Carácter excepcional

En la teoría matemática de grupos finitos , un carácter excepcional de un grupo es un carácter relacionado de cierta manera con un carácter de un subgrupo. Fueron introducidos por Suzuki (1955, p. 663), basándose en ideas de Brauer en (Brauer & Nesbitt 1941).

Supóngase que H es un subgrupo de un grupo finito G , y C ₁ , ...,  C _r son algunas clases de conjugación de H , y φ ₁ , ..., φ _s son algunos caracteres irreducibles de H . Supóngase también que satisfacen las siguientes condiciones:

1. s  ≥ 2
2. φ _i = φ _j fuera de las clases C ₁ , ...,  C _r
3. φ _i se desvanece en cualquier elemento de H que sea conjugado en G pero no en H con un elemento de una de las clases C ₁ , ...,  C _r
4. Si los elementos de dos clases son conjugados en G entonces son conjugados en H
5. El centralizador en G de cualquier elemento de una de las clases C ₁ ,..., C _r está contenido en H

Entonces G tiene s caracteres irreducibles s ₁ ,..., s _s , llamados caracteres excepcionales , tales que los caracteres inducidos φ _i * están dados por

φ _yo * = ε s _yo  +  a ( s ₁  + ... +  s _s ) + Δ

donde ε es 1 o −1, a es un entero con a  ≥ 0, a  + ε ≥ 0 y Δ es un carácter de G que no contiene ningún carácter  s _i .

Las condiciones en H y C ₁ ,..., C _r implican que la inducción es una isometría desde caracteres generalizados de H con apoyo en C ₁ ,..., C _r hasta caracteres generalizados de G . En particular, si i ≠ j entonces (φ _i − φ _j )* tiene norma 2, por lo que también lo es la diferencia de dos caracteres de G , que son los caracteres excepcionales correspondientes a φ _i y φ _j .

• Isometría de Dade
• Conjunto coherente de caracteres

• Brauer, R. ; Nesbitt, C. (1941), "Sobre los caracteres modulares de los grupos", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 42 (2): 556–590, doi :10.2307/1968918, ISSN  0003-486X, JSTOR  1968918, MR  0004042
• Isaacs, I. Martin (1994), Teoría del carácter de grupos finitos , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-68014-9, Sr.  0460423
• Suzuki, Michio (1955), "Sobre grupos finitos con subgrupos de Sylow cíclicos para todos los primos impares", American Journal of Mathematics , 77 (4): 657–691, doi :10.2307/2372591, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372591, MR  0074411