Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon

El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon es un teorema del procesamiento de señales que sirve como puente fundamental entre las señales de tiempo continuo y las de tiempo discreto . En el caso del muestreo periódico (con intervalos uniformes), establece una condición suficiente sobre la frecuencia de muestreo que permite que una secuencia discreta de muestras capture toda la información de una señal de tiempo continuo de ancho de banda finito , de modo que la señal original pueda reconstruirse con exactitud a partir de dichas muestras.

Estrictamente hablando, el teorema solo se aplica a una clase de funciones matemáticas cuya transformada de Fourier es cero fuera de una región finita de frecuencias. Intuitivamente, esperamos que al reducir una función continua a una secuencia discreta e interpolarla de nuevo a una función continua, la fidelidad del resultado dependa de la densidad (o frecuencia de muestreo ) de las muestras originales. El teorema de muestreo introduce el concepto de una frecuencia de muestreo suficiente para una fidelidad perfecta en la clase de funciones con ancho de banda limitado a un determinado valor, de modo que no se pierda información real durante el proceso de muestreo. Expresa la frecuencia de muestreo suficiente en función del ancho de banda para dicha clase de funciones. El teorema también conduce a una fórmula para reconstruir perfectamente la función original de tiempo continuo a partir de las muestras.

Aún es posible una reconstrucción perfecta cuando no se cumple el criterio de frecuencia de muestreo, siempre que se conozcan otras restricciones de la señal (véase §  Muestreo de señales fuera de banda base más adelante y detección comprimida ). En algunos casos (cuando no se cumple el criterio de frecuencia de muestreo), la utilización de restricciones adicionales permite reconstrucciones aproximadas. La fidelidad de estas reconstrucciones puede verificarse y cuantificarse utilizando el teorema de Bochner . ^{[ 1 ]}

Una consecuencia importante del teorema de muestreo es el concepto de frecuencia de Nyquist , que establece que para reconstruir una señal de ancho de banda limitado libre de aliasing , la frecuencia de muestreo debe ser al menos el doble del ancho de banda de la señal .

El nombre de teorema de muestreo de Nyquist-Shannon rinde homenaje a Harry Nyquist y Claude Shannon , pero el teorema también fue descubierto previamente por E. T. Whittaker (publicado en 1915), y Shannon citó el artículo de Whittaker en su trabajo. Por lo tanto, el teorema también se conoce como teorema de muestreo de Whittaker-Shannon , Whittaker-Shannon y Whittaker-Nyquist-Shannon , y también puede denominarse teorema cardinal de interpolación .

El muestreo es un proceso de convertir una señal (por ejemplo, una función de tiempo o espacio continuo) en una secuencia de valores (una función de tiempo o espacio discreto). La versión de Shannon del teorema establece: ^{[ 2 ]}

Por lo tanto, una frecuencia de muestreo suficiente es cualquier valor mayor que${\displaystyle 2B}$muestras por segundo. De forma equivalente, para una frecuencia de muestreo dada${\displaystyle f_{s}}$Se garantiza una reconstrucción perfecta posible para un límite de banda.${\displaystyle B<f_{s}/2}$.

Cuando el límite de banda es demasiado alto (o no hay límite de banda), la reconstrucción presenta imperfecciones conocidas como aliasing . Las formulaciones modernas del teorema a veces tienen cuidado de indicar explícitamente que${\displaystyle x(t)}$no debe contener ningún componente sinusoidal a la frecuencia exacta${\displaystyle B,}$o que${\displaystyle B}$debe ser estrictamente menor que la mitad de la frecuencia de muestreo. El umbral${\displaystyle 2B}$se denomina tasa de Nyquist y es un atributo de la entrada de tiempo continuo.${\displaystyle x(t)}$para ser muestreados. La tasa de muestreo debe exceder la tasa de Nyquist para que las muestras sean suficientes para representar${\displaystyle x(t).}$El umbral${\displaystyle f_{s}/2}$se denomina frecuencia de Nyquist y es un atributo del equipo de muestreo . Todos los componentes de frecuencia significativos de la señal muestreada correctamente${\displaystyle x(t)}$existen por debajo de la frecuencia de Nyquist. La condición descrita por estas desigualdades se llama criterio de Nyquist , o a veces condición de Raabe . El teorema también es aplicable a funciones de otros dominios, como el espacio, en el caso de una imagen digitalizada. El único cambio, en el caso de otros dominios, son las unidades de medida atribuidas a${\displaystyle t,}$${\displaystyle f_{s},}$y${\displaystyle B.}$

