Anillo conmutativo

Un anillo es un conjunto${\displaystyle R}$equipado con dos operaciones binarias , es decir, operaciones que combinan dos elementos cualesquiera del anillo para obtener un tercero. Se llaman suma y multiplicación y se denotan comúnmente por "${\displaystyle +}$" y "${\displaystyle \cdot }$"; p.ej${\displaystyle a+b}$y${\displaystyle a\cdot b}$Para formar un anillo, estas dos operaciones deben satisfacer una serie de propiedades: el anillo debe ser un grupo abeliano bajo la suma, así como un monoide bajo la multiplicación, donde la multiplicación se distribuye sobre la suma; es decir,${\displaystyle a\cdot \left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)}$Los elementos neutros para la suma y la multiplicación se denotan${\displaystyle 0}$y${\displaystyle 1}$, respectivamente.

Si la multiplicación es conmutativa, es decir $${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a,}$$ luego el anillo${\displaystyle R}$Se denomina conmutativo . En el resto de este artículo, todos los anillos serán conmutativos, a menos que se indique explícitamente lo contrario.

Un ejemplo importante, y en cierto sentido crucial, es el anillo de los números enteros.${\displaystyle \mathbb {Z} }$con las dos operaciones de suma y multiplicación. Como la multiplicación de enteros es una operación conmutativa, se trata de un anillo conmutativo. Generalmente se denota${\displaystyle \mathbb {Z} }$como abreviatura de la palabra alemana Zahlen (números).

Un cuerpo es un anillo conmutativo donde${\displaystyle 0\neq 1}$(0=1 solo en el anillo trivial ) y cada elemento distinto de cero${\displaystyle a}$es invertible; es decir, tiene un inverso multiplicativo${\displaystyle b}$de tal manera que${\displaystyle a\cdot b=1}$Por lo tanto, por definición, cualquier cuerpo es un anillo conmutativo. Los números racionales , reales y complejos forman cuerpos.

Si${\displaystyle R}$es un anillo conmutativo dado, entonces el conjunto de todos los polinomios en la variable${\displaystyle X}$cuyos coeficientes están en${\displaystyle R}$forma el anillo de polinomios , denotado${\displaystyle R\left[X\right]}$Lo mismo ocurre con varias variables.

Si${\displaystyle V}$es algún espacio topológico , por ejemplo un subconjunto de algún${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, funciones continuas de valor real o complejo en${\displaystyle V}$forman un anillo conmutativo. Lo mismo ocurre con las funciones diferenciables u holomorfas , cuando se definen ambos conceptos, como por ejemplo:${\displaystyle V}$una variedad compleja .

La localización de un anillo es un proceso en el que algunos elementos se vuelven invertibles, es decir, se añaden inversos multiplicativos al anillo. Concretamente, si${\displaystyle S}$es un subconjunto multiplicativamente cerrado de${\displaystyle R}$(es decir, siempre que${\displaystyle s,t\in S}$entonces también lo es${\displaystyle st}$) luego la localización de${\displaystyle R}$en${\displaystyle S}$, o anillo de fracciones con denominadores en${\displaystyle S}$, generalmente denotado${\displaystyle S^{-1}R}$consta de símbolos

${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$con${\displaystyle r\in R,s\in S}$

sujeto a ciertas reglas que imitan la cancelación familiar de los números racionales. De hecho, en este lenguaje${\displaystyle \mathbb {Q} }$es la localización de${\displaystyle \mathbb {Z} }$en todos los enteros distintos de cero. Esta construcción funciona para cualquier dominio de integridad.${\displaystyle R}$en lugar de${\displaystyle \mathbb {Z} }$La localización${\displaystyle \left(R\setminus \left\{0\right\}\right)^{-1}R}$es un campo, llamado campo cociente de${\displaystyle R}$.

Para un anillo${\displaystyle R}$, un${\displaystyle R}$- módulo${\displaystyle M}$es como lo que un espacio vectorial es a un campo. Es decir, los elementos de un módulo se pueden sumar; se pueden multiplicar por elementos de${\displaystyle R}$sujeto a los mismos axiomas que para un espacio vectorial.

El estudio de los módulos es significativamente más complejo que el de los espacios vectoriales , ya que existen módulos que no poseen base , es decir, no contienen un conjunto generador cuyos elementos sean linealmente independientes . Un módulo que posee base se denomina módulo libre , y un submódulo de un módulo libre no necesariamente tiene que ser libre.

