Convergencia de series de Fourier

En matemáticas , la cuestión de si la serie de Fourier de una función periódica dada converge a dicha función se estudia en el análisis armónico clásico , una rama de las matemáticas puras . La convergencia no se produce en el caso general ; deben cumplirse ciertos criterios. 

La determinación de la convergencia requiere la comprensión de la convergencia puntual , la convergencia uniforme , la convergencia absoluta , los espacios L ^p , los métodos de sumabilidad y la media de Cesàro .

Consideremos f una función integrable en el intervalo [ 0, 2 π ] . Para tal f, los coeficientes de Fourier${\displaystyle {\widehat {f}}(n)}$se definen mediante la fórmula

${\displaystyle {\widehat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}\,\mathrm {d} t,\quad n\in \mathbb {Z} .}$

Es común describir la conexión entre f y su serie de Fourier mediante

${\displaystyle f\sim \sum _{n}{\widehat {f}}(n)e^{int}.}$

La notación ~ aquí significa que la suma representa la función en algún sentido. Para investigar esto con más detalle, se deben definir las sumas parciales:

${\displaystyle S_{N}(f;t)=\sum _{n=-N}^{N}{\widehat {f}}(n)e^{int}.}$

La pregunta de si una serie de Fourier converge es: ¿Convergen las funciones?${\displaystyle S_{N}(f)}$(que son funciones de la variable t que omitimos en la notación) ¿convergen a f y en qué sentido? ¿Existen condiciones sobre f que aseguren este o aquel tipo de convergencia?

Antes de continuar, se debe introducir el núcleo de Dirichlet . Tomando la fórmula para${\displaystyle {\widehat {f}}(n)}$, insertándolo en la fórmula para${\displaystyle S_{N}}$y haciendo algo de álgebra se obtiene que

${\displaystyle S_{N}(f)=f*D_{N}}$

donde ∗ representa la convolución periódica y${\displaystyle D_{N}}$es el núcleo de Dirichlet, que tiene una fórmula explícita,

${\displaystyle D_{n}(t)={\frac {\sin((n+{\frac {1}{2}})t)}{\sin(t/2)}}.}$

El núcleo de Dirichlet no es un núcleo positivo y, de hecho, su norma diverge, a saber:

${\displaystyle \int |D_{n}(t)|\,\mathrm {d} t\to \infty }$

Un hecho que desempeña un papel crucial en la discusión. La norma de D _n en L ¹ ( T ) coincide con la norma del operador de convolución con D _n , que actúa sobre el espacio C ( T ) de funciones continuas periódicas, o con la norma del funcional lineal f  → ( S _n f )(0) en C ( T ). Por lo tanto, esta familia de funcionales lineales en C ( T ) es ilimitada cuando n  →  ∞.

En las aplicaciones, a menudo resulta útil conocer el valor del coeficiente de Fourier.

Si${\displaystyle f}$es una función absolutamente continua ,

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {K \over |n|}}$

para${\displaystyle K}$una constante que solo depende de${\displaystyle f}$.

Si${\displaystyle f}$es una función de variación acotada , ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {{\rm {var}}(f) \over 2\pi |n|}.}$

En particular, esto se aplica a funciones absolutamente continuas , donde ${\displaystyle {\rm {var}}(f)=\|f'\|_{1}}$.

Si${\displaystyle f\in C^{p}}$

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {\|f^{(p)}\|_{L_{1}} \over |n|^{p}}.}$

Si${\displaystyle f\in C^{p}}$y${\displaystyle f^{(p)}}$tiene módulo de continuidad ^{[ 2 ]}${\displaystyle \omega _{p}}$,

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {\omega (2\pi /n) \over |n|^{p}}}$

y por lo tanto, si${\displaystyle f}$pertenece a la clase α-Hölder ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {K \over |n|^{\alpha }}.}$

Existen muchas condiciones suficientes conocidas para que la serie de Fourier de una función converja en un punto dado x , por ejemplo, si la función es diferenciable en x . Incluso una discontinuidad de salto no supone un problema: si la función tiene derivadas izquierda y derecha en x , entonces la serie de Fourier converge al promedio de los límites izquierdo y derecho (pero véase el fenómeno de Gibbs ).

