Capacidad clásica

En la teoría de la información cuántica , la capacidad clásica de un canal cuántico es la velocidad máxima a la que se pueden enviar datos clásicos a través de él sin errores, en el límite de muchos usos del canal.

Fondo

Estados mixtos y canales cuánticos

Un estado cuántico mixto es una traza unitaria, un operador positivo conocido como operador de densidad , y a menudo se denota por $\rho$ , $\sigma$ , $\omega$ , etc. El modelo más simple para un canal cuántico es un canal clásico-cuántico.

x\mapsto \rho _{x}.

que envía la carta clásica $x$ en el extremo transmisor a un estado cuántico $\rho _{x}$ en el extremo receptor, con posible introducción de ruido en el medio. La tarea del receptor es realizar una medición para determinar la entrada del emisor. Si los estados $\rho _{x}$ son perfectamente distinguibles entre sí (es decir, si tienen soportes ortogonales tales que $\operatorname {Tr} \rho _{x}\rho _{x^{\prime }}=0$ para $x\neq x^{\prime }$ ) y el canal no tiene ruido, entonces la decodificación perfecta es trivialmente posible. Si los estados $\rho _{x}$ Si todos conmutan entre sí, entonces el canal es efectivamente clásico. La situación se vuelve no trivial solo cuando los estados $\rho _{x}$ Tienen apoyos superpuestos y no necesariamente se desplazan diariamente al trabajo.

Mediciones cuánticas

La forma más general de describir una medición cuántica es con una medida con valores de operador positivos , cuyos elementos se denotan típicamente como $\left\{\Lambda _{m}\right\}_{m}$ Estos operadores deben satisfacer la positividad y la completitud para formar un POVM válido:

\Lambda _{m}\geq 0\ \ \ \ \forall m

\sum _{m}\Lambda _{m}=I.

La interpretación probabilística de la mecánica cuántica establece que si alguien mide un estado cuántico $\rho$ utilizando un dispositivo de medición correspondiente al POVM $\left\{\Lambda _{m}\right\}$ , entonces la probabilidad $p\left(m\right)$ para obtener resultado $m$ es igual a

p(m)=\operatorname {Tr} \Lambda _{m}\rho ,

y el estado posterior a la medición es

\rho _{m}^{\prime }={\frac {1}{p(m)}}\Lambda _{m}^{1/2}\rho \Lambda _{m}^{1/2},

si la persona que mide obtiene resultado $m$ .

Comunicación clásica a través de canales cuánticos

Lo anterior es suficiente para considerar un esquema de comunicación clásico sobre un canal cq. El emisor utiliza un canal cq para mapear una letra clásica x a un estado cuántico. $\rho _{x}$ , que luego se envía a través de algún canal cuántico ruidoso, y luego es medido usando algún POVM por el receptor, quien obtiene otra letra clásica.

Definición precisa

La capacidad clásica se puede definir como la tasa máxima alcanzable por un esquema de codificación para la transmisión de información clásica, que se puede definir de la siguiente manera. ^{[ 1 ]}

Definición. (Esquema de codificación) A $(n,m,\delta )$ -Esquema de codificación para la transmisión de información clásica mediante un canal cuántico $T:B({\mathcal {H}}_{A})\to B({\mathcal {H}}_{A})$ se da por un par de un mapa de codificación $E:\{0,1\}^{n}\to D({\mathcal {H}}_{A}^{\otimes n})$ y un POVM de decodificación ${\displaystyle \mu$ tal que $\langle \mu (x),T^{\otimes n}(E(x))\rangle \geq 1-\delta$ con respecto al producto interno de Hilbert-Schmidt para todos $x\in \{0,1\}^{n}$ .

Definición. (Tasa alcanzable) Una tasa $R\geq 0$ es alcanzable para el canal $T$ si alguno de los dos $R=0$ o $R>0$ y para cualquier $n$ existe un $(n,m_{n},\delta _{n})$ -esquema de codificación tal que $R=\lim _{n\to \infty }m_{n}/n$ y $\lim _{n\to \infty }\delta _{n}=0$ ambos se sostienen.

