Conjunto coherente de caracteres

En la teoría de la representación matemática , la coherencia es una propiedad de los conjuntos de caracteres que permite extender una isometría desde el subespacio de grado cero de un espacio de caracteres a todo el espacio. La noción general de coherencia fue desarrollada por Feit ( 1960 , 1962 ) , como una generalización de la demostración de Frobenius sobre la existencia de un núcleo de Frobenius en un grupo de Frobenius y del trabajo de Brauer y Suzuki sobre caracteres excepcionales . Feit y Thompson (1963 , Capítulo 3) desarrollaron aún más la coherencia en la demostración del teorema de Feit-Thompson , que establece que todos los grupos de orden impar son resolubles. 

Supongamos que H es un subgrupo de un grupo finito G , y S un conjunto de caracteres irreducibles de H. Denotemos _por I ( S ) el conjunto de combinaciones lineales enteras de S , e I₀ ( S ) el subconjunto de elementos de grado 0 de I ( S ). Supongamos que τ es una isometría de I₀ ( S ) a los caracteres virtuales de grado 0 de G. Entonces _, τ se denomina coherente si puede extenderse a una isometría de I ( S ) a los caracteres de G y I₀ ( S ) es distinto de cero. Aunque _, estrictamente hablando, la coherencia es una propiedad de la isometría τ, es común decir que el conjunto S es coherente en lugar de decir que τ es coherente.

Feit demostró varios teoremas que establecen condiciones bajo las cuales un conjunto de caracteres es coherente. Un ejemplo típico es el siguiente. Supongamos que H es un subgrupo de un grupo G con normalizador N , tal que N es un grupo de Frobenius con núcleo H , y sea S el conjunto de caracteres irreducibles de N que no tienen H en su núcleo. Supongamos que τ es una isometría lineal de I ₀ ( S ) a los caracteres de grado 0 de G. Entonces τ es coherente a menos que

• o bien H es un grupo abeliano elemental y N / H actúa simplemente de forma transitiva sobre sus elementos distintos de la identidad (en cuyo caso I ₀ ( S ) es cero).
• o H es un p -grupo no abeliano para algún primo p cuya abelianización tiene orden como máximo 4| ​​N / H | ² +1.

En la demostración de la teoría de Frobenius sobre la existencia de un núcleo de un grupo de Frobenius G donde el subgrupo H es el subgrupo que fija un punto y S es el conjunto de todos los caracteres irreducibles de H , la isometría τ en I ₀ ( S ) es simplemente una inducción, aunque su extensión a I ( S ) no es una inducción.

De manera similar, en la teoría de los caracteres excepcionales, la isometría τ es nuevamente inducción.

En casos más complicados, la isometría τ ya no es inducción. Por ejemplo, en el teorema de Feit-Thompson, la isometría τ es la isometría de Dade .

• Feit, Walter (1960), "Sobre una clase de grupos de permutación doblemente transitivos" , Illinois Journal of Mathematics , 4 (2): 170– 186, doi : 10.1215/ijm/1255455862 , ISSN 0019-2082 , MR 0113953  
• Feit, Walter (1962), "Caracteres de grupo. Caracteres excepcionales" , en Hall, Marshall (ed.), 1960 Institute on Finite Groups: Celebrado en el Instituto Tecnológico de California, Pasadena, California, del 1 al 28 de agosto de 1960 , Proc. Sympos. Pure Math., vol.  VI, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 67–70 , ISBN  978-0-8218-1406-2, MR 0132779 {{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Feit, Walter (1967), Caracteres de grupos finitos , WA Benjamin, Inc., Nueva York-Ámsterdam, ISBN 9780805324341, MR 0219636 
• Feit, Walter ; Thompson, John G. (1963), "Solubilidad de grupos de orden impar" , Pacific Journal of Mathematics , 13 : 775–1029 , doi : 10.2140/pjm.1963.13.775 , ISSN 0030-8730 , MR 0166261