Curva temporal cerrada

En física matemática , una curva temporal cerrada ( CTC ) es una línea de universo en una variedad lorentziana de una partícula material en el espaciotiempo que es "cerrada", regresando a su punto de partida. Esta posibilidad fue descubierta por primera vez por Willem Jacob van Stockum en 1937 ^{[ 1 ]} y confirmada posteriormente por Kurt Gödel en 1949 ^{[ 2 ]} , quien descubrió una solución a las ecuaciones de la relatividad general (RG) que permite las CTC, conocida como la métrica de Gödel . Desde entonces, se han encontrado otras soluciones de RG que contienen CTC, como el cilindro de Tipler y los agujeros de gusano transitables . Si las CTC existen, su existencia parece implicar al menos la posibilidad teórica de viajar en el tiempo hacia atrás, lo que plantea la paradoja del abuelo , aunque el principio de autoconsistencia de Novikov parece demostrar que tales paradojas podrían evitarse. Algunos físicos especulan que las CTC que aparecen en ciertas soluciones de GR podrían ser descartadas por una futura teoría de la gravedad cuántica que reemplazaría a GR, una idea que Stephen Hawking denominó la conjetura de protección cronológica . Otros señalan que si cada curva temporal cerrada en un espaciotiempo dado pasa por un horizonte de sucesos , una propiedad que puede llamarse censura cronológica, entonces ese espaciotiempo con horizontes de sucesos eliminados seguiría siendo causalmente correcto y un observador podría no ser capaz de detectar la violación causal. ^{[ 3 ]}

Al hablar de la evolución de un sistema en la relatividad general , o más específicamente en el espacio de Minkowski , los físicos suelen referirse a un " cono de luz ". Un cono de luz representa cualquier posible evolución futura de un objeto dado su estado actual, o cualquier posible ubicación dada su ubicación actual. Las posibles ubicaciones futuras de un objeto están limitadas por la velocidad a la que puede moverse, que en el mejor de los casos es la velocidad de la luz . Por ejemplo, un objeto ubicado en la posición p en el instante t ₀ solo puede moverse a ubicaciones dentro de p + c ( t ₁ − t ₀ ) para el instante t ₁ .  

Esto se suele representar en un gráfico con ubicaciones físicas en el eje horizontal y el tiempo en el eje vertical, con unidades de${\displaystyle t}$para el tiempo y ct para el espacio. Los conos de luz en esta representación aparecen como líneas a 45 grados centradas en el objeto, ya que la luz viaja a${\displaystyle ct}$por${\displaystyle t}$En dicho diagrama, cada posible ubicación futura del objeto se encuentra dentro del cono. Además, cada ubicación en el espacio tiene un tiempo futuro, lo que implica que un objeto puede permanecer en cualquier lugar del espacio indefinidamente.

Cualquier punto individual en dicho diagrama se conoce como evento . Se considera que los eventos separados están separados en el tiempo si difieren a lo largo del eje del tiempo, o separados en el espacio si difieren a lo largo del eje del espacio. Si el objeto estuviera en caída libre , se desplazaría hacia arriba en el eje t ; si acelera, también se mueve a lo largo del eje x. La trayectoria real que sigue un objeto a través del espacio-tiempo, a diferencia de las que podría seguir, se conoce como línea de universo . Otra definición es que el cono de luz representa todas las posibles líneas de universo.

En ejemplos "simples" de métricas espaciotemporales, el cono de luz se dirige hacia adelante en el tiempo. Esto corresponde al caso común de que un objeto no puede estar en dos lugares a la vez, o alternativamente, que no puede moverse instantáneamente a otra ubicación. En estos espaciotiempos, las líneas de universo de los objetos físicos son, por definición, temporales. Sin embargo, esta orientación solo es cierta para espaciotiempos "localmente planos". En espaciotiempos curvos, el cono de luz estará "inclinado" a lo largo de la geodésica del espaciotiempo . Por ejemplo, mientras se mueve en las proximidades de una estrella, la gravedad de la estrella "atraerá" al objeto, afectando su línea de universo, por lo que sus posibles posiciones futuras se encuentran más cerca de la estrella. Esto aparece como un cono de luz ligeramente inclinado en el diagrama espaciotemporal correspondiente. Un objeto en caída libre en esta circunstancia continúa moviéndose a lo largo de su línea de universo local.${\displaystyle t}$eje, pero para un observador externo parece que también está acelerando en el espacio, una situación común si el objeto está en órbita, por ejemplo.

En casos extremos, en espaciotiempos con métricas de curvatura suficientemente altas, el cono de luz puede inclinarse más de 45 grados. Esto significa que existen posibles posiciones "futuras", desde el marco de referencia del objeto, que están separadas espacialmente para los observadores en un marco de referencia externo . Desde este punto de vista externo, el objeto puede moverse instantáneamente a través del espacio. En estas situaciones, el objeto tendría que moverse, ya que su ubicación espacial actual no estaría dentro de su propio cono de luz futuro. Además, con una inclinación suficiente, existen ubicaciones de eventos que se encuentran en el "pasado" visto desde el exterior. Con un movimiento adecuado de lo que parece ser su propio eje espacial, el objeto parece viajar a través del tiempo visto externamente.