Un módulo de tipo finito es un módulo que posee un conjunto generador finito. Los módulos de tipo finito desempeñan un papel fundamental en la teoría de los anillos conmutativos, similar al de los espacios vectoriales de dimensión finita en el álgebra lineal . En particular, los anillos noetherianos (véase también §  Anillos noetherianos , más adelante) se definen como aquellos anillos tales que cada submódulo de un módulo de tipo finito también es de tipo finito.

Ideales de un anillo${\displaystyle R}$son los submódulos de${\displaystyle R}$, es decir, los módulos contenidos en${\displaystyle R}$. En más detalle, un ideal${\displaystyle I}$es un subconjunto no vacío de${\displaystyle R}$de tal manera que para todos${\displaystyle r}$en${\displaystyle R}$,${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$en${\displaystyle I}$, ambos${\displaystyle ri}$y${\displaystyle i+j}$están en${\displaystyle I}$Para diversas aplicaciones, comprender los ideales de un anillo es de particular importancia, pero a menudo se procede estudiando módulos en general.

Cualquier anillo tiene dos ideales, a saber, el ideal cero.${\displaystyle \left\{0\right\}}$y${\displaystyle R}$, todo el anillo. Estos dos ideales son los únicos precisamente si${\displaystyle R}$es un campo. Dado cualquier subconjunto${\displaystyle F=\left\{f_{j}\right\}_{j\in J}}$de${\displaystyle R}$(dónde${\displaystyle J}$es algún conjunto de índices), el ideal generado por${\displaystyle F}$es el ideal más pequeño que contiene${\displaystyle F}$. De forma equivalente, se obtiene mediante combinaciones lineales finitas.$${\displaystyle r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\dots +r_{n}f_{n}.}$$

Un anillo se llama Noetheriano (en honor a Emmy Noether , quien desarrolló este concepto) si cada cadena ascendente de ideales$${\displaystyle 0\subseteq I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \dots \subseteq I_{n}\subseteq I_{n+1}\dots }$$ se vuelve estacionario, es decir, se vuelve constante más allá de cierto índice.${\displaystyle n}$De forma equivalente, cualquier ideal está generado por un número finito de elementos, o, aún más equivalente, los submódulos de módulos finitamente generados están finitamente generados.

Ser noetheriano es una condición de finitud muy importante, y la condición se conserva bajo muchas operaciones que ocurren con frecuencia en geometría. Por ejemplo, si${\displaystyle R}$Si es noetheriano, entonces también lo es el anillo polinomial.${\displaystyle R\left[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right]}$(por el teorema de la base de Hilbert ), cualquier localización${\displaystyle S^{-1}R}$y también cualquier anillo de factor${\displaystyle R/I}$.

Cualquier anillo no noetheriano${\displaystyle R}$es la unión de sus subanillos noetherianos. Este hecho, conocido como aproximación noetheriana , permite extender ciertos teoremas a anillos no noetherianos.

Un anillo se llama artiniano (en honor a Emil Artin ), si cada cadena descendente de ideales $${\displaystyle R\supseteq I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq \dots \supseteq I_{n}\supseteq I_{n+1}\dots }$$ se vuelve estacionario eventualmente. A pesar de que las dos condiciones parecen simétricas, los anillos noetherianos son mucho más generales que los anillos artinianos. Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {Z} }$es noetheriano, puesto que todo ideal puede ser generado por un elemento, pero no es artiniano, ya que la cadena $${\displaystyle \mathbb {Z} \supsetneq 2\mathbb {Z} \supsetneq 4\mathbb {Z} \supsetneq 8\mathbb {Z} \dots }$$ De hecho, según el teorema de Hopkins-Levitzki , todo anillo artiniano es noetheriano. Más precisamente, los anillos artinianos pueden caracterizarse como los anillos noetherianos cuya dimensión de Krull es cero.

Como se mencionó anteriormente,${\displaystyle \mathbb {Z} }$es un dominio de factorización único . Esto no es cierto para anillos más generales, como se dieron cuenta los algebristas en el siglo XIX. Por ejemplo, en $${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$$ Hay dos maneras genuinamente distintas de escribir 6 como producto: $${\displaystyle 6=2\cdot 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right).}$$ Los ideales primos, a diferencia de los elementos primos, proporcionan una forma de sortear este problema. Un ideal primo es un ideal propio (es decir, estrictamente contenido en${\displaystyle R}$) ideal${\displaystyle p}$de tal manera que, siempre que el producto${\displaystyle ab}$de cualesquiera dos elementos de anillo${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$está en${\displaystyle p,}$al menos uno de los dos elementos ya está en${\displaystyle p.}$(La conclusión opuesta se aplica a cualquier ideal, por definición). Por lo tanto, si un ideal primo es principal, es equivalentemente generado por un elemento primo. Sin embargo, en anillos como${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right],}$Los ideales primos no tienen por qué ser principales. Esto limita el uso de elementos primos en la teoría de anillos. Sin embargo, una piedra angular de la teoría algebraica de números es el hecho de que en cualquier anillo de Dedekind (que incluye${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$y más generalmente el anillo de enteros en un cuerpo numérico ) cualquier ideal (como el generado por 6) se descompone de forma única como un producto de ideales primos.