Teorema de Holevo-Schumacher-Westmoreland

La información de Holevo (también llamada Holevo) $\chi$ cantidad) de un canal cuántico ${\mathcal {N}}$ puede definirse como

\chi ({\mathcal {N}})=\max _{\rho ^{XA}}I(X;B)_{{\mathcal {N}}(\rho )}

dónde $\rho ^{XA}$ es un estado clásico-cuántico de la forma

\rho ^{XA}=\sum _{x}p_{X}(x)\vert x\rangle \langle x\vert ^{X}\otimes \rho _{x}^{A}

para alguna distribución de probabilidad $p_{X}(x)$ y operadores de densidad $\rho _{x}^{A}$ que se puede introducir en el canal indicado.

Schumacher y Westmoreland en 1997, ^{[ 2 ]} y Holevo independientemente en 1998, ^{[ 3 ]} demostraron que la capacidad clásica de un canal cuántico puede definirse equivalentemente como

C(T)=\lim _{k\to \infty }\chi (T^{\otimes k}).

Hayashi y Nagaoka extendieron el enfoque del espectro de información a los canales cuánticos clásicos, proporcionando fórmulas de capacidad y una caracterización de la propiedad de fuerte recíproca sin asumir estacionariedad ni ausencia de memoria. Para canales estacionarios sin memoria, su formulación recupera el resultado habitual de la capacidad de Holevo. ^{[ 4 ]}

La desigualdad del operador de Hayashi-Nagaoka de este trabajo se utiliza para acotar las probabilidades de error de las mediciones de raíz cuadrada en las pruebas de alcanzabilidad para la comunicación clásica sobre canales cuánticos. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

lema de medición suave

El lema de la medición suave establece que una medición que tiene éxito con alta probabilidad no perturba demasiado el estado en promedio.

Lema. (Invierno) Dado un conjunto $\left\{p_{X}(x),\rho _{x}\right\}$ con el operador de densidad esperado $\rho \equiv \sum _{x}p_{X}(x)\rho _{x}$ , supongamos que un operador $\Lambda$ con $I\geq \Lambda \geq 0$ tiene éxito con probabilidad $1-\epsilon$ en el estado $\rho$ :

\operatorname {Tr} \Lambda \rho \geq 1-\epsilon .

Luego el estado subnormalizado ${\sqrt {\Lambda }}\rho _{x}{\sqrt {\Lambda }}$ está cerca en distancia de traza esperada al estado original $\rho _{x}$ :

\mathbb {E} _{X}[\left\Vert {\sqrt {\Lambda }}\rho _{X}{\sqrt {\Lambda }}-\rho _{X}\right\Vert _{1}]\leq 2{\sqrt {\epsilon }}.

El lema de medición suave tiene el siguiente análogo que se cumple para cualquier operador. $\rho$ , $\sigma$ , $\Lambda$ de tal manera que $0\leq \rho ,\sigma ,\Lambda \leq I$ :

La interpretación de esta desigualdad desde la perspectiva de la teoría de la información cuántica es que la probabilidad de obtener un resultado $\Lambda$ a partir de una medición cuántica que actúa sobre el estado $\rho$ está acotado por la suma de la probabilidad de obtener $\Lambda$ en $\sigma$ resumido y la distinguibilidad de los dos estados $\rho$ y $\sigma$ .

Límite de unión no conmutativo

Lema. (Línea de Sen) ^{[ 6 ]} Para un estado subnormalizado $\sigma$ de tal manera que $0\leq \sigma$ y $\operatorname {Tr} \sigma \leq 1$ y para proyectores $\Pi _{1}$ , ... , $\Pi _{N}$ tenemos $\operatorname {Tr} \sigma -\operatorname {Tr} \Pi _{N}\cdots \Pi _{1}\ \sigma \ \Pi _{1}\cdots \Pi _{N}\leq 2{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr} \left(I-\Pi _{i}\right)\sigma }}.$