El símbolo${\displaystyle T\triangleq 1/f_{s}}$se utiliza habitualmente para representar el intervalo entre muestras adyacentes y se denomina período de muestreo o intervalo de muestreo . Las muestras de función${\displaystyle x(t)}$se denotan comúnmente por${\displaystyle x[n]\triangleq T\cdot x(nT)}$^{[ 3 ]} (alternativamente${\displaystyle x_{n}}$en la literatura antigua sobre procesamiento de señales), para todos los valores enteros de${\displaystyle n.}$El multiplicador${\displaystyle T}$es el resultado de la transición del tiempo continuo al tiempo discreto (véase Transformada de Fourier de tiempo discreto#Relación con la transformada de Fourier ), y es necesario para preservar la energía de la señal como${\displaystyle T}$varía.

Una forma matemáticamente ideal de interpolar la secuencia implica el uso de funciones sinc . Cada muestra en la secuencia se reemplaza por una función sinc, centrada en el eje del tiempo en la ubicación original de la muestra.${\displaystyle nT,}$con la amplitud de la función sinc escalada al valor de la muestra,${\displaystyle x(nT).}$Posteriormente, las funciones sinc se suman para formar una función continua. Un método matemáticamente equivalente utiliza el peine de Dirac y procede mediante la convolución de una función sinc con una serie de pulsos delta de Dirac , ponderados por los valores de la muestra. Ninguno de los dos métodos es numéricamente práctico. En su lugar, se utiliza algún tipo de aproximación de las funciones sinc, de longitud finita. Las imperfecciones atribuibles a la aproximación se conocen como error de interpolación .

Los convertidores digitales-analógicos prácticos no generan funciones sinc escaladas y retardadas , ni pulsos de Dirac ideales . En cambio, generan una secuencia constante a trozos de pulsos rectangulares escalados y retardados (la retención de orden cero ), generalmente seguida de un filtro de paso bajo (denominado "filtro antiimagen") para eliminar las réplicas espurias de alta frecuencia (imágenes) de la señal de banda base original.

Cuando${\displaystyle x(t)}$es una función con una transformada de Fourier${\displaystyle X(f)}$:

${\displaystyle X(f)\ \triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ {\rm {d}}t,}$

Luego las muestras${\displaystyle x[n]}$de${\displaystyle x(t)}$son suficientes para crear una suma periódica de${\displaystyle X(f).}$(véase Transformada de Fourier de tiempo discreto#Relación con la transformada de Fourier ) :

que es una función periódica y su representación equivalente como una serie de Fourier , cuyos coeficientes son${\displaystyle x[n]}$Esta función también se conoce como la transformada discreta de Fourier (DTFT) de la secuencia de muestras.

Como se muestra, copias de${\displaystyle X(f)}$se desplazan por múltiplos de la frecuencia de muestreo${\displaystyle f_{s}=1/T}$y combinados por suma. Para una función de banda limitada${\displaystyle (X(f)=0,{\text{ for all }}|f|\geq B)}$y suficientemente grande${\displaystyle f_{s},}$Es posible que las copias permanezcan distintas entre sí. Pero si no se satisface el criterio de Nyquist, las copias adyacentes se superponen y, en general, no es posible discernir una inequívoca.${\displaystyle X(f).}$Cualquier componente de frecuencia superior${\displaystyle f_{s}/2}$es indistinguible de un componente de menor frecuencia, llamado alias , asociado con una de las copias. En tales casos, las técnicas de interpolación habituales producen el alias, en lugar del componente original. Cuando la frecuencia de muestreo está predeterminada por otras consideraciones (como un estándar de la industria),${\displaystyle x(t)}$Normalmente se filtra para reducir sus altas frecuencias a niveles aceptables antes de ser muestreada. El tipo de filtro requerido es un filtro de paso bajo , y en esta aplicación se denomina filtro anti-aliasing .

