El poder de un punto

Por cualquier punto${\displaystyle P}$fuera del círculo${\displaystyle c}$Hay dos puntos tangentes ${\displaystyle T_{1},T_{2}}$en círculo${\displaystyle c}$, que tienen la misma distancia a${\displaystyle P}$. Por lo tanto, el círculo${\displaystyle o}$con centro${\displaystyle P}$a través de${\displaystyle T_{1}}$pases${\displaystyle T_{2}}$, también, y se cruza${\displaystyle c}$ortogonal:

• El círculo con centro${\displaystyle P}$y radio${\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}}$interseca el círculo${\displaystyle c}$ortogonal .

Si el radio${\displaystyle \rho }$del círculo centrado en${\displaystyle P}$es diferente de${\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}}$se obtiene el ángulo de intersección${\displaystyle \varphi }$entre los dos círculos aplicando la Ley de los cosenos (ver el diagrama):

${\displaystyle \rho ^{2}+r^{2}-2\rho r\cos \varphi =|PO|^{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ \cos \varphi ={\frac {\rho ^{2}+r^{2}-|PO|^{2}}{2\rho r}}={\frac {\rho ^{2}-\Pi (P)}{2\rho r}}}$

(${\displaystyle PS_{1}}$y${\displaystyle OS_{1}}$son normales a las tangentes del círculo.)

Si${\displaystyle P}$se encuentra dentro del círculo azul, entonces${\displaystyle \Pi (P)<0}$y${\displaystyle \varphi }$siempre es diferente de${\displaystyle 90^{\circ }}$.

Si el ángulo${\displaystyle \varphi }$Se da un dato, entonces se obtiene el radio${\displaystyle \rho }$resolviendo la ecuación cuadrática

${\displaystyle \rho ^{2}-2\rho r\cos \varphi -\Pi (P)=0}$.

Para el teorema de las secantes secantes y el teorema de la cuerda, la potencia de un punto juega el papel de un invariante :

• Teorema de las secantes secantes : Para un punto${\displaystyle P}$fuera de un círculo${\displaystyle c}$y los puntos de intersección${\displaystyle S_{1},S_{2}}$de una línea secante${\displaystyle g}$con${\displaystyle c}$La siguiente afirmación es verdadera:${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=\Pi (P)}$Por lo tanto, el producto es independiente de la línea.${\displaystyle g}$. Si${\displaystyle g}$es tangente entonces${\displaystyle S_{1}=S_{2}}$y el enunciado es el teorema de la tangente-secante .
• Teorema de las cuerdas secantes : Para un punto${\displaystyle P}$dentro de un círculo${\displaystyle c}$y los puntos de intersección${\displaystyle S_{1},S_{2}}$de una línea secante${\displaystyle g}$con${\displaystyle c}$La siguiente afirmación es verdadera:${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-\Pi (P)}$Por lo tanto, el producto es independiente de la línea.${\displaystyle g}$.

Dejar${\displaystyle P}$ser un punto y${\displaystyle c_{1},c_{2}}$dos círculos no concéntricos con centros${\displaystyle O_{1},O_{2}}$y radios${\displaystyle r_{1},r_{2}}$. Punto${\displaystyle P}$tiene el poder${\displaystyle \Pi _{i}(P)}$con respecto al círculo${\displaystyle c_{i}}$. El conjunto de todos los puntos${\displaystyle P}$con${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P)}$es una línea llamada eje radical . Contiene los posibles puntos comunes de los círculos y es perpendicular a la línea${\displaystyle {\overline {O_{1}O_{2}}}}$.

Los puntos de semejanza son una herramienta esencial para las investigaciones de Steiner sobre círculos. ^{[ 5 ]}

Dados dos círculos

${\displaystyle \ c_{1}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=0,\quad c_{2}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2}=0\ .}$

Una homotecia ( similitud )${\displaystyle \sigma }$, que mapea${\displaystyle c_{1}}$sobre${\displaystyle c_{2}}$estiramientos (sacudidas) radio${\displaystyle r_{1}}$a${\displaystyle r_{2}}$y tiene su centro${\displaystyle Z:{\vec {z}}}$en la línea${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$, porque${\displaystyle \sigma (M_{1})=M_{2}}$. Si el centro${\displaystyle Z}$está entre${\displaystyle M_{1},M_{2}}$El factor de escala es${\displaystyle s=-{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$En el otro caso${\displaystyle s={\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$. En todo caso:

${\displaystyle \sigma ({\vec {m}}_{1})={\vec {z}}+s({\vec {m}}_{1}-{\vec {z}})={\vec {m}}_{2}}$.

Insertar${\displaystyle s=\pm {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$y resolver para${\displaystyle {\vec {z}}}$rendimientos:

${\displaystyle {\vec {z}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}\mp r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}\mp r_{2}}}}$.

Punto$${\displaystyle E:{\vec {e}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}-r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}-r_{2}}}}$$se denomina punto de similitud exterior y$${\displaystyle I:{\vec {i}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}+r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}$$se denomina punto de similitud interna .

En caso de${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$uno consigue${\displaystyle E=I=M_{i}}$. En caso de${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$:${\displaystyle E}$es el punto en el infinito de la línea${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$y${\displaystyle I}$es el centro de${\displaystyle M_{1},M_{2}}$. En caso de${\displaystyle r_{1}=|EM_{1}|}$Los círculos se tocan en el punto${\displaystyle E}$interior (ambos círculos en el mismo lado de la línea tangente común). En caso de${\displaystyle r_{1}=|IM_{1}|}$Los círculos se tocan en el punto${\displaystyle I}$exterior (ambos círculos en lados opuestos de la línea tangente común).

