Conjunto circular

En la teoría de matrices aleatorias , los conjuntos circulares son medidas en espacios de matrices unitarias introducidas por Freeman Dyson como modificaciones de los conjuntos de matrices gaussianas . ^{[ 1 ]} Los tres ejemplos principales son el conjunto ortogonal circular (COE) en matrices unitarias simétricas, el conjunto unitario circular (CUE) en matrices unitarias y el conjunto simpléctico circular (CSE) en matrices cuaterniónicas unitarias auto-duales.

La distribución del conjunto circular unitario CUE( n ) es la medida de Haar en el grupo unitario U(n) . Si U es un elemento aleatorio de CUE( n ), entonces U ^T U es un elemento aleatorio de COE( n ); si U es un elemento aleatorio de CUE( 2n ), entonces U ^R U es un elemento aleatorio de CSE( n ), donde

${\displaystyle U^{R}=\left({\begin{array}{ccccccc}0&-1&&&&&\\1&0&&&&&\\&&0&-1&&&\\&&1&0&&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&0&-1\\&&&&&1&0\end{array}}\right)U^{T}\left({\begin{array}{ccccccc}0&1&&&&&\\-1&0&&&&&\\&&0&1&&&\\&&-1&0&&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&0&1\\&&&&&-1&0\end{array}}\right)~.}$

Cada elemento de un conjunto circular es una matriz unitaria, por lo que tiene valores propios en el círculo unitario:${\displaystyle \lambda _{k}=e^{i\theta _{k}}}$con${\displaystyle 0\leq \theta _ {k}<2\pi }$para k=1,2,... n , donde el${\displaystyle \theta _{k}}$También se conocen como autoángulos o autofases . En la CSE, cada uno de estos n autovalores aparece dos veces. Las distribuciones tienen densidades con respecto a los autoángulos, dadas por

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n})={\frac {1}{Z_{n,\beta }}}\prod _{1\leq k<j\leq n}|e^{i\theta _{k}}-e^{i\theta _{j}}|^{\beta }~}$

en${\displaystyle \mathbb {R} _{[0,2\pi ]}^{n}}$(versión simetrizada), donde β=1 para COE, β=2 para CUE y β=4 para CSE. La densidad se deriva mediante la fórmula de integración de Weyl . La constante de normalización Z _n,β viene dada por

${\displaystyle Z_{n,\beta }=(2\pi )^{n}{\frac {\Gamma (\beta n/2+1)}{\left(\Gamma (\beta /2+1)\right)^{n}}}~,}$

como puede verificarse mediante la fórmula integral de Selberg .

Las generalizaciones del conjunto circular restringen los elementos de la matriz U a números reales [de modo que U está en el grupo ortogonal O(n) ] o a números cuaterniones reales [de modo que U está en el grupo simpléctico Sp(2n)] . La medida de Haar en el grupo ortogonal produce el conjunto circular real (CRE) y la medida de Haar en el grupo simpléctico produce el conjunto circular de cuaterniones (CQE).

Los valores propios de las matrices ortogonales se presentan en pares complejos conjugados.${\displaystyle e^{i\theta _{k}}}$y${\displaystyle e^{-i\theta _{k}}}$, posiblemente complementado por autovalores fijos en +1 o -1 . Para n=2m par y det U=1 , no hay autovalores fijos y las fases θ _k tienen distribución de probabilidad ^{[ 2 ]}

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~,}$

donde C es una constante de normalización no especificada. Para n=2m+1 impar hay un autovalor fijo σ=det U igual a ±1. Las fases tienen distribución

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\sigma \cos \theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.}$

Para n=2m+2 pares y det U=-1 hay un par de autovalores fijos en +1 y -1 , mientras que las fases tienen distribución

${\displaystyle p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\cos ^{2}\theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.}$

Esta es también la distribución de los valores propios de una matriz en Sp(2m) .

Estas funciones de densidad de probabilidad se denominan distribuciones de Jacobi en la teoría de matrices aleatorias, porque las funciones de correlación pueden expresarse en términos de polinomios de Jacobi .

Los promedios de productos de elementos de matriz en conjuntos circulares se pueden calcular utilizando funciones de Weingarten . Para dimensiones grandes de la matriz, estos cálculos resultan poco prácticos, por lo que un método numérico es ventajoso. Existen algoritmos eficientes para generar matrices aleatorias en conjuntos circulares, por ejemplo, mediante la descomposición QR de una matriz de Ginibre. ^{[ 3 ]}

• "Conjuntos circulares de Wolfram Mathematica" . Lenguaje Wolfram .
• Suezen, Mehmet (2017). "Bristol: Un paquete de Python para conjuntos de matrices aleatorias (implementación paralela de generación de conjuntos circulares)" . doi : 10.5281/zenodo.579642 .
  • "Bristol: Un paquete de Python para conjuntos de matrices aleatorias" . pypi .

• Mehta, Madan Lal (2004), Matrices aleatorias , Matemáticas puras y aplicadas (Ámsterdam), vol.  142 (3.ª  ed.), Elsevier/Academic Press, Ámsterdam, ISBN 978-0-12-088409-4, MR 2129906 
• Forrester, Peter J. (2010), Log-gases and random matrices , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12829-0