Conjunto de club

En matemáticas , particularmente en lógica matemática y teoría de conjuntos , un conjunto club es un subconjunto de un ordinal límite que es cerrado bajo la topología de orden y es ilimitado (véase más abajo) con respecto al ordinal límite. El nombre club es una contracción de "cerrado y ilimitado".

Formalmente, si${\displaystyle \kappa }$es un ordinal límite, entonces un conjunto${\displaystyle C\subseteq \kappa }$está cerrado en${\displaystyle \kappa }$si y solo si para cada${\displaystyle \alpha <\kappa,}$si${\displaystyle \sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0,}$entonces${\displaystyle \alpha \in C.}$ Por lo tanto, si el límite de alguna sucesión de${\displaystyle C}$es menor que${\displaystyle \kappa ,}$entonces el límite también está en${\displaystyle C.}$

Si${\displaystyle \kappa }$es un ordinal límite y${\displaystyle C\subseteq \kappa }$entonces${\displaystyle C}$es ilimitado en${\displaystyle \kappa }$si por alguna razón${\displaystyle \alpha <\kappa,}$hay algo${\displaystyle \beta \in C}$de tal manera que${\displaystyle \alpha <\beta .}$

Si un conjunto es cerrado y no acotado, entonces es un conjunto de club .

También son de interés las clases propias cerradas de ordinales (toda clase propia de ordinales no está acotada en la clase de todos los ordinales).

El conjunto de todos los ordinales límite numerables es un conjunto club con respecto al primer ordinal no numerable ; pero no es un conjunto club con respecto a ningún ordinal límite superior, ya que no es ni cerrado ni ilimitado.${\displaystyle \kappa }$es un ordinal inicial no contable , entonces el conjunto de todos los ordinales límite${\displaystyle \alpha <\kappa}$está cerrado sin límites en${\displaystyle \kappa .}$ De hecho, un conjunto de clubes no es más que el rango de una función normal (es decir, creciente y continua).

En términos más generales, si${\displaystyle X}$es un conjunto no vacío y${\displaystyle \lambda }$es un cardenal , entonces${\displaystyle C\subseteq [X]^{\lambda }}$(el conjunto de subconjuntos de${\displaystyle X}$de cardinalidad${\displaystyle \lambda }$) es club si toda unión de un subconjunto de${\displaystyle C}$está en${\displaystyle C}$y cada subconjunto de${\displaystyle X}$de cardinalidad menor que${\displaystyle \lambda }$está contenido en algún elemento de${\displaystyle C}$(véase el conjunto de artículos de papelería ).

Dejar${\displaystyle \kappa \,}$ser un ordinal límite de cofinalidad incontable${\displaystyle \lambda .}$Para algunos${\displaystyle \alpha <\lambda \,}$, dejar${\displaystyle \langle C_{\xi}:\xi <\alpha \rangle \,}$sea ​​una secuencia de subconjuntos cerrados no acotados de${\displaystyle \kappa \,.}$Entonces${\displaystyle \textstyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,}$También es cerrado e ilimitado. Para ver esto, se puede observar que la intersección de conjuntos cerrados siempre es cerrada, por lo que solo necesitamos demostrar que esta intersección es ilimitada. Así que fijemos cualquier${\displaystyle \beta _ {0}<\kappa \,,}$y para cada${\displaystyle n<\omega }$elige entre cada uno${\displaystyle C_{\xi }\,}$un elemento${\displaystyle \beta _ {n+1}^{\xi }>\beta _ {n}\,,}$lo cual es posible porque cada uno es ilimitado. Dado que esta es una colección de menos de${\displaystyle \lambda \,}$ordinales, todos menores que${\displaystyle \kappa \,,}$su límite superior mínimo también debe ser menor que${\displaystyle \kappa \,,}$para que podamos llamarlo${\displaystyle \beta _ {n+1}\,.}$Este proceso genera una secuencia contable${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\ldots \,.}$El límite de esta secuencia debe ser, de hecho, también el límite de la secuencia.${\displaystyle \beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\ldots \,,}$y puesto que cada${\displaystyle C_{\xi }\,}$está cerrado y${\displaystyle \lambda \,}$es incontable, este límite debe estar en cada${\displaystyle C_{\xi }\,,}$y por lo tanto este límite es un elemento de la intersección que está arriba${\displaystyle \beta _{0},}$lo que demuestra que la intersección no tiene límites.

De esto se puede ver que si${\displaystyle \kappa \,}$es un cardenal regular , entonces

${\displaystyle \{S\subseteq \kappa$ :\exists C\subseteq S{\text{ tal que }}C{\text{ es cerrado e ilimitado en }}\kappa \}}

es un no principal${\displaystyle \kappa }$-filtro completo adecuado en el conjunto${\displaystyle \kappa }$; es decir, en el poset${\displaystyle (\wp (\kappa),\subseteq)}$.

Si${\displaystyle \kappa \,}$es un cardinal regular entonces los conjuntos de clubes también están cerrados bajo intersección diagonal .

De hecho, si${\displaystyle \kappa \,}$es regular y${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$¿Hay algún filtro en?${\displaystyle \kappa \,,}$cerrado bajo intersección diagonal, que contiene todos los conjuntos de la forma${\displaystyle \{\xi <\kappa$ :\xi \geq \alpha \}\,} para${\displaystyle \alpha <\kappa \,,}$entonces${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$Debe incluir todos los juegos de palos.

• Traje de club
• Filtro (matemáticas) – Subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado 
• Filtros en topología : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos. 
• Conjunto estacionario – Concepto de teoría de conjuntos