Intuitivamente, la cota de Sen es una especie de "cota de unión no conmutativa" porque es análoga a la cota de unión de la teoría de la probabilidad clásica: $\Pr \left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{N}\right)^{c}=\Pr \left(A_{1}^{c}\cup \cdots \cup A_{N}^{c}\right)\leq \sum _{i=1}^{N}\Pr(A_{i}^{c}),$ dónde $A_{1},\ldots ,A_{N}$ son eventos. El límite cuántico análogo sería

{\text{Tr}}\left(I-\Pi _{1}\cdots \Pi _{N}\cdots \Pi _{1}\right)\rho \leq \sum _{i=1}^{N}{\text{Tr}}\left(I-\Pi _{i}\right)\rho

si pensamos en $\Pi _{1}\cdots \Pi _{N}$ como un proyector sobre la intersección de subespacios. Sin embargo, esto solo se cumple si los proyectores $\Pi _{1}$ , ..., $\Pi _{N}$ desplazamiento (elegir $\Pi _{1}=\left\vert +\right\rangle \left\langle +\right\vert$ , $\Pi _{2}=\left\vert 0\right\rangle \left\langle 0\right\vert$ , y $\rho =\left\vert 0\right\rangle \left\langle 0\right\vert$ da un contraejemplo). Si los proyectores no conmutan, entonces se debe usar un límite de unión cuántica o no conmutativa.

Prueba

Ahora demostramos el teorema HSW con la cota de unión no conmutativa de Sen. Primero describimos cómo se elige el código, luego presentamos la construcción del POVM de Bob y, finalmente, analizamos el error del protocolo.

Mapa de codificación

Primero describimos cómo Alice y Bob se ponen de acuerdo en una elección aleatoria de código. Tienen el canal $x\rightarrow \rho _{x}$ y una distribución $p_{X}(x)$ Ellos eligen. $M$ secuencias clásicas $x^{n}$ Según la distribución IID $p_{X^{n}}(x^{n})$ Después de seleccionarlos, los etiquetan con índices como $\{x^{n}(m)\}_{m\in [M]}$ Esto da lugar a las siguientes palabras clave cuánticas:

\rho _{x^{n}(m)}=\rho _{x_{1}(m)}\otimes \cdots \otimes \rho _{x_{n}(m)}.

El libro de códigos cuántico es entonces $\{\rho _{x^{n}(m)}\}_{m\in [M]}$ El estado promedio del libro de códigos es entonces

dónde $\rho =\sum _{x}p_{X}(x)\rho _{x}$ .

Decodificación de la construcción POVM

La cota de Sen del lema anterior sugiere un método para que Bob decodifique un estado que Alice transmite. Bob primero debería preguntarse "¿Está el estado recibido en el subespacio típico promedio?" Puede hacerlo operacionalmente realizando una medición de subespacio típico correspondiente a $\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n},I-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\}$ . A continuación, pregunta en orden secuencial: "¿Está la palabra clave recibida en el $m^{\text{th}}$ ¿Subespacio condicionalmente típico? Esto es en cierto sentido equivalente a la pregunta: "¿Es la palabra clave recibida el subespacio típico?" $m^{\text{th}}$ ¿Palabra clave transmitida? Puede hacer estas preguntas operativamente realizando las mediciones correspondientes a los proyectores condicionalmente típicos. $\{\Pi _{\rho _{x^{n}(m)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}(m)},\delta }\}$ .

¿Por qué debería funcionar bien este esquema de decodificación secuencial? La razón es que la palabra clave transmitida se encuentra, en promedio, en el subespacio típico:

\mathbb {E} _{X^{n}}[\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }\rho _{X^{n}}]=\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }\ \mathbb {E} _{X^{n}}[\rho _{X^{n}}]

=\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }\rho ^{\otimes n}

\geq 1-\epsilon ,

donde la desigualdad se deduce de (\ref{eq:1st-typ-prop}). Además, los proyectores $\Pi _{\rho _{x^{n}(m)},\delta }$ son "buenos detectores" para los estados $\rho _{x^{n}(m)}$ (en promedio) porque se cumple la siguiente condición de tipicidad cuántica condicional:

\mathbb {E} _{X^{n}}[\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}},\delta }\rho _{X^{n}}]\geq 1-\epsilon .