El criterio de Dirichlet-Dini (véase condiciones de Dirichlet y prueba de Dini ) establece que: ^{[ 4 ]} si ƒ es 2 π -periódica, localmente integrable y satisface

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\left|{\frac {f(x_{0}+t)+f(x_{0}-t)}{2}}-\ell \right|{\frac {\mathrm {d} t}{t}}<\infty ,}$

entonces (S _n f )( x ₀ ) converge a ℓ. Esto implica que para cualquier función f de cualquier clase de Hölder α  > 0, la serie de Fourier converge en todas partes a f ( x ).

También se sabe que para cualquier función periódica de variación acotada , la serie de Fourier converge en cada punto de continuidad. Este es el teorema de Dirichlet-Jordan . Si la función es de variación acotada en un entorno de un punto, entonces la serie de Fourier converge allí siempre que la función sea integrable, por ejemplo${\displaystyle f(x)=|x|^{-1/2}}$para${\displaystyle |x|}$entre 0 y la mitad del período. Véase también la prueba de Dini . En general, los criterios más comunes para la convergencia puntual de una función periódica f son los siguientes:

• Si f satisface una condición de Hölder, entonces su serie de Fourier converge uniformemente. ^{[ 5 ]}
• Si f es de variación acotada, entonces su serie de Fourier converge en cada punto de continuidad. Si además f es continua, la convergencia es uniforme. ^{[ 6 ]}
• Si f es continua y sus coeficientes de Fourier son absolutamente sumables, entonces la serie de Fourier converge uniformemente. ^{[ 7 ]}

Existen funciones continuas cuyas series de Fourier convergen puntualmente pero no uniformemente. ^{[ 8 ]}

Sin embargo, la serie de Fourier de una función continua no tiene por qué converger puntualmente. Quizás la demostración más sencilla utiliza la no acotación del núcleo de Dirichlet en L ¹ ( T ) y el principio de acotación uniforme de Banach-Steinhaus . Como es típico en los argumentos de existencia que invocan el teorema de la categoría de Baire , esta demostración no es constructiva. Muestra que la familia de funciones continuas cuya serie de Fourier converge en un x dado es escasa (es decir, de primera categoría de Baire ) en el espacio de Banach de funciones continuas en el círculo.

En cierto modo, la convergencia puntual es atípica , y para la mayoría de las funciones continuas, la serie de Fourier no converge en un punto determinado. Sin embargo, el teorema de Carleson demuestra que, para una función continua dada, la serie de Fourier converge casi en todas partes.

Es posible dar un ejemplo explícito de una función continua cuya serie de Fourier diverge en 0: por ejemplo, la función par y 2π-periódica f definida para todo x en [0,π] por ^{[ 9 ].}

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right].}$

En este ejemplo, es fácil mostrar cómo se comporta la serie en cero. Debido a que la función es par, la serie de Fourier contiene solo cosenos:

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{m=0}^{\infty }C_{m}\cos(mx).}$

Los coeficientes son:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{m}&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\int _{0}^{\pi }\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right]\cos {mx}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\int _{0}^{\pi }\left\{\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1-2m\right){\frac {x}{2}}\right]+\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1+2m\right){\frac {x}{2}}\right]\right\}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\left\{{\frac {2}{2^{n^{3}}+1-2m}}+{\frac {2}{2^{n^{3}}+1+2m}}\right\}\\\end{aligned}}}$

A medida que m aumenta, los coeficientes serán positivos y crecientes hasta que alcancen un valor de aproximadamente${\displaystyle C_{m}\approx 2/(n^{2}\pi )}$en${\displaystyle m=2^{n^{3}}/2}$para algún n y luego volverse negativo (comenzando con un valor alrededor de${\displaystyle -2/(n^{2}\pi )}$) y haciéndose más pequeño, antes de comenzar una nueva ola de este tipo. En${\displaystyle x=0}$La serie de Fourier es simplemente la suma acumulada de${\displaystyle C_{m},}$y esto se acumula hasta aproximadamente

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}\pi }}\sum _ {k=0}^{2^{n^{3}}/2}{\frac {2}{2k+1}}\sim {\frac {1}{n^{2}\pi }}\ln 2^{n^{3}}={\frac {n}{\pi }}\ln 2}$

en la enésima onda antes de volver a alrededor de cero, lo que demuestra que la serie no converge en cero sino que alcanza picos cada vez más altos.