Cuando no hay superposición de las copias (también conocidas como "imágenes") de${\displaystyle X(f)}$, el${\displaystyle k=0}$El término de la ecuación 1 se puede recuperar mediante el producto:

$${\displaystyle X(f)=H(f)\cdot X_{1/T}(f),}$$

dónde:

$${\displaystyle H(f)\ \triangleq \ {\begin{cases}1&|f|<B\\0&|f|>f_{s}-B.\end{cases}}}$$

El teorema del muestreo se demuestra ya que${\displaystyle X(f)}$determina de forma única${\displaystyle x(t)}$.

Solo queda derivar la fórmula de reconstrucción.${\displaystyle H(f)}$no es necesario que esté definido con precisión en la región${\displaystyle [B,\ f_{s}-B]}$porque${\displaystyle X_{1/T}(f)}$es cero en esa región. Sin embargo, el peor caso es cuando${\displaystyle B=f_{s}/2,}$la frecuencia de Nyquist. Una función suficiente para ese caso y todos los casos menos severos es :

$${\displaystyle H(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)={\begin{cases}1&|f|<{\frac {f_{s}}{2}}\\0&|f|>{\frac {f_{s}}{2}},\end{cases}}}$$

dónde${\displaystyle \mathrm {rect} }$es la función rectangular . Por lo tanto:

${\displaystyle X(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)\cdot X_{1/T}(f)}$

${\displaystyle =\mathrm {rect} (Tf)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi nTf}}$   (de la ecuación 1 , arriba). 

${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \underbrace {T\cdot \mathrm {rect} (Tf)\cdot e^{-i2\pi nTf}} _{{\mathcal {F}}\left\{\mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\right\}}.}$   ^{[ A ]}

La transformada inversa de ambos lados produce la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon :

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right),}$

que muestra cómo las muestras,${\displaystyle x(nT)}$, se pueden combinar para reconstruir${\displaystyle x(t)}$.

• Valores mayores de lo necesario de${\displaystyle f_{s}}$(valores más pequeños de${\displaystyle T}$), llamado sobremuestreo , no tiene efecto en el resultado de la reconstrucción y tiene el beneficio de dejar espacio para una banda de transición en la que${\displaystyle H(f)}$es libre de tomar valores intermedios. El submuestreo , que provoca aliasing, no es en general una operación reversible.
• Teóricamente, la fórmula de interpolación se puede implementar como un filtro de paso bajo , cuya respuesta impulsional es${\displaystyle \mathrm {sinc} (t/T)}$y cuya aportación es${\displaystyle \textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT),}$que es una función peine de Dirac modulada por las muestras de la señal. Los convertidores digital-analógico (DAC) prácticos implementan una aproximación como la retención de orden cero . En ese caso, el sobremuestreo puede reducir el error de aproximación.

Poisson muestra que la serie de Fourier en la ecuación 1 produce la suma periódica de${\displaystyle X(f)}$, independientemente de${\displaystyle f_{s}}$y${\displaystyle B}$Sin embargo, Shannon solo deriva los coeficientes de la serie para el caso${\displaystyle f_{s}=2B}$Citando prácticamente el artículo original de Shannon:

Dejar${\displaystyle X(\omega )}$ser el espectro de${\displaystyle x(t).}$ Entonces

${\displaystyle x(t)={1 \over 2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega ={1 \over 2\pi }\int _{-2\pi B}^{2\pi B}X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega ,}$

porque${\displaystyle X(\omega )}$Se supone que es cero fuera de la banda.${\displaystyle \left|{\tfrac {\omega }{2\pi }}\right|<B.}$ Si dejamos${\displaystyle t={\tfrac {n}{2B}},}$dónde${\displaystyle n}$es cualquier número entero positivo o negativo, obtenemos:

A la izquierda se encuentran los valores de${\displaystyle x(t)}$en los puntos de muestreo. La integral de la derecha se reconocerá como esencialmente ^{[ a ]} la${\displaystyle n^{th}}$coeficiente en una expansión en serie de Fourier de la función${\displaystyle X(\omega ),}$tomando el intervalo${\displaystyle -B}$a${\displaystyle B}$como un período fundamental. Esto significa que los valores de las muestras${\displaystyle x(n/2B)}$determinar los coeficientes de Fourier en el desarrollo en serie de${\displaystyle X(\omega ).}$ Así lo determinan${\displaystyle X(\omega ),}$desde${\displaystyle X(\omega )}$es cero para frecuencias mayores que${\displaystyle B,}$y para frecuencias más bajas${\displaystyle X(\omega )}$se determina si se determinan sus coeficientes de Fourier. Pero${\displaystyle X(\omega )}$determina la función original${\displaystyle x(t)}$completamente, ya que una función se determina si se conoce su espectro. Por lo tanto, las muestras originales determinan la función.${\displaystyle x(t)}$completamente.