Cualquier ideal maximal es un ideal primo o, más brevemente, es primo. Además, un ideal${\displaystyle I}$es primo si y solo si el anillo de factores${\displaystyle R/I}$es un dominio integral. Demostrar que un ideal es primo, o equivalentemente que un anillo no tiene divisores de cero, puede ser muy difícil. Otra forma de expresar lo mismo es decir que el complemento${\displaystyle R\setminus p}$es multiplicativamente cerrado. La localización${\displaystyle \left(R\setminus p\right)^{-1}R}$es lo suficientemente importante como para tener su propia notación:${\displaystyle R_{p}}$. Este anillo tiene un único ideal máximo, a saber:${\displaystyle pR_{p}}$Estos anillos se denominan locales .

El espectro de un anillo${\displaystyle R}$, ^{[ a ]} ​​denotado por${\displaystyle {\text{Spec}}\ R}$, es el conjunto de todos los ideales primordiales de${\displaystyle R}$Está equipada con una topología, la topología de Zariski , que refleja las propiedades algebraicas de${\displaystyle R}$: una base de subconjuntos abiertos viene dada por $${\displaystyle D\left(f\right)=\left\{p\in {\text{Spec}}\ R,f\not \in p\right\},}$$dónde${\displaystyle f}$es cualquier elemento de anillo. Interpretación${\displaystyle f}$Como función que toma el valor f mod p (es decir, la imagen de f en el campo residual R / p ), este subconjunto es el lugar geométrico donde f es distinto de cero. El espectro también precisa la intuición de que los anillos de localización y de factores son complementarios: las aplicaciones naturales R → R _f y R → R / fR corresponden, después de dotar a los espectros de los anillos en cuestión con su topología de Zariski, a inmersiones abiertas y cerradas complementarias respectivamente. Incluso para anillos básicos, como el ilustrado para R = Z a la derecha, la topología de Zariski es bastante diferente de la del conjunto de los números reales.

El espectro contiene el conjunto de ideales maximales, que ocasionalmente se denota como mSpec ( R ). Para un cuerpo algebraicamente cerrado k , mSpec (k[ T ₁ , ..., T _n ] / ( f ₁ , ..., f _m )) está en biyección con el conjunto

Así, los ideales maximales reflejan las propiedades geométricas de los conjuntos de soluciones de polinomios, lo cual constituye una motivación inicial para el estudio de los anillos conmutativos. Sin embargo, la consideración de los ideales no maximales como parte de las propiedades geométricas de un anillo resulta útil por varias razones. Por ejemplo, los ideales primos mínimos (es decir, aquellos que no contienen estrictamente ideales menores) corresponden a las componentes irreducibles de Spec R. Para un anillo noetheriano R , Spec R tiene solo un número finito de componentes irreducibles. Esta es una reformulación geométrica de la descomposición primaria , según la cual cualquier ideal puede descomponerse como un producto de un número finito de ideales primarios . Este hecho representa la generalización última de la descomposición en ideales primos en anillos de Dedekind.

La noción de espectro es la base común del álgebra conmutativa y la geometría algebraica . La geometría algebraica procede dotando a Spec R de un haz .${\displaystyle {\mathcal {O}}}$(una entidad que recopila funciones definidas localmente, es decir, en subconjuntos abiertos variables). El dato del espacio y el haz se denomina esquema afín . Dado un esquema afín, el anillo subyacente R puede recuperarse como las secciones globales de${\displaystyle {\mathcal {O}}}$Además, esta correspondencia biunívoca entre anillos y esquemas afines también es compatible con los homomorfismos de anillos: cualquier f : R → S da lugar a una aplicación continua en la dirección opuesta.

La equivalencia resultante de dichas dos categorías refleja adecuadamente las propiedades algebraicas de los anillos de manera geométrica.

De forma similar a como las variedades están dadas localmente por subconjuntos abiertos de R ⁿ , los esquemas afines son modelos locales para esquemas que son objeto de estudio en geometría algebraica. Por lo tanto, varias nociones sobre anillos conmutativos provienen de la intuición geométrica.