Suponer${\displaystyle f\in C^{p}}$, y${\displaystyle f^{(p)}}$tiene módulo de continuidad${\displaystyle \omega }$; entonces las sumas parciales de la serie de Fourier convergen a la función con velocidad ^{[ 10 ]}

${\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{p}}\omega (2\pi /N)}$

por una constante${\displaystyle K}$que no depende de${\displaystyle f}$, ni${\displaystyle p}$, ni${\displaystyle N}$.

Este teorema, demostrado por primera vez por D. Jackson, dice, por ejemplo, que si${\displaystyle f}$satisface la ${\displaystyle \alpha }$- Condición de Hölder , entonces

${\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{\alpha }}.}$

Si${\displaystyle f}$es${\displaystyle 2\pi }$periódica, continua y de variación acotada, entonces la serie de Fourier de${\displaystyle f}$converge uniformemente ^{[ 11 ]} (el teorema de Dirichlet-Jordan ), pero no necesariamente de forma absoluta, ^{[ 12 ]} a${\displaystyle f}$.

Una función ƒ tiene una serie de Fourier absolutamente convergente si

${\displaystyle \|f\|_{A}:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(n)|<\infty .}$

Si se cumple esta condición, entonces${\displaystyle (S_{N}f)(x)}$converge absolutamente para cada${\displaystyle x}$. Por el contrario, para que se cumpla esta condición, basta con que${\displaystyle (S_{N}f)(x)}$converge absolutamente para algunos${\displaystyle x}$En otras palabras, para la convergencia absoluta no hay problema de dónde converge la suma absolutamente  ; si converge absolutamente en un punto, entonces lo hace en todas partes.

La familia de todas las funciones con series de Fourier absolutamente convergentes es un tipo de álgebra de Banach llamada álgebra de Wiener , en honor a Norbert Wiener , quien demostró que si ƒ tiene una serie de Fourier absolutamente convergente y nunca es cero, entonces 1/ ƒ también tiene una serie de Fourier absolutamente convergente. La demostración original del teorema de Wiener fue compleja; Israel Gelfand ofreció una simplificación utilizando la teoría de las álgebras de Banach . Finalmente, Donald J. Newman presentó una breve demostración elemental en 1975.

El teorema de Sergei Bernstein ^{[ 13 ]} establece que, si${\displaystyle f}$pertenece a una clase α-Hölder para α  > 1/2 entonces

${\displaystyle \|f\|_{A}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }},\qquad \|f\|_{K}:=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|n||{\widehat {f}}(n)|^{2}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }}^{2}}$

para${\displaystyle \|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }}}$la constante en la condición de Hölder ,${\displaystyle c_{\alpha }}$una constante que depende únicamente de ${\displaystyle \alpha }$;${\displaystyle \|f\|_{K}}$es la norma del álgebra de Krein. Nótese que el 1/2 aquí es esencial: hay un ejemplo de una función 1/2-Hölder debido a Hardy y Littlewood, ^{[ 14 ]} que no pertenece al álgebra de Wiener. Además, este teorema no puede mejorar la mejor cota conocida sobre el tamaño del coeficiente de Fourier de una función α-Hölder, que es solo${\displaystyle O(1/n^{\alpha })}$y por lo tanto no es sumable ya que α es positivo.