La demostración del teorema de Shannon está completa en ese punto, pero continúa analizando la reconstrucción mediante funciones sinc , lo que ahora conocemos como la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon, como se mencionó anteriormente. No deriva ni demuestra las propiedades de la función sinc, ya que la relación de pares de Fourier entre la función rectangular ( rect ) y la función sinc era bien conocida en ese momento. ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle x_{n}}$ser el${\displaystyle n^{th}}$muestra. Luego la función${\displaystyle x(t)}$está representado por:

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}{\sin(\pi (2Bt-n)) \over \pi (2Bt-n)}.}$

Al igual que en la otra demostración, se presupone la existencia de la transformada de Fourier de la señal original, por lo que la demostración no indica si el teorema de muestreo se extiende a procesos aleatorios estacionarios de banda limitada.

El teorema de muestreo se formula habitualmente para funciones de una sola variable. Por consiguiente, es directamente aplicable a señales dependientes del tiempo y normalmente se formula en ese contexto. Sin embargo, el teorema de muestreo puede extenderse fácilmente a funciones de un número arbitrario de variables. Las imágenes en escala de grises, por ejemplo, suelen representarse como matrices bidimensionales de números reales que representan las intensidades relativas de los píxeles (elementos de imagen) situados en las intersecciones de las posiciones de muestreo de filas y columnas. Como resultado, las imágenes requieren dos variables independientes, o índices, para especificar cada píxel de forma única: una para la fila y otra para la columna.

Las imágenes en color suelen consistir en una composición de tres imágenes en escala de grises, una para cada uno de los tres colores primarios: rojo, verde y azul ( RGB) . Otros espacios de color que utilizan vectores de 3 dimensiones incluyen HSV, CIELAB, XYZ, etc. Algunos espacios de color, como el cian, magenta, amarillo y negro (CMYK), pueden representar el color en cuatro dimensiones. Todos estos se tratan como funciones vectoriales sobre un dominio muestreado bidimensional.

De forma similar a las señales unidimensionales de tiempo discreto, las imágenes también pueden sufrir aliasing si la resolución de muestreo, o densidad de píxeles, es insuficiente. Por ejemplo, una fotografía digital de una camisa a rayas con altas frecuencias (es decir, con poca distancia entre las rayas) puede provocar aliasing al ser muestreada por el sensor de imagen de la cámara . El aliasing se manifiesta como un patrón de moiré . La solución para aumentar la resolución espacial en este caso sería acercarse a la camisa, usar un sensor de mayor resolución o desenfocar ópticamente la imagen antes de capturarla con el sensor mediante un filtro óptico de paso bajo .

Otro ejemplo se muestra aquí en los patrones de ladrillos. La imagen superior muestra los efectos cuando no se cumple la condición del teorema de muestreo. Cuando el software redimensiona una imagen (el mismo proceso que crea la miniatura que se muestra en la imagen inferior), en efecto, primero aplica un filtro de paso bajo a la imagen y luego la reduce para obtener una imagen más pequeña que no presente el patrón de moiré . La imagen superior muestra lo que sucede cuando la imagen se reduce sin aplicar un filtro de paso bajo: se produce aliasing.

El teorema de muestreo se aplica a los sistemas de cámara, donde la escena y la lente constituyen una fuente de señal espacial analógica, y el sensor de imagen es un dispositivo de muestreo espacial. Cada uno de estos componentes se caracteriza por una función de transferencia de modulación (MTF), que representa la resolución precisa (ancho de banda espacial) disponible en dicho componente. Pueden producirse efectos de aliasing o desenfoque cuando la MTF de la lente y la del sensor no coinciden. Cuando la imagen óptica muestreada por el sensor contiene frecuencias espaciales más altas que el sensor, el submuestreo actúa como un filtro de paso bajo para reducir o eliminar el aliasing. Cuando el área del punto de muestreo (el tamaño del píxel del sensor) no es lo suficientemente grande como para proporcionar un antialiasing espacial suficiente , se puede incluir un filtro antialiasing independiente (filtro óptico de paso bajo) en un sistema de cámara para reducir la MTF de la imagen óptica. En lugar de requerir un filtro óptico, la unidad de procesamiento gráfico de las cámaras de los teléfonos inteligentes realiza un procesamiento de señal digital para eliminar el aliasing mediante un filtro digital. Los filtros digitales también aplican un efecto de nitidez para amplificar el contraste de la lente en altas frecuencias espaciales, que de otro modo disminuiría rápidamente en los límites de difracción.