Se puede crear una curva temporal cerrada si se configura una serie de conos de luz que se repliegan sobre sí mismos, de modo que un objeto podría moverse a lo largo de este bucle y regresar al mismo lugar y momento de partida. Un objeto en dicha órbita regresaría repetidamente al mismo punto del espaciotiempo si permanece en caída libre. Regresar a la ubicación original del espaciotiempo sería solo una posibilidad; el cono de luz futuro del objeto incluiría puntos del espaciotiempo tanto hacia adelante como hacia atrás en el tiempo, por lo que debería ser posible que el objeto viajara en el tiempo bajo estas condiciones.

Las CTC aparecen en soluciones exactas localmente aceptables de la ecuación de campo de Einstein de la relatividad general , incluidas algunas de las soluciones más importantes. Estas incluyen:

• el espacio de Misner (que es el espacio de Minkowski orbifoldizado mediante una transformación discreta)
• el vacío de Kerr (que modela un agujero negro sin carga en rotación )
• el interior de un agujero negro BTZ en rotación
• el polvo de van Stockum (que modela una configuración de polvo con simetría cilíndrica )
• el polvo lambda de Gödel (que modela un polvo con un término de constante cosmológica cuidadosamente elegido)
• el cilindro de Tipler (una métrica cilíndricamente simétrica con CTC)
• Soluciones de Bonnor-Steadman que describen situaciones de laboratorio como dos bolas giratorias
• J. Richard Gott ha propuesto un mecanismo para crear CTC utilizando cuerdas cósmicas .

Algunos de estos ejemplos, como el cilindro de Tipler, son bastante artificiales, pero se cree que la parte exterior de la solución de Kerr es, en cierto sentido, genérica, por lo que resulta bastante inquietante saber que su interior contiene CTC. La mayoría de los físicos opinan que los CTC en dichas soluciones son artefactos. ^{[ 4 ]}

Una característica de un horizonte temporal de Cauchy (CTC) es que abre la posibilidad de una línea de universo no conectada a tiempos anteriores, y por lo tanto, la existencia de eventos que no pueden rastrearse hasta una causa anterior. Normalmente, la causalidad exige que cada evento en el espaciotiempo esté precedido por su causa en cada sistema de referencia en reposo. Este principio es fundamental en el determinismo , que, en el lenguaje de la relatividad general, afirma que el conocimiento completo del universo en una superficie de Cauchy de tipo espacial puede utilizarse para calcular el estado completo del resto del espaciotiempo. Sin embargo, en un CTC, la causalidad se rompe, porque un evento puede ser "simultáneo" con su causa; en cierto sentido, un evento puede ser capaz de causarse a sí mismo. Es imposible determinar, basándose únicamente en el conocimiento del pasado, si existe algo en el CTC que pueda interferir con otros objetos en el espaciotiempo. Por lo tanto, un CTC da como resultado un horizonte de Cauchy y una región del espaciotiempo que no puede predecirse a partir del conocimiento perfecto de algún tiempo pasado.

Ningún CTC puede deformarse continuamente como un CTC hasta un punto (es decir, un CTC y un punto no son homotópicos de tipo temporal ), ya que la variedad no se comportaría causalmente bien en ese punto. La característica topológica que impide que el CTC se deforme hasta un punto se conoce como característica topológica de tipo temporal .

La existencia de CTCs impondría, sin duda, restricciones a los estados físicamente permisibles de los campos de materia-energía en el universo. Según estos argumentos, la propagación de una configuración de campo a lo largo de la familia de líneas de universo temporales cerradas debe, en última instancia, resultar en un estado idéntico al original. Algunos científicos han explorado esta idea como un posible método para refutar la existencia de CTCs.

Aunque se han propuesto formulaciones cuánticas de CTC , ^{[ 5 ] [ 6 ]} un desafío importante para ellas es su capacidad de crear libremente entrelazamiento , ^{[ 7 ]} lo cual la teoría cuántica predice que es imposible. Si la prescripción de Deutsch es válida, la existencia de estos CTC implica también la equivalencia de la computación cuántica y clásica (ambas en PSPACE ). ^{[ 8 ]} Si la prescripción de Lloyd es válida, las computaciones cuánticas serían PP-completas.

Existen dos clases de CTC. Tenemos CTC contraíbles hasta un punto (si ya no insistimos en que deba ser temporal y orientado hacia el futuro en todas partes), y tenemos CTC que no son contraíbles. Para estas últimas, siempre podemos ir al espacio de recubrimiento universal y restablecer la causalidad. Para las primeras, tal procedimiento no es posible. Ninguna curva temporal cerrada es contraíble hasta un punto mediante una homotopía temporal entre curvas temporales, ya que ese punto no se comportaría causalmente bien. ^{[ 3 ]}

El conjunto que viola la cronología es el conjunto de puntos por los que pasan las CTC. El límite de este conjunto es el horizonte de Cauchy . El horizonte de Cauchy se genera mediante geodésicas nulas cerradas. ^{[ 9 ]} A cada geodésica nula cerrada se le asocia un factor de desplazamiento al rojo que describe el reescalamiento de la tasa de cambio del parámetro afín alrededor de un bucle. Debido a este factor de desplazamiento al rojo, el parámetro afín termina en un valor finito después de infinitas revoluciones porque la serie geométrica converge.

• Estructura causal
• Condiciones de causalidad
• Mecánica cuántica de los viajes en el tiempo
• Anillo romano
• Cristal del tiempo
• Temporal
• Teorema de recurrencia de Poincaré

• Introducción a los viajes en el tiempo (copia de seguridad en Internet Archive )