Nudo (matemáticas)

Un nudo en R³ (o alternativamente en la 3-esfera , S³ ) puede proyectarse sobre un plano R² ( ^{o sobre} una esfera S² ). Esta proyección es casi siempre regular , lo que significa ^que es inyectiva en todas partes, excepto en un número finito de puntos ^de cruce, que son las proyecciones de solo dos puntos del nudo, y estos puntos no son colineales . En este caso, al elegir un lado de la proyección, se puede codificar completamente la clase de isotopía del nudo mediante su proyección regular registrando una simple información de sobre/bajo en estos cruces. En términos de teoría de grafos, una proyección regular de un nudo, o diagrama de nudo, es, por lo tanto, un grafo planar cuadrivalente con vértices sobre/bajo decorados. Las modificaciones locales de este grafo que permiten pasar de un diagrama a cualquier otro diagrama del mismo nudo (hasta la isotopía ambiente del plano) se denominan movimientos de Reidemeister .   

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  Movimiento 1 de Reidemeister
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  Movimiento 2 de Reidemeister
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  Movimiento 3 de Reidemeister

Un nudo poligonal es un nudo cuya imagen en R ³ es la unión de un conjunto finito de segmentos de línea . ^{[ 6 ]} Un nudo manso es cualquier nudo equivalente a un nudo poligonal. ^{[ 6 ] [ Nota 2 ]} Los nudos que no son mansos se llaman salvajes , ^{[ 7 ]} y pueden tener un comportamiento patológico . ^{[ 7 ]} En la teoría de nudos y la teoría de 3-variedades , a menudo se omite el adjetivo "manso". Los nudos suaves, por ejemplo, siempre son mansos.

Un nudo enmarcado es la extensión de un nudo manso a una incrustación del toro sólido D ² × S ¹ en S ³ .

El enmarcado del nudo es el número de enlace de la imagen de la cinta I × S ¹ con el nudo. Un nudo enmarcado puede verse como la cinta incrustada y el enmarcado es el número (con signo) de torsiones. ^{[ 8 ]} Esta definición se generaliza a una análoga para enlaces enmarcados . Se dice que los enlaces enmarcados son equivalentes si sus extensiones a toros sólidos son isotópicas ambientales.

Los diagramas de enlace enmarcados son diagramas de enlace con cada componente marcado, para indicar el enmarcado, por un entero que representa una pendiente con respecto al meridiano y la longitud preferida. Una forma estándar de ver un diagrama de enlace sin marcas como representante de un enlace enmarcado es usar el enmarcado de pizarra . Este enmarcado se obtiene convirtiendo cada componente en una cinta que yace plana en el plano. Un movimiento de Reidemeister de tipo I cambia claramente el enmarcado de pizarra (cambia el número de giros en una cinta), pero los otros dos movimientos no lo hacen. Reemplazar el movimiento de tipo I por un movimiento de tipo I modificado da un resultado para diagramas de enlace con enmarcado de pizarra similar al teorema de Reidemeister: Los diagramas de enlace, con enmarcado de pizarra, representan enlaces enmarcados equivalentes si y solo si están conectados por una secuencia de movimientos de tipo I, II y III (modificados). Dado un nudo, se pueden definir infinitos enmarcados en él. Supongamos que se nos da un nudo con un enmarcado fijo. Se puede obtener un nuevo marco a partir del existente cortando una cinta y retorciéndola un múltiplo entero de 2π alrededor del nudo, para luego volver a pegarla en el lugar del corte. De esta manera, se obtiene un nuevo marco a partir de uno antiguo, salvo la relación de equivalencia para nudos enmarcados, dejando el nudo fijo. ^{[ 9 ]} El marco en este sentido está asociado al número de giros que realiza el campo vectorial alrededor del nudo. Sabiendo cuántas veces se retuerce el campo vectorial alrededor del nudo, se puede determinar el campo vectorial salvo difeomorfismo, y la clase de equivalencia del marco está determinada completamente por este entero llamado entero de marco.

Dado un nudo en la 3-esfera, el complemento del nudo son todos los puntos de la 3-esfera que no están contenidos en el nudo. Un teorema importante de Gordon y Luecke establece que, como máximo, dos nudos tienen complementos homeomorfos (el nudo original y su reflexión especular). Esto, en efecto, convierte el estudio de los nudos en el estudio de sus complementos y, a su vez, en la teoría de las 3-variedades . ^{[ 10 ]}

La descomposición JSJ y el teorema de hiperbolización de Thurston reducen el estudio de nudos en la 3-esfera al estudio de varias variedades geométricas mediante operaciones de empalme o satélite . En el nudo ilustrado, la descomposición JSJ divide el complemento en la unión de tres variedades: dos complementos de trébol y el complemento de los anillos de Borromeo . El complemento de trébol tiene la geometría de H ² × R , mientras que el complemento de los anillos de Borromeo tiene la geometría de H ³ .