Análisis de errores

La probabilidad de detectar la $m^{\text{th}}$ La palabra clave correctamente bajo nuestro esquema de decodificación secuencial es igual a

\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{x^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta },

donde hacemos la abreviatura ${\hat {\Pi }}\equiv I-\Pi$ . (Observe que proyectamos en el subespacio típico promedio solo una vez). Por lo tanto, la probabilidad de una detección incorrecta para el $m^{\text{th}}$ La palabra clave es dada por

1-\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{x^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta },

y la probabilidad de error promedio de este esquema es igual a

1-{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{x^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }.

En lugar de analizar la probabilidad de error promedio, analizamos la esperanza de la probabilidad de error promedio, donde la esperanza se refiere a la elección aleatoria del código:

Nuestro primer paso es aplicar la cota de Sen a la cantidad anterior. Pero antes de hacerlo, debemos reescribir ligeramente la expresión anterior, observando que

1=\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \rho _{X^{n}(m)}\right]

=\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}+\operatorname {Tr} {\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\right]

=\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right]+{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} {\hat {\Pi }}_{\rho \delta }^{n}\mathbb {E} _{X^{n}}[\rho _{X^{n}(m)}]

=\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right]+\operatorname {Tr} {\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}

\leq \mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right]+\epsilon

Sustituyendo en ( 3 ) (y olvidándonos de la pequeña $\epsilon$ término por ahora) da un límite superior de

\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right]

-\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{x^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }\right].

Luego aplicamos la cota de Sen a esta expresión con $\sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ y los proyectores secuenciales como $\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }$ , ${\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }$ , ..., ${\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }$ Esto proporciona el límite superior. $\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left(\operatorname {Tr} (I-\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta })\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}+\sum _{i=1}^{m-1}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right)^{1/2}\right].$ Debido a la concavidad de la raíz cuadrada, podemos acotar esta expresión desde arriba mediante

2\left(\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} (I-\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta })\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}+\sum _{i=1}^{m-1}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right]\right)^{1/2}

2\left(\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} (I-\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta })\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}+\sum _{i\neq m}\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right]\right)^{1/2}

donde el segundo límite se obtiene sumando sobre todas las palabras clave que no son iguales a la $m^{\text{th}}$ palabra clave (esta suma solo puede ser mayor).

Ahora nos centraremos exclusivamente en demostrar que el término dentro de la raíz cuadrada se puede hacer pequeño. Consideremos el primer término:

\mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} (I-\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta })\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right]

\leq \mathbb {E} _{X^{n}}\left[{\frac {1}{M}}\sum _{m}\operatorname {Tr} (I-\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta })\rho _{X^{n}(m)}+\left\Vert \rho _{X^{n}(m)}-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\Vert _{1}\right]

\leq \epsilon +2{\sqrt {\epsilon }}.

donde la primera desigualdad se deduce de ( 1 ) y la segunda desigualdad se deduce del lema del operador suave y de las propiedades de tipicidad incondicional y condicional. Consideremos ahora el segundo término y la siguiente cadena de desigualdades:

\sum _{i\neq m}\mathbb {E} _{X^{n}}[\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}]

=\sum _{i\neq m}\operatorname {Tr} \mathbb {E} _{X^{n}}[\Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }]\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\mathbb {E} _{X^{n}}[\rho _{X^{n}(m)}]\Pi _{\rho ,\delta }^{n}

=\sum _{i\neq m}\operatorname {Tr} \mathbb {E} _{X^{n}}[\Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }]\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}

\leq \sum _{i\neq m}2^{-n\lfloor H(B)-\delta \rfloor }\operatorname {Tr} \mathbb {E} _{X^{n}}[\Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }]\Pi _{\rho ,\delta }^{n}