La dimensión de Krull (o dimensión) dim R de un anillo R mide el "tamaño" de un anillo, aproximadamente, contando los elementos independientes en R. La dimensión de las álgebras sobre un cuerpo k puede axiomatizarse mediante cuatro propiedades:

• La dimensión es una propiedad local: dim R = sup _{p ∊ Spec R} dim R _p .
• La dimensión es independiente de los elementos nilpotentes: si I ⊆ R es nilpotente, entonces dim R = dim R / I.
• La dimensión permanece constante bajo una extensión finita: si S es un R -álgebra que es finitamente generada como un R -módulo, entonces dim S = dim R .
• La dimensión se calibra mediante dim k [ X ₁ , ..., X _n ] = n . Este axioma está motivado por considerar el anillo de polinomios en n variables como un análogo algebraico del espacio n -dimensional .

La dimensión se define, para cualquier anillo R , como el supremo de longitudes n de cadenas de ideales primos.

Por ejemplo, un cuerpo es cero-dimensional, ya que el único ideal primo es el ideal cero. Los enteros son unidimensionales, puesto que las cadenas son de la forma (0) ⊊ ( p ), donde p es un número primo . Para anillos no noetherianos, y también anillos no locales, la dimensión puede ser infinita, pero los anillos locales noetherianos tienen dimensión finita. Entre los cuatro axiomas anteriores, los dos primeros son consecuencias elementales de la definición, mientras que los dos restantes dependen de hechos importantes en álgebra conmutativa , el teorema de ascenso y el teorema del ideal principal de Krull .

Un álgebra R, S, se denomina finitamente generada (como álgebra) si existen un número finito de elementos s ₁ , ..., s _n tales que cualquier elemento de s puede expresarse como un polinomio en los s _i . De forma equivalente, S es isomorfa a

Una condición mucho más fuerte es que S sea finitamente generado como un R -módulo , lo que significa que cualquier s puede expresarse como una combinación R -lineal de algún conjunto finito s ₁ , ..., s _n .

El espacio vectorial k m / m ² es una encarnación algebraica del espacio cotangente . De manera informal, los elementos de m pueden pensarse como funciones que se anulan en el punto p , mientras que m ² contiene las que se anulan con orden al menos 2. Para cualquier anillo local noetheriano R , la desigualdad

se cumple, reflejando la idea de que el espacio cotangente (o equivalentemente el espacio tangente) tiene al menos la dimensión del espacio Spec R. Si la igualdad se cumple en esta estimación, R se denomina anillo local regular . Un anillo local noetheriano es regular si y solo si el anillo (que es el anillo de funciones en el cono tangente ) $${\displaystyle \bigoplus _{n}m^{n}/m^{n+1}}$$ es isomorfo a un anillo de polinomios sobre k . En términos generales, los anillos locales regulares son algo similares a los anillos de polinomios. ^{[ 1 ]} Los anillos locales regulares son UFD. ^{[ 2 ]}

Los anillos de valuación discreta poseen una función que asigna un número entero a cualquier elemento r . Este número, denominado valuación de r, puede considerarse informalmente como un orden cero o polo de r . Los anillos de valuación discreta son precisamente los anillos locales regulares unidimensionales. Por ejemplo, el anillo de gérmenes de funciones holomorfas sobre una superficie de Riemann es un anillo de valuación discreta.

Según el teorema del ideal principal de Krull , un resultado fundamental en la teoría de la dimensión de los anillos , la dimensión de

es al menos r − n . Un anillo R se denomina anillo de intersección completa si puede representarse de forma que alcance esta cota mínima. Esta noción también se estudia principalmente para anillos locales. Cualquier anillo local regular es un anillo de intersección completa, pero no a la inversa.

Un anillo R es una intersección completa en teoría de conjuntos si el anillo reducido asociado a R , es decir, el que se obtiene al dividir por todos los elementos nilpotentes, es una intersección completa. Hasta 2017, se desconoce en general si las curvas en el espacio tridimensional son intersecciones completas en teoría de conjuntos. ^{[ 3 ]}

La profundidad de un anillo local R es el número de elementos en alguna (o, como se puede demostrar, cualquier) secuencia regular máxima, es decir, una secuencia a ₁ , ..., a _n ∈ m tal que todos los a _i son divisores no nulos en

Para cualquier anillo noetheriano local, la desigualdad

Se cumple. Un anillo local en el que se cumple la igualdad se denomina anillo de Cohen-Macaulay . Los anillos locales de intersección completa, y por consiguiente los anillos locales regulares, son de Cohen-Macaulay, pero no a la inversa. Los anillos de Cohen-Macaulay combinan propiedades deseables de los anillos regulares (como la propiedad de ser anillos universalmente catenarios , lo que significa que la (co)dimensión de los números primos se comporta adecuadamente), pero también son más robustos al tomar cocientes que los anillos locales regulares. ^{[ 4 ]}