Las representaciones paramétricas de nudos se denominan nudos armónicos. Aaron Trautwein recopiló representaciones paramétricas para todos los nudos hasta aquellos con un número de cruces de 8 inclusive en su tesis doctoral. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Dejar${\displaystyle K_{1},K_{2}\subset S^{3}}$Hay dos nudos orientados y fáciles de manejar. Elija una bola de 3${\displaystyle B_{i}}$que cumple${\displaystyle K_{i}}$en un único arco sin nudos. Elimine el interior de un vecindario de arco más pequeño de cada bola, obteniendo un par${\displaystyle (B_{i},K_{i}\cap B_{i})}$cuya esfera límite interseca el nudo en dos puntos. La suma conectada se forma pegando los exteriores.${\displaystyle S^{3}\setminus \operatorname {int} (B_{1})}$y${\displaystyle S^{3}\setminus \operatorname {int} (B_{2})}$a lo largo de sus esferas límite mediante un homeomorfismo de inversión de orientación que coincide con los puntos finales de los arcos y preserva las orientaciones dadas. El resultado es nuevamente${\displaystyle S^{3}}$y la imagen de los dos arcos es un nuevo nudo orientado.

La construcción no depende de la elección de bolas, arcos o mapas de unión; dos sumas conectadas cualesquiera de nudos con la misma orientación son isotópicas. En la práctica, la suma conectada se suele dibujar tomando los diagramas de los dos nudos, recortando un pequeño arco de cada diagrama y uniendo los extremos sueltos sin introducir nuevos cruces, respetando las orientaciones.

Si los nudos no están orientados, el resultado puede depender de la orientación relativa, ya que algunos nudos no son invertibles. La práctica habitual es trabajar con nudos orientados.

• Bien definido :${\displaystyle K_{1}\#K_{2}}$es un tipo de nudo único para nudos orientados.
• Conmutatividad y asociatividad :${\displaystyle K_{1}\#K_{2}\cong K_{2}\#K_{1}}$y${\displaystyle (K_{1}\#K_{2})\#K_{3}\cong K_{1}\#(K_{2}\#K_{3})}$.
• Identidad :${\displaystyle K\#O\cong K}$, dónde${\displaystyle O}$denota el nudo desatado .
• Sin inversas : Si${\displaystyle K}$no es trivial, no hay nudo${\displaystyle J}$de tal manera que${\displaystyle K\#J\cong O}$Por lo tanto, los tipos de nudos orientados forman un monoide, no un grupo.
• Género : El género del nudo es aditivo:${\displaystyle g(K_{1}\#K_{2})=g(K_{1})+g(K_{2})}$. Por lo tanto, una suma conectada de nudos no triviales no es trivial.
• Número de cruce : El número de cruce es subaditivo:${\displaystyle c(K_{1}\#K_{2})\leq c(K_{1})+c(K_{2})}$Sigue siendo un problema abierto si la igualdad se cumple siempre.

Otra representación conveniente de diagramas de nudos ^{[ 13 ] [ 14 ]} fue introducida por Peter Tait en 1877. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Cualquier diagrama de nudos define un grafo plano cuyos vértices son los cruces y cuyas aristas son caminos entre cruces sucesivos. Exactamente una cara de este grafo plano no tiene límites; cada una de las demás es homeomorfa a un disco bidimensional . Coloreemos estas caras de negro o blanco de manera que la cara sin límites sea negra y cualesquiera dos caras que compartan una arista límite tengan colores opuestos. El teorema de la curva de Jordan implica que existe exactamente una coloración de este tipo.

Construimos un nuevo grafo plano cuyos vértices son las caras blancas y cuyas aristas corresponden a cruces. Podemos etiquetar cada arista de este grafo como izquierda o derecha, según qué hilo parezca cruzarse con el otro al observar el cruce correspondiente desde uno de los extremos de la arista. Las aristas izquierdas y derechas se suelen indicar con el símbolo + y –, o dibujando las aristas izquierdas con líneas continuas y las derechas con líneas discontinuas.

El diagrama de nudos original es el grafo medial de este nuevo grafo plano, donde el tipo de cada cruce está determinado por el signo de la arista correspondiente. Cambiar el signo de cada arista equivale a reflejar el nudo en un espejo .

En dos dimensiones, solo los grafos planares pueden incrustarse en el plano euclidiano sin cruces, pero en tres dimensiones, cualquier grafo no dirigido puede incrustarse en el espacio sin cruces. Sin embargo, un análogo espacial de los grafos planares lo proporcionan los grafos con incrustaciones sin enlaces e incrustaciones sin nudos . Una incrustación sin enlaces es una incrustación del grafo con la propiedad de que cualquier par de ciclos no están enlazados ; una incrustación sin nudos es una incrustación del grafo con la propiedad de que cualquier ciclo individual no está anudado . Los grafos que tienen incrustaciones sin enlaces tienen una caracterización de grafo prohibida que involucra a la familia de Petersen , un conjunto de siete grafos que están intrínsecamente enlazados: sin importar cómo se incrustan, algunos dos ciclos estarán enlazados entre sí. ^{[ 17 ]} No se conoce una caracterización completa de los grafos con incrustaciones sin nudos, pero el grafo completo K ₇ es uno de los grafos mínimos prohibidos para la incrustación sin nudos: no importa cómo se incruste K ₇ , contendrá un ciclo que forma un nudo de trébol . ^{[ 18 ]}