La primera igualdad se deduce porque las palabras clave $X^{n}\left(m\right)$ y $X^{n}(i)$ son independientes ya que son diferentes. La segunda igualdad se deduce de ( 2 ). La primera desigualdad se deduce de (\ref{eq:3rd-typ-prop}). Continuando, tenemos

\leq \sum _{i\neq m}2^{-n\lfloor H(B)-\delta \rfloor }\mathbb {E} _{X^{n}}[\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(i)},\delta }]

\leq \sum _{i\neq m}2^{-n\lfloor H(B)-\delta \rfloor }\ 2^{n\lfloor H(B|X)+\delta \rfloor }

=\sum _{i\neq m}2^{-n\lfloor I(X;B)-2\delta \rfloor }

\leq M\ 2^{-n\lfloor I(X;B)-2\delta \rfloor }.

La primera desigualdad se deduce de $\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq I$ y cambiando la traza por la esperanza. La segunda desigualdad se deduce de (\ref{eq:2nd-cond-typ}). Las dos siguientes son directas.

Al juntarlo todo, obtenemos nuestro límite final para la esperanza de la probabilidad de error promedio:

1-\mathbb {E} _{X^{n}}\left[\operatorname {Tr} \Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{x^{n}(m)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(1)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}(m-1)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}(m)},\delta }\right]

\leq \epsilon +2((\epsilon +2{\sqrt {\epsilon }})+M2^{-n\lfloor I(X;B)-2\delta \rfloor })^{1/2}.

Por lo tanto, siempre que elijamos $M=2^{n\lfloor I(X;B)-3\delta \rfloor }$ Existe un código con probabilidad de error evanescente.

No aditividad de la capacidad clásica

El teorema HSW puede considerarse como la expresión de la capacidad clásica de un canal. $\Phi$ en términos de una regularización del Holevo $\chi$ -cantidad sobre múltiples usos de $\Phi$ . Un problema abierto en la teoría de la información cuántica era determinar si la $\chi$ -la cantidad es aditiva, lo que implicaría que la capacidad clásica podría expresarse utilizando un solo uso de $\Phi$ ^{[ 7 ]} Sin embargo , Matthew Hastings proporcionó en 2009 canales que ofrecían contraejemplos a esta afirmación. ^{[ 8 ]} Trabajos posteriores demostraron que se trata de un fenómeno genérico, en el sentido de que un canal elegido aleatoriamente de una distribución de probabilidad natural dará un contraejemplo con alta probabilidad. (Esto contrasta con las demostraciones que utilizan el método probabilístico , donde se muestra que el muestreo aleatorio solo da un contraejemplo con probabilidad distinta de cero). Se puede dar una demostración de esto utilizando el teorema de Dvoretzky . ^{[ 7 ]}

entropía de salida mínima

La no aditividad de la capacidad clásica está estrechamente relacionada con la no aditividad de la entropía mínima de von Neumann de la salida de un canal cuántico. Un problema más sencillo es considerar la entropía cuántica de Rényi de salida mínima para $p>2$ , para lo cual Grudka, Horodecki y Pankowski dieron contraejemplos sencillos utilizando el entrelazamiento inherente de los fermiones . ^{[ 9 ]}

Véase también

Referencias

Wilde, Mark M. (2017), Teoría de la información cuántica , Cambridge University Press, arXiv : 1106.1445 , Bibcode : 2011arXiv1106.1445W , doi : 10.1017/9781316809976.001 , S2CID 2515538
Guha, Saikat; Tan, Si-Hui; Wilde, Mark M. (2012), "Receptores explícitos con capacidad de logro para comunicación óptica y lectura cuántica", Actas del Simposio Internacional de Teoría de la Información del IEEE (ISIT 2012) , pp. 551–555 , arXiv : 1202.0518 , doi : 10.1109/ISIT.2012.6284251 , ISBN 978-1-4673-2579-0, S2CID 8786400 .