Si I es un ideal en un anillo conmutativo R , las potencias de I forman entornos topológicos de 0 que permiten ver R como un anillo topológico . Esta topología se llama topología I -ádica . R puede entonces completarse con respecto a esta topología. Formalmente, la completación I -ádica es el límite inverso de los anillos R / I ⁿ . Por ejemplo, si k es un cuerpo, k [[ X ]] , el anillo formal de series de potencias en una variable sobre k , es la completación I -ádica de k [ X ] donde I es el ideal principal generado por X. Este anillo sirve como un análogo algebraico del disco. Análogamente, el anillo de enteros p -ádicos es la completación de Z con respecto al ideal principal ( p ). Cualquier anillo que sea isomorfo a su propia completación, se llama completo .

Los anillos locales completos satisfacen el lema de Hensel , que en términos generales permite extender soluciones (de varios problemas) sobre el campo residual k a R.

Los módulos proyectivos pueden definirse como los sumandos directos de módulos libres. Si R es local, cualquier módulo proyectivo finitamente generado es en realidad libre, lo que da contenido a una analogía entre módulos proyectivos y haces vectoriales . ^{[ 5 ]} El teorema de Quillen-Suslin afirma que cualquier módulo proyectivo finitamente generado sobre k [ T ₁ , ..., T _n ] ( k un cuerpo) es libre, pero en general estos dos conceptos difieren. Un anillo noetheriano local es regular si y solo si su dimensión global es finita, digamos n , lo que significa que cualquier R -módulo finitamente generado tiene una resolución por módulos proyectivos de longitud como máximo n .

La demostración de esta y otras afirmaciones relacionadas se basa en el uso de métodos homológicos, como el functor Ext . Este functor es el functor derivado del functor.

El último functor es exacto si M es proyectivo, pero no en caso contrario: para una aplicación sobreyectiva E → F de R -módulos, una aplicación M → F no tiene por qué extenderse a una aplicación M → E. Los functores Ext superiores miden la no exactitud del functor Hom. La importancia de esta construcción estándar en los tallos del álgebra homológica se puede ver en el hecho de que un anillo noetheriano local R con cuerpo residual k es regular si y solo si

se desvanece para todo n suficientemente grande . Además, las dimensiones de estos grupos Ext, conocidos como números de Betti , crecen polinómicamente en n si y solo si R es un anillo de intersección completa local . ^{[ 6 ]} Un argumento clave en tales consideraciones es el complejo de Koszul , que proporciona una resolución libre explícita del campo residual k de un anillo local R en términos de una secuencia regular.

El producto tensorial es otro functor no exacto relevante en el contexto de los anillos conmutativos: para un R -módulo general M , el functor

es solo exacto por la derecha. Si es exacto, M se llama plano . Si R es local, cualquier módulo plano finitamente presentado es libre de rango finito, por lo tanto proyectivo. A pesar de estar definido en términos de álgebra homológica, la planitud tiene profundas implicaciones geométricas. Por ejemplo, si un álgebra R S es plana, las dimensiones de las fibras

(para ideales primos p en R ) tienen la dimensión "esperada", es decir dim S − dim R + dim( R / p ) .

Un anillo graduado R = ⨁ _{i ∊ Z} R _i se llama graduado-conmutativo si, para todos los elementos homogéneos a y b ,

Si los R _i están conectados por diferenciales ∂ tales que se cumple una forma abstracta de la regla del producto , es decir,

R se denomina álgebra diferencial graduada conmutativa (cdga). Un ejemplo es el complejo de formas diferenciales en una variedad , cuya multiplicación viene dada por el producto exterior , que es un cdga. La cohomología de un cdga es un anillo graduado-conmutativo, a veces denominado anillo de cohomología . De esta forma surge una amplia gama de ejemplos de anillos graduados. Por ejemplo, el anillo de Lazard es el anillo de clases de cobordismo de variedades complejas.

Un anillo graduado-conmutativo con respecto a una graduación por Z /2 (en contraposición a Z ) se llama superálgebra .

Una noción relacionada es un anillo casi conmutativo , lo que significa que R se filtra de tal manera que el anillo graduado asociado

es conmutativo. Un ejemplo es el álgebra de Weyl y anillos más generales de operadores diferenciales .

Un anillo conmutativo simplicial es un objeto simplicial en la categoría de anillos conmutativos. Son bloques de construcción para la geometría algebraica derivada (conectiva) . Una noción estrechamente relacionada, pero más general, es la de anillo E _∞ .