Fórmula de integración de Weyl

En matemáticas, la fórmula de integración de Weyl , introducida por Hermann Weyl , es una fórmula de integración para un grupo de Lie compacto y conexo G en términos de un toro maximal T. Precisamente, dice ^{[ 1 ]} que existe una función continua de valor real u en T tal que para cada función de clase f en G (función invariante bajo conjugación por${\displaystyle G}$):

${\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg=\int _{T}f(t)u(t)\,dt.}$

Además,${\displaystyle u}$se da explícitamente como:${\displaystyle u=|\delta |^{2}/\#W}$dónde${\displaystyle W=N_{G}(T)/T}$es el grupo de Weyl determinado por T y

${\displaystyle \delta (t)=\prod _{\alpha >0}\left(e^{\alpha (t)/2}-e^{-\alpha (t)/2}\right),}$

el producto que recorre las raíces positivas de G en relación con T. De forma más general, si${\displaystyle f}$es una función integrable arbitraria, entonces

${\displaystyle \int _{G}f(g)\,dg=\int _{T}\left(\int _{G/T}f(gtg^{-1})\,d(gT)\right)u(t)\,dt.}$

Nótese que la integral interna se realiza sobre la variedad.${\displaystyle G/T}$, el cociente del grupo${\displaystyle G}$sobre el toro máximo${\displaystyle T}$, y${\displaystyle d(gT)}$es alguna medida de Borel en esta variedad. ^{[ 2 ]}

La fórmula puede utilizarse para derivar la fórmula de caracteres de Weyl . ( Por otro lado, la teoría de los módulos de Verma proporciona una derivación puramente algebraica de la fórmula de caracteres de Weyl).

Considere el mapa

${\displaystyle q:G/T\times T\to G,\,(gT,t)\mapsto gtg^{-1}}$.

El grupo de Weyl W actúa sobre T por conjugación y sobre${\displaystyle G/T}$de izquierda a derecha por: para${\displaystyle nT\in W}$,

${\displaystyle nT(gT)=gn^{-1}T.}$

Dejar${\displaystyle G/T\times _{W}T}$Sea el espacio cociente por esta acción W. Entonces, dado que la acción W en${\displaystyle G/T}$es gratis, el mapa de cocientes

${\displaystyle p:G/T\times T\to G/T\times _{W}T}$

es una cubierta lisa con fibra W cuando se restringe a puntos regulares. Ahora,${\displaystyle q}$es${\displaystyle p}$seguido de${\displaystyle G/T\times _{W}T\to G}$y este último es un homeomorfismo en puntos regulares y por lo tanto tiene grado uno. Por lo tanto, el grado de${\displaystyle q}$es${\displaystyle \#W}$y, mediante la fórmula de cambio de variable, obtenemos:

${\displaystyle \#W\int _{G}f\,dg=\int _{G/T\times T}q^{*}(f\,dg).}$

Aquí,${\displaystyle q^{*}(f\,dg)|_{(gT,t)}=f(t)q^{*}(dg)|_{(gT,t)}}$desde${\displaystyle f}$es una función de clase. A continuación calculamos${\displaystyle q^{*}(dg)|_{(gT,t)}}$. Identificamos un espacio tangente a${\displaystyle G/T\times T}$como${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}\oplus {\mathfrak {t}}}$dónde${\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {t}}}$son las álgebras de Lie de${\displaystyle G,T}$. Para cada${\displaystyle v\in T}$,

${\displaystyle q(gv,t)=gvtv^{-1}g^{-1}}$

y así, en${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}}$, tenemos:

${\displaystyle d(gT\mapsto q(gT,t))({\dot {v}})=gtg^{-1}(gt^{-1}{\dot {v}}tg^{-1}-g{\dot {v}}g^{-1})=(\operatorname {Ad} (g)\circ (\operatorname {Ad} (t^{-1})-I))({\dot {v}}).}$

De manera similar vemos, en${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$,${\displaystyle d(t\mapsto q(gT,t))=\operatorname {Ad} (g)}$Ahora podemos ver G como un subgrupo conexo de un grupo ortogonal (ya que es compacto conexo) y por lo tanto${\displaystyle \det(\operatorname {Ad} (g))=1}$. Por eso,

${\displaystyle q^{*}(dg)=\det(\operatorname {Ad} _{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}}(t^{-1})-I_{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}})\,dg.}$

Para calcular el determinante , recordamos que${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }={\mathfrak {t}}_{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{\alpha }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$dónde${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }\mid \operatorname {Ad} (t)x=e^{\alpha (t)}x,t\in T\}}$y cada uno${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$tiene dimensión uno. Por lo tanto, considerando los valores propios de${\displaystyle \operatorname {Ad} _{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}}(t^{-1})}$, obtenemos:

${\displaystyle \det(\operatorname {Ad} _{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}}(t^{-1})-I_{{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {t}}})=\prod _{\alpha >0}(e^{-\alpha (t)}-1)(e^{\alpha (t)}-1)=\delta (t){\overline {\delta (t)}},}$

como cada raíz${\displaystyle \alpha }$tiene un valor puramente imaginario.

La fórmula del carácter de Weyl es una consecuencia de la fórmula integral de Weyl, como se muestra a continuación. Primero observamos que${\displaystyle W}$puede identificarse con un subgrupo de${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathfrak {t}}_{\mathbb {C} }^{*})}$; en particular, actúa sobre el conjunto de raíces, funcionales lineales sobre${\displaystyle {\mathfrak {t}}_{\mathbb {C} }}$. Dejar

${\displaystyle A_{\mu }=\sum _{w\in W}(-1)^{l(w)}e^{w(\mu )}}$

dónde${\displaystyle l(w)}$es la longitud de w . Sea${\displaystyle \Lambda }$Sea la red de pesos de G en relación con T. La fórmula de caracteres de Weyl dice entonces que: para cada carácter irreducible${\displaystyle \chi }$de${\displaystyle G}$, existe un${\displaystyle \mu \in \Lambda }$de tal manera que

${\displaystyle \chi |T\cdot \delta =A_{\mu }}$.

Para ver esto, primero observamos

1. ${\displaystyle \|\chi \|^{2}=\int _{G}|\chi |^{2}dg=1.}$
2. ${\displaystyle \chi |T\cdot \delta \in \mathbb {Z} [\Lambda ].}$

La propiedad (1) es precisamente (una parte de) las relaciones de ortogonalidad en caracteres irreducibles.

• Zhang, L. (2014). Integrales matriciales sobre grupos unitarios: una aplicación de la dualidad Schur-Weyl. Preimpresión de arXiv arXiv:1408.3782.
• Adams, JF (1982), Lectures on Lie Groups , University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-00530-0
• Theodor Bröcker y Tammo tom Dieck, Representaciones de grupos de Lie compactos , Textos de posgrado en matemáticas 98, Springer-Verlag, Berlín, 1995.