El teorema de Zygmund establece que, si ƒ es de variación acotada y pertenece a una clase α-Hölder para algún α  >  0, pertenece al álgebra de Wiener. ^{[ 15 ]}

Según el teorema de Riesz-Fischer , si ƒ es de cuadrado integrable, entonces${\displaystyle S_{N}(f)}$converge a ^ƒ en la norma L2 , es decir $${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }\left|f(x)-S_{N}(f)(x)\right|^{2}\,\mathrm {d} x=0.}$$ Lo contrario también es cierto: si el límite anterior es cero, entonces${\displaystyle f}$debe estar en${\displaystyle \in L^{2}}$.

La pregunta se vuelve mucho más difícil para${\displaystyle f\in L^{p}}$. Resulta que la convergencia aún se cumple si 1  < p  < ∞. ^{[ 16 ]} En otras palabras, para ƒ en L ^p , ${\displaystyle S_{N}(f)}$converge a ƒ en la norma L ^p . La demostración original utiliza propiedades de funciones holomorfas y espacios de Hardy , y otra demostración, debida a Salomon Bochner, se basa en el teorema de interpolación de Riesz-Thorin . Para p  =  1 e infinito, el resultado no es cierto. La construcción de un ejemplo de divergencia en L ¹ fue realizada por primera vez por Andrey Kolmogorov (véase más abajo). Para infinito, el resultado es un corolario del principio de acotación uniforme . ^{[ 17 ]}

Si la suma parcial S _N se reemplaza por un núcleo de sumabilidad adecuado (por ejemplo, la suma de Fejér obtenida por convolución con el núcleo de Fejér ), se pueden aplicar técnicas analíticas funcionales básicas para demostrar que la convergencia de la norma se cumple para  1  ≤ p < ∞.   

El problema de si la serie de Fourier de cualquier función continua converge casi en todas partes fue planteado por Nikolai Lusin en 1913. ^{[ 18 ]} Fue resuelto afirmativamente en 1966 por Lennart Carleson . Su resultado, ahora conocido como el teorema de Carleson , afirma que el desarrollo de Fourier de cualquier función en L ² converge casi en todas partes. Posteriormente, Richard Hunt generalizó esto a L ^p para cualquier p  > 1.

Por el contrario, Andrey Kolmogorov , siendo estudiante a la edad de 19 años, en su primer trabajo científico, construyó un ejemplo de una función en L ¹ cuya serie de Fourier diverge casi en todas partes (posteriormente mejorada para divergir en todas partes).

Jean-Pierre Kahane y Yitzhak Katznelson demostraron que para cualquier conjunto E de medida cero, existe una función continua ƒ tal que la serie de Fourier de ƒ no converge en ningún punto de E.

¿ La sucesión 0,1,0,1,0,1,... (las sumas parciales de la serie de Grandi ) converge a 1/2 ? Esto no parece una generalización muy descabellada de la noción de convergencia. Por lo tanto , decimos que cualquier sucesión${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$¿Es Cesàro sumable a algún si ?

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=a.}$

¿Dónde con?${\displaystyle s_{k}}$Denotamos la k- ésima suma parcial :

${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}}$

No es difícil ver que si una sucesión converge a algún a, entonces también es sumable de Cesàro a él.

Para analizar la sumabilidad de las series de Fourier, debemos reemplazar${\displaystyle S_{N}}$con una noción apropiada. Por lo tanto, definimos

${\displaystyle K_{N}(f;t)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}S_{n}(f;t),\quad N\geq 1,}$

y pregunta: ¿lo hace?${\displaystyle K_{N}(f)}$¿Converge a f ?${\displaystyle K_{N}}$ya no está asociado con el núcleo de Dirichlet, sino con el núcleo de Fejér , a saber:

${\displaystyle K_{N}(f)=f*F_{N}\,}$

dónde${\displaystyle F_{N}}$es el núcleo de Fejér,

${\displaystyle F_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}.}$

La principal diferencia es que el núcleo de Fejér es un núcleo positivo. El teorema de Fejér establece que la secuencia de sumas parciales anterior converge uniformemente a ƒ . Esto implica propiedades de convergencia mucho mejores.

