerda (un diámetro) que pasa por $S$ y el centro del círculo $M$ (véase el dibujo).

El teorema se puede demostrar utilizando triángulos semejantes (mediante el teorema del ángulo inscrito ). Consideremos los ángulos de los triángulos $△ ASD$ y $△ BSC$ : ${\begin{aligned}\angle ADS&=\angle BCS\,({\text{ángulos inscritos sobre AB}})\\\angle DAS&=\angle CBS\,({\text{ángulos inscritos sobre CD}})\\\angle ASD&=\angle BSC\,({\text{ángulos opuestos}})\end{aligned}}$ Esto significa que los triángulos $△ ASD$ y $△ BSC$ son semejantes y por lo tanto

${\frac {AS}{SD}}={\frac {BS}{SC}}\Leftrightarrow |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$

Junto al teorema de la tangente-secante y al teorema de las secantes que se intersecan , el teorema de las cuerdas que se intersecan representa uno de los tres casos básicos de un teorema más general sobre dos líneas que se intersecan y un círculo: el teorema de la potencia de un punto .

Referencias

Paul Glaister: Teorema de las cuerdas que se intersecan: 30 años después . Matemáticas en la escuela, vol. 36, n.º 1 (enero de 2007), pág. 22 ( JSTOR ).
Bruce Shawyer: Exploraciones en geometría . World Scientific, 2010, ISBN 9789813100947pág. 14
Hans Schupp: Geometría elemental. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, pág. 149 (alemán).
Schülerduden-Matemática I. Bibliographisches Institut & FA Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, págs. 415-417 (alemán)

Enlaces externos

Teorema de las cuerdas que se intersecan en cut-the-knot.org
Teorema de las cuerdas que se intersecan. Archivado el 1 de diciembre de 2020 en Wayback Machine en proofwiki.org.
Weisstein, Eric W. "Acorde" . MundoMatemático .
Dos ilustraciones interactivas:y