El teorema del muestreo también se aplica al posprocesamiento de imágenes digitales, como el sobremuestreo o el submuestreo. Los efectos de aliasing, desenfoque y nitidez pueden ajustarse mediante filtrado digital implementado en software, que necesariamente sigue los principios teóricos.

Para ilustrar la necesidad de${\displaystyle f_{s}>2B,}$Consideremos la familia de sinusoides generadas por diferentes valores de${\displaystyle \theta }$en esta señal de tiempo continuo:

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\frac {\cos(2\pi Bt+\theta )}{\cos(\theta )}},\qquad -\pi /2<\theta <\pi /2\\&=\ \cos(2\pi Bt)-\sin(2\pi Bt)\tan(\theta ).\end{aligned}}}$

Con${\displaystyle f_{s}=2B}$o equivalentemente${\displaystyle T=1/2B,}$Las muestras son proporcionadas por:

${\displaystyle x(nT)=\cos(\pi n)-\underbrace {\sin(\pi n)} _{0}\tan(\theta )=(-1)^{n}}$

independientemente del valor de${\displaystyle \theta .}$Ese tipo de ambigüedad es la razón de la estricta desigualdad de la condición del teorema de muestreo.

Como lo comenta Shannon: ^{[ 2 ]}

Un resultado similar es cierto si la banda no comienza en frecuencia cero sino en algún valor más alto, y puede probarse mediante una traslación lineal (que corresponde físicamente a la modulación de banda lateral única ) del caso de frecuencia cero. En este caso, el pulso elemental se obtiene de${\displaystyle \sin(x)/x}$mediante modulación de banda lateral única.

Es decir, existe una condición suficiente de no pérdida para el muestreo de señales que no tienen componentes de banda base , la cual involucra el ancho del intervalo de frecuencia distinto de cero en lugar de su componente de frecuencia más alta. Consulte la sección de muestreo para obtener más detalles y ejemplos.

Por ejemplo, para muestrear señales de radio FM en el rango de frecuencia de 100 a 102 MHz , no es necesario muestrear a 204 MHz (el doble de la frecuencia superior), sino que basta con muestrear a 4 MHz (el doble del ancho del intervalo de frecuencia). (Normalmente, la reconstrucción no es el objetivo con señales de FI o RF muestreadas. En cambio, la secuencia de muestras puede tratarse como muestras ordinarias de la señal desplazadas en frecuencia a una frecuencia cercana a la banda base, y la demodulación digital puede proceder sobre esa base).   

Utilizando la condición de paso de banda, donde ${\displaystyle X(f)=0}$a pesar de${\displaystyle |f|}$fuera de la banda abierta de frecuencias

${\displaystyle \left({\frac {N}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {N+1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),}$

para algún entero no negativo${\displaystyle N}$y alguna frecuencia de muestreo${\displaystyle f_{\mathrm {s} }}$, es posible encontrar una interpolación que reproduzca la señal. Tenga en cuenta que puede haber varias combinaciones de${\displaystyle N}$y${\displaystyle f_{\mathrm {s} }}$que funcionan, incluyendo la condición normal de banda base como el caso${\displaystyle N=0.}$El filtro de interpolación correspondiente que se convolucionará con la muestra es la respuesta impulsional de un filtro pasabanda "de pared de ladrillo" ideal (a diferencia del filtro pasabajos de pared de ladrillo ideal utilizado anteriormente) con cortes en los bordes superior e inferior de la banda especificada, que es la diferencia entre un par de respuestas impulsionales de paso bajo:

$${\displaystyle (N+1)\,\operatorname {sinc} \left({\frac {(N+1)t}{T}}\right)-N\,\operatorname {sinc} \left({\frac {Nt}{T}}\right).}$$

Esta función es 1 en${\displaystyle t=0}$y cero en cualquier otro múltiplo de${\displaystyle T}$(así como en otros momentos si${\displaystyle N>0}$).