• Si ƒ es continua en t, entonces la serie de Fourier de ƒ es sumable en t a ƒ ( t ). Si ƒ es continua, su serie de Fourier es uniformemente sumable (es decir,${\displaystyle K_{N}(f)}$converge uniformemente a ƒ ).
• Para cualquier ƒ integrable ,${\displaystyle K_{N}(f)}$converge a ƒ en el${\displaystyle L^{1}}$norma.
• No existe el fenómeno de Gibbs.

Los resultados sobre la sumabilidad también pueden implicar resultados sobre la convergencia regular. Por ejemplo, aprendemos que si ƒ es continua en t , entonces la serie de Fourier de ƒ no puede converger a un valor diferente de ƒ ( t ). Puede converger a ƒ ( t ) o divergir. Esto se debe a que, si${\displaystyle S_{N}(f;t)}$converge a algún valor x , también es sumable a él, por lo que, a partir de la primera propiedad de sumabilidad anterior, x  = ƒ ( t ).

El orden de crecimiento del núcleo de Dirichlet es logarítmico, es decir

${\displaystyle \int |D_{N}(t)|\,\mathrm {d} t={\frac {4}{\pi ^{2}}}\log N+O(1).}$

Consulte la notación Big O para la notación O (1). El valor real${\displaystyle 4/\pi ^{2}}$es difícil de calcular (ver Zygmund 8.3) y casi inútil. El hecho de que para alguna constante c tengamos

${\displaystyle \int |D_{N}(t)|\,\mathrm {d} t>c\log N+O(1)}$

Esto queda bastante claro al examinar la gráfica del núcleo de Dirichlet. La integral sobre el n -ésimo pico es mayor que c / n y, por lo tanto, la estimación para la suma armónica da la estimación logarítmica.

Esta estimación implica versiones cuantitativas de algunos de los resultados anteriores. Para cualquier función continua f y cualquier t se tiene

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\log N}}=0.}$

Sin embargo, para cualquier orden de crecimiento ω( n ) menor que log, esto ya no se cumple y es posible encontrar una función continua f tal que para algún t ,

${\displaystyle \varlimsup _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\omega (N)}}=\infty .}$

El problema equivalente para la divergencia en todas partes está abierto. Sergei Konyagin logró construir una función integrable tal que para cada t se tiene

${\displaystyle \varlimsup _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\psi (N)}}=\infty ,}$

dónde${\displaystyle \psi (N)=o\left({\sqrt {\log N/\log \log N}}\right)}$como${\displaystyle N\to \infty }$. ^{[ 19 ]}

No se sabe si este ejemplo es el mejor posible. El único límite conocido en la otra dirección es log n .

Al examinar el problema equivalente en más de una dimensión, es necesario especificar el dominio preciso de la suma que se utiliza. Por ejemplo, en dos dimensiones, se puede definir

${\displaystyle S_{N}(f;t_{1},t_{2})=\sum _{|n_{1}|\leq N,|n_{2}|\leq N}{\widehat {f}}(n_{1},n_{2})e^{i(n_{1}t_{1}+n_{2}t_{2})}}$

que se conocen como "sumas parciales al cuadrado". Reemplazando la suma anterior con

${\displaystyle \sum _{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}\leq N^{2}}}$

conducen a "sumas parciales circulares". La diferencia entre estas dos definiciones es bastante notable. Por ejemplo, la norma del núcleo de Dirichlet correspondiente para sumas parciales cuadradas es del orden de${\displaystyle \log ^{2}N}$mientras que para sumas parciales circulares es del orden de${\displaystyle {\sqrt {N}}}$.

Muchos de los resultados válidos para una dimensión son erróneos o desconocidos en múltiples dimensiones. En particular, el equivalente del teorema de Carleson sigue sin resolverse para sumas parciales circulares. La convergencia de las "sumas parciales cuadradas" (así como de sumas parciales poligonales más generales) en múltiples dimensiones fue establecida alrededor de 1970 por Charles Fefferman .