Multicategoría

En matemáticas (especialmente en teoría de categorías ), una multicategoría es una generalización del concepto de categoría que permite morfismos de aridad múltiple . Si los morfismos en una categoría se consideran análogos a funciones , entonces los morfismos en una multicategoría son análogos a funciones de varias variables. Las multicategorías también se denominan a veces operadas u operadas coloreadas.

Una multicategoría (no simétrica) consta de

• una colección (a menudo una clase propia ) de objetos ;
• para cada secuencia finita${\displaystyle (X_{i})_{i\in [n]}}$de objetos (${\displaystyle [n]=\{0,1,2,...,n\}}$) y cada objeto Y , un conjunto de morfismos de${\displaystyle (X_{i})_{i\in n}}$a Y ; y
• para cada objeto X , un morfismo identidad especial (con n = 1) de X a X.

Además, existen operaciones de composición: Dada una secuencia de secuencias${\displaystyle ((X_{ij})_{i\in n_{j}})_{j\in m}}$de objetos, una secuencia${\displaystyle (Y_{j})_{j\in m}}$de objetos, y un objeto Z : si

• para cada${\displaystyle j\in m}$, f _j es un morfismo de${\displaystyle (X_{ij})_{i\in n_{j}}}$a Y _j ; y
• g es un morfismo de${\displaystyle (Y_{j})_{j\in m}}$a la Z :

entonces hay un morfismo compuesto${\displaystyle g(f_{j})_{j\in m}}$de${\displaystyle (X_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}}$a Z. Esto debe satisfacer ciertos axiomas:

• Si m = 1, Z = Y ₀ , y g es el morfismo identidad para Y ₀ , entonces g ( f ₀ ) = f ₀ ;
• si para cada${\displaystyle j\in m}$, n _j = 1,${\displaystyle X_{0j}=Y_{j}}$y f _j es el morfismo identidad para Y _j , entonces${\displaystyle g(f_{j})_{j\in m}=g}$; y
• una condición de asociatividad : si para cada${\displaystyle j\in m}$y${\displaystyle i\in n_{j}}$,${\displaystyle e_{ij}}$es un morfismo de${\displaystyle (W_{hij})_{h\in o_{ij}}}$a${\displaystyle X_{ij}}$, entonces${\displaystyle g\left(f_{j}(e_{ij})_{i\in n_{j}}\right)_{j\in m}=g(f_{j})_{j\in m}(e_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}}$son morfismos idénticos de${\displaystyle (W_{hij})_{h\in o_{ij},i\in n_{j},j\in m}}$a la Z.

Una co-multicategoría es un conjunto totalmente ordenado O de objetos, un conjunto A de multiflechas con dos funciones.

${\displaystyle \mathrm {head} :A\rightarrow O,}$

${\displaystyle \mathrm {ground} :A\rightarrow O^{\%},}$

donde O ^% es el conjunto de todas las secuencias ordenadas finitas de elementos de O. La imagen dual de una flecha múltiple f puede resumirse

${\displaystyle f:\mathrm {head} (f)\Leftarrow \mathrm {ground} (f).}$

Una comcategoría C también posee un multiproducto con el carácter habitual de una operación de composición. Se dice que C es asociativa si se cumple un axioma de multiproducto en relación con este operador.

Cualquier multicategoría, simétrica o no simétrica, junto con un ordenamiento total del conjunto de objetos, puede convertirse en una comcategoría equivalente.

Un multiorden es una comcategoría que satisface las siguientes condiciones.

• Existe como máximo una flecha múltiple con una cabeza y un suelo determinados.
• Cada objeto x tiene una multiflecha unitaria.
• Una flecha múltiple es una unidad si su suelo tiene una entrada.

Los multiórdenes son una generalización de los órdenes parciales (posets) y fueron introducidos por primera vez (de pasada) por Tom Leinster . ^{[ 1 ]}

Hay una multicategoría cuyos objetos son conjuntos (pequeños) , donde un morfismo de los conjuntos X ₁ , X ₂ , ..., y X _n al conjunto Y es una función n -aria, es decir , una función del producto cartesiano X ₁ × X ₂ × ... × X _n a Y.

Hay una multicategoría cuyos objetos son espacios vectoriales (sobre los números racionales , por ejemplo), donde un morfismo de los espacios vectoriales X ₁ , X ₂ , ..., y X _n al espacio vectorial Y es un operador multilineal , es decir, una transformación lineal del producto tensorial X ₁ ⊗ X ₂ ⊗ ... ⊗ X _n a Y.

De manera más general, dada cualquier categoría monoidal C , existe una multicategoría cuyos objetos son objetos de C , donde un morfismo de los objetos C X ₁ , X ₂ , ..., y X _n al objeto C Y es un C -morfismo del producto monoidal de X ₁ , X ₂ , ..., y X _n a Y.

Una operada es una multicategoría con un único objeto; salvo en casos degenerados, dicha multicategoría no proviene de una categoría monoidal.

Ejemplos de multiórdenes incluyen multiconjuntos con punto (secuencia A262671 en la OEIS ) , particiones enteras (secuencia A063834 en la OEIS ) y separaciones combinatorias (secuencia A269134 en la OEIS ) . Los triángulos (o composiciones) de cualquier multiorden son morfismos de una categoría (no necesariamente asociativa) de contracciones y una comcategoría de descomposiciones . La categoría de contracción para el multiorden de particiones multimin (secuencia A255397 en la OEIS ) es la categoría de multiconjuntos más simple conocida. ^{[ 2 ]}

A menudo se considera erróneamente que las multicategorías pertenecen a la teoría de categorías superiores , ya que su aplicación original fue la observación de que los operadores e identidades que satisfacen las categorías superiores son los objetos y multiflechas de una multicategoría. El estudio de las n -categorías, a su vez, fue motivado por aplicaciones en topología algebraica e intentos de describir la teoría de homotopía de variedades de dimensiones superiores .

La correspondencia entre contracciones y descomposiciones de triángulos en un multiorden permite construir un álgebra asociativa denominada álgebra de incidencia . Cualquier elemento distinto de cero en todas las flechas unitarias tiene un inverso composicional, y la función de Möbius de un multiorden se define como el inverso composicional de la función zeta (constante-uno) en su álgebra de incidencia.

Las multicategorías fueron introducidas por primera vez con ese nombre por Jim Lambek en "Sistemas deductivos y categorías II" (1969). ^{[ 3 ]} Menciona (p.  108) que le "dijeron que las multicategorías también habían sido estudiadas por [Jean] Benabou y [Pierre] Cartier ", y de hecho Leinster opina que "la idea podría haberle ocurrido a cualquiera que supiera qué eran una categoría y un mapa multilineal". ^{[ 1 ] : 63}

• categoría de pseudo-tensor

• Garner, Richard (2008). "Policategorías mediante leyes pseudodistributivas" . Advances in Mathematics . 218 (3): 781– 827. arXiv : math/0606735 . doi : 10.1016/j.aim.2008.02.001 . S2CID 17057235 .