También son posibles otras generalizaciones, por ejemplo, a señales que ocupan múltiples bandas no contiguas. Incluso la forma más generalizada del teorema de muestreo no tiene un recíproco demostrable. Es decir, no se puede concluir que necesariamente se pierde información solo porque no se cumplen las condiciones del teorema de muestreo; sin embargo, desde una perspectiva de ingeniería, generalmente se puede asumir que si no se cumple el teorema de muestreo, lo más probable es que se pierda información.

La teoría de muestreo de Shannon puede generalizarse para el caso de muestreo no uniforme , es decir, muestras tomadas a intervalos no iguales. La teoría de muestreo de Shannon para muestreo no uniforme establece que una señal de ancho de banda limitado puede reconstruirse perfectamente a partir de sus muestras si la tasa de muestreo promedio satisface la condición de Nyquist. ^{[ 5 ]} Por lo tanto, aunque las muestras uniformemente espaciadas pueden dar lugar a algoritmos de reconstrucción más sencillos, no son una condición necesaria para una reconstrucción perfecta.

La teoría general para muestras no de banda base y no uniformes fue desarrollada en 1967 por Henry Landau . ^{[ 6 ]} Demostró que la tasa de muestreo promedio (uniforme o no) debe ser el doble del ancho de banda ocupado de la señal, suponiendo que se conoce a priori qué porción del espectro estaba ocupada.

A finales de la década de 1990, este trabajo se extendió parcialmente para cubrir señales para las cuales se conoce la cantidad de ancho de banda ocupado pero se desconoce la porción ocupada real del espectro. ^{[ 7 ]} En la década de 2000, se desarrolló una teoría completa (véase la sección Muestreo por debajo de la tasa de Nyquist bajo restricciones adicionales más adelante) utilizando detección comprimida . En particular, la teoría, utilizando lenguaje de procesamiento de señales, se describe en un artículo de 2009 de Mishali y Eldar. ^{[ 8 ]} Muestran, entre otras cosas, que si se desconocen las ubicaciones de frecuencia, entonces es necesario muestrear al menos al doble del criterio de Nyquist; en otras palabras, se debe pagar al menos un factor de 2 por no conocer la ubicación del espectro . Tenga en cuenta que los requisitos mínimos de muestreo no necesariamente garantizan la estabilidad .

El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon proporciona una condición suficiente para el muestreo y la reconstrucción de una señal de ancho de banda limitado. Cuando la reconstrucción se realiza mediante la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon , el criterio de Nyquist también es una condición necesaria para evitar el aliasing, en el sentido de que si las muestras se toman a una velocidad inferior al doble del límite de banda, algunas señales no se reconstruirán correctamente. Sin embargo, si se imponen restricciones adicionales a la señal, el criterio de Nyquist puede dejar de ser una condición necesaria .

Un ejemplo no trivial de cómo explotar supuestos adicionales sobre la señal lo proporciona el campo reciente de la detección comprimida , que permite la reconstrucción completa con una tasa de muestreo sub-Nyquist. Específicamente, esto se aplica a señales que son dispersas (o compresibles) en algún dominio. Como ejemplo, la detección comprimida trata con señales que pueden tener un ancho de banda general bajo (por ejemplo, el ancho de banda efectivo ).${\displaystyle EB}$) pero las ubicaciones de frecuencia son desconocidas, en lugar de estar todas juntas en una sola banda, por lo que la técnica de banda de paso no se aplica. En otras palabras, el espectro de frecuencia es disperso. Tradicionalmente, la frecuencia de muestreo necesaria es, por lo tanto,${\displaystyle 2B.}$Utilizando técnicas de detección comprimida, la señal podría reconstruirse perfectamente si se muestrea a una velocidad ligeramente inferior a${\displaystyle 2EB.}$Con este enfoque, la reconstrucción ya no viene dada por una fórmula, sino por la solución de un programa de optimización lineal .