Notas

↑ "Lección 11: La capacidad clásica de un canal cuántico" (PDF) .
↑ Schumacher, Benjamin; Westmoreland, Michael (1997), "Envío de información clásica a través de canales cuánticos ruidosos", Phys. Rev. A , 56 (1): 131– 138, Bibcode : 1997PhRvA..56..131S , doi : 10.1103/PhysRevA.56.131
↑ Holevo, Alexander S. (1998), "La capacidad del canal cuántico con estados de señal generales", IEEE Transactions on Information Theory , 44 (1): 269–273 , arXiv : quant-ph/9611023 , doi : 10.1109/18.651037
1 2 Hayashi, Masahito; Nagaoka, Hiroshi (julio de 2003). "Fórmulas generales para la capacidad de canales clásicos-cuánticos". IEEE Transactions on Information Theory . 49 (7): 1753– 1768. arXiv : quant-ph/0206186 . doi : 10.1109/TIT.2003.813556 .
↑ Cheng, Hao-Chung (noviembre de 2023). "Derivación simple y más precisa de la alcanzabilidad para la comunicación clásica sobre canales cuánticos". PRX Quantum . 4 (4) 040330. arXiv : 2301.11156 . doi : 10.1103/PRXQuantum.4.040330 .
↑ Sen, Pranab (2012), "Logrando el límite interno de Han-Kobayashi para el canal de interferencia cuántica mediante decodificación secuencial", Actas del Simposio Internacional de Teoría de la Información del IEEE (ISIT 2012) , págs. 736–740 , arXiv : 1109.0802 , doi : 10.1109/ISIT.2012.6284656 , S2CID 15119225
1 2 Aubrun, Guillaume; Szarek, Stanisław; Werner, Elisabeth (2011). "Contraejemplo de aditividad de Hastings mediante el teorema de Dvoretzky" . Communications in Mathematical Physics . 305 (1): 85– 97. arXiv : 1003.4925 . doi : 10.1007/s00220-010-1172-y . ISSN 0010-3616 .
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[v123-1] "Lección 11: La capacidad clásica de un canal cuántico" (PDF) .

[2] Schumacher, Benjamin; Westmoreland, Michael (1997), "Envío de información clásica a través de canales cuánticos ruidosos", Phys. Rev. A , 56 (1): 131– 138, Bibcode : 1997PhRvA..56..131S , doi : 10.1103/PhysRevA.56.131

[3] Holevo, Alexander S. (1998), "La capacidad del canal cuántico con estados de señal generales", IEEE Transactions on Information Theory , 44 (1): 269–273 , arXiv : quant-ph/9611023 , doi : 10.1109/18.651037

[HayashiNagaoka2003-4] 1 2 Hayashi, Masahito; Nagaoka, Hiroshi (julio de 2003). "Fórmulas generales para la capacidad de canales clásicos-cuánticos". IEEE Transactions on Information Theory . 49 (7): 1753– 1768. arXiv : quant-ph/0206186 . doi : 10.1109/TIT.2003.813556 .

[5] Cheng, Hao-Chung (noviembre de 2023). "Derivación simple y más precisa de la alcanzabilidad para la comunicación clásica sobre canales cuánticos". PRX Quantum . 4 (4) 040330. arXiv : 2301.11156 . doi : 10.1103/PRXQuantum.4.040330 .

[6] Sen, Pranab (2012), "Logrando el límite interno de Han-Kobayashi para el canal de interferencia cuántica mediante decodificación secuencial", Actas del Simposio Internacional de Teoría de la Información del IEEE (ISIT 2012) , págs. 736–740 , arXiv : 1109.0802 , doi : 10.1109/ISIT.2012.6284656 , S2CID 15119225

[h522-7] 1 2 Aubrun, Guillaume; Szarek, Stanisław; Werner, Elisabeth (2011). "Contraejemplo de aditividad de Hastings mediante el teorema de Dvoretzky" . Communications in Mathematical Physics . 305 (1): 85– 97. arXiv : 1003.4925 . doi : 10.1007/s00220-010-1172-y . ISSN 0010-3616 .

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