Además:

• Si los círculos son disjuntos (los discos no tienen puntos en común), las tangentes comunes exteriores se encuentran en${\displaystyle E}$y los internos en${\displaystyle I}$.
• Si un círculo está contenido dentro del otro , los puntos${\displaystyle E,I}$se encuentran dentro de ambos círculos.
• Las parejas${\displaystyle M_{1},M_{2};E,I}$son conjugados armónicos proyectivos : Su razón cruzada es${\displaystyle (M_{1},M_{2};E,I)=-1}$.

El teorema de Monge establece que los puntos de semejanza externos de tres círculos disjuntos se encuentran sobre una línea.

Dejar${\displaystyle c_{1},c_{2}}$sean dos círculos,${\displaystyle E}$su similitud externa punto y${\displaystyle g}$una línea a través${\displaystyle E}$, que se encuentra con los dos círculos en cuatro puntos${\displaystyle G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}}$. De la propiedad definitoria del punto${\displaystyle E}$uno consigue

${\displaystyle {\frac {|EG_{1}|}{|EG_{2}|}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {|EH_{1}|}{|EH_{2}|}}\ }$

${\displaystyle \rightarrow \ |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\ }$

y del teorema de la secante (ver arriba) las dos ecuaciones

${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{1}|=\Pi _{1}(E),\quad |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|=\Pi _{2}(E).}$

La combinación de estas tres ecuaciones da como resultado: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)&=|EG_{1}|\cdot |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|\\&=|EG_{1}|^{2}\cdot |EH_{2}|^{2}=|EG_{2}|^{2}\cdot |EH_{1}|^{2}\ .\end{aligned}}}$$ Por eso:$${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EG_{2}|\cdot |EH_{1}|={\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}}}$$(independiente de la línea)${\displaystyle g}$ !). La declaración análoga para el punto de similitud interna${\displaystyle I}$Eso también es cierto.

Los invariantes${\textstyle {\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}},\ {\sqrt {\Pi _{1}(I)\cdot \Pi _{2}(I)}}}$Son llamados por Steiner poder común de los dos círculos ( gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte ). ^{[ 6 ]}

Las parejas${\displaystyle G_{1},H_{2}}$y${\displaystyle H_{1},G_{2}}$de puntos son puntos antihomólogos . Los pares${\displaystyle G_{1},G_{2}}$y${\displaystyle H_{1},H_{2}}$son homólogos . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Para una segunda secante a través de ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|=|EH'_{1}|\cdot |EG'_{2}|}$

Del teorema de la secante se obtiene:

Los cuatro puntos${\displaystyle H_{1},G_{2},H'_{1},G'_{2}}$yacen en círculo.

Y de forma análoga:

Los cuatro puntos${\displaystyle G_{1},H_{2},G'_{1},H'_{2}}$Túmbate también en círculo.

Debido a que las líneas radicales de tres círculos se encuentran en el radical (ver: artículo línea radical), se obtiene:

Las secantes${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},\;{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$se encuentran en el eje radical de los dos círculos dados.

Al desplazar la secante inferior (ver diagrama) hacia la superior, el círculo rojo se convierte en un círculo tangente a ambos círculos dados. El centro del círculo tangente es la intersección de las líneas.${\displaystyle {\overline {M_{1}H_{1}}},{\overline {M_{2}G_{2}}}}$Las secantes${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$se convierten en tangentes en los puntos${\displaystyle H_{1},G_{2}}$Las tangentes se intersecan en la línea radical.${\displaystyle p}$(en el diagrama, en amarillo).

Consideraciones similares generan el segundo círculo tangente, que intersecta los círculos dados en los puntos${\displaystyle G_{1},H_{2}}$(Ver diagrama).

Todos los círculos tangentes a los círculos dados se pueden encontrar variando la línea.${\displaystyle g}$.

Posiciones de los centros

Si${\displaystyle X}$es el centro y${\displaystyle \rho }$el radio del círculo, que es tangente a los círculos dados en los puntos${\displaystyle H_{1},G_{2}}$, entonces:

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|-r_{1}=|XM_{2}|-r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=r_{2}-r_{1}.}$

Por lo tanto: los centros se encuentran en una hipérbola con

focos${\displaystyle M_{1},M_{2}}$,

distancia de los vértices${\displaystyle 2a=r_{2}-r_{1}}$,

centro${\displaystyle M}$es el centro de ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$,

excentricidad lineal${\displaystyle c={\tfrac {|M_{1}M_{2}|}{2}}}$y

${\displaystyle \ b^{2}=e^{2}-a^{2}={\tfrac {|M_{1}M_{2}|^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}}{4}}}$.

Las consideraciones sobre los círculos tangentes exteriores conducen al resultado análogo:

Si${\displaystyle X}$es el centro y${\displaystyle \rho }$el radio del círculo, que es tangente a los círculos dados en los puntos${\displaystyle G_{1},H_{2}}$, entonces:

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|+r_{1}=|XM_{2}|+r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=-(r_{2}-r_{1}).}$

Los centros se sitúan sobre la misma hipérbola, pero en la rama derecha.

Véase también el problema de Apolonio .