Otro ejemplo donde el muestreo sub-Nyquist es óptimo surge bajo la restricción adicional de que las muestras se cuantizan de manera óptima, como en un sistema combinado de muestreo y compresión con pérdidas óptima . ^{[ 9 ]} Esta configuración es relevante en casos donde se debe considerar el efecto conjunto del muestreo y la cuantización , y puede proporcionar un límite inferior para el error de reconstrucción mínimo que se puede alcanzar al muestrear y cuantizar una señal aleatoria . Para señales aleatorias gaussianas estacionarias, este límite inferior generalmente se alcanza a una tasa de muestreo sub-Nyquist, lo que indica que el muestreo sub-Nyquist es óptimo para este modelo de señal bajo cuantización óptima . ^{[ 10 ]}

El teorema del muestreo fue implícito en el trabajo de Harry Nyquist en 1928, ^{[ 11 ]} en el que demostró que hasta${\displaystyle 2B}$Se podrían enviar muestras de pulsos independientes a través de un sistema de ancho de banda${\displaystyle B}$; pero no consideró explícitamente el problema del muestreo y la reconstrucción de señales continuas. Casi al mismo tiempo, Karl Küpfmüller mostró un resultado similar ^{[ 12 ]} y analizó la respuesta impulsional de la función sinc de un filtro limitador de banda, a través de su integral, la integral sinusoidal de respuesta escalón ; este filtro limitador de banda y de reconstrucción, tan fundamental para el teorema de muestreo, a veces se denomina filtro de Küpfmüller (aunque rara vez en inglés).

El teorema del muestreo, esencialmente un dual del resultado de Nyquist, fue demostrado por Claude E. Shannon . ^{[ 2 ]} Edmund Taylor Whittaker publicó resultados similares en 1915, ^{[ 13 ]} al igual que su hijo John Macnaghten Whittaker en 1935, ^{[ 14 ]} y Dennis Gabor en 1946 ("Teoría de la comunicación").

En 1948 y 1949, Claude E. Shannon publicó los dos artículos revolucionarios en los que fundó la teoría de la información . ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 2 ]} En " Una teoría matemática de la comunicación " de Shannon , el teorema de muestreo se formula como "Teorema 13": Sea${\displaystyle f(t)}$no contienen frecuencias superiores a W. Entonces

$${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}{\frac {\sin \pi (2Wt-n)}{\pi (2Wt-n)}},}$$ dónde${\displaystyle X_{n}=f\left({\frac {n}{2W}}\right).}$

No fue hasta la publicación de estos artículos que el teorema conocido como «teorema de muestreo de Shannon» se convirtió en conocimiento común entre los ingenieros de comunicaciones, aunque el propio Shannon escribe que se trata de un hecho de dominio público en el campo de la comunicación. ^{[ B ]} Sin embargo, unas líneas más adelante añade: «pero a pesar de su evidente importancia, [parece] no haber aparecido explícitamente en la literatura sobre teoría de la comunicación ». A pesar de que su teorema de muestreo se publicó a finales de la década de 1940, Shannon lo había derivado ya en 1940. ^{[ 17 ]}

• 44.100 Hz , una frecuencia habitual utilizada para muestrear frecuencias audibles, se basa en los límites de la audición humana y el teorema de muestreo.
• El teorema de Balian-Low es un límite inferior teórico similar para las tasas de muestreo, pero que se aplica a las transformaciones tiempo-frecuencia.
• El teorema de Cheung-Marks especifica las condiciones bajo las cuales la restauración de una señal mediante el teorema de muestreo puede volverse mal planteada.
• Teorema de Shannon-Hartley
• Criterio ISI de Nyquist
• Reconstrucción a partir de cruces por cero
• retención de orden cero
• Combo de Dirac

• Aprendizaje mediante simulaciones: Simulación interactiva de los efectos de un muestreo inadecuado.
• Presentación interactiva del muestreo y la reconstrucción en una demostración web. Instituto de Telecomunicaciones, Universidad de Stuttgart.
• Submuestreo y una aplicación del mismo.
• Teoría del muestreo para audio digital
• Revista dedicada a la teoría del muestreo.
• Huang, J.; Padmanabhan, K.; Collins, OM (junio de 2011). "El teorema de muestreo con pulsos de amplitud constante y ancho variable". IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers . 58 (6): 1178– 90. Bibcode : 2011ITCSR..58.1178H . doi : 10.1109/TCSI.2010.2094350 . S2CID 13590085 . 
• Lüke, Hans Dieter (abril de 1999). "Los orígenes del teorema de muestreo" (PDF) . Revista de comunicaciones IEEE . 37 (4): 106–108 . CiteSeerX 10.1.1.163.2887 . doi : 10.1109/35.755459 .