Operador compacto en el espacio de Hilbert

Si (${\displaystyle m(T)=0}$, entonces${\displaystyle T=0}$por la identidad de polarización , y este caso es claro. Consideremos la función $${\displaystyle {\begin{cases}f:H\to \mathbf {R} \\f(x)=\langle Tx,x\rangle \end{cases}}}$$

Reemplazar${\displaystyle T}$por${\displaystyle -T}$Si es necesario, se puede asumir que el supremo de${\displaystyle f}$en la bola de unidad cerrada${\displaystyle B\subset H}$es igual a${\displaystyle m(T)>0}$.

Por el teorema de Banach-Alaoglu y la reflexividad de${\displaystyle H}$, la unidad cerrada bola${\displaystyle B}$es débilmente compacto. Además, la compacidad de${\displaystyle T}$significa (ver arriba) que${\displaystyle T}$visto como un operador de${\displaystyle H}$con la topología débil a${\displaystyle H}$con la topología de norma es continua . Estos dos hechos implican que${\displaystyle f}$es continuo en${\displaystyle B}$equipado con la topología débil, y${\displaystyle f}$ por lo tanto alcanza su máximo${\displaystyle m}$en${\displaystyle B}$en algún momento${\displaystyle y\in B}$.

Ahora demostramos que${\displaystyle Ty=m(T)y}$Esto es equivalente a

${\displaystyle \forall z\in H,\mathrm {Re} (\langle Ty-m(T)y,z\rangle =0}$

Ahora bien, dado que y es el máximo de f, también es el máximo del cociente de Rayleigh : $${\displaystyle g(x)={\frac {\langle Tx,x\rangle }{\|x\|^{2}}},\qquad 0\neq x\in H.}$$ Por lo tanto, la función$${\displaystyle {\begin{cases}h:\mathbf {R} \to \mathbf {R} \\h(t)=g(y+tz)\end{cases}}}$$ alcanza su máximo en 0, y por lo tanto h ′(0) = 0 . Un cálculo ahora muestra que $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(0)&={\frac {1}{\|y\|^{2}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\langle y+tz,y+tz\rangle }}\right)(0)\\&=\operatorname {Re} (\langle Ty-m(Y)y,z\rangle )\end{aligned}}}$$

Nota. La compacidad de${\displaystyle T}$es crucial. En general,${\displaystyle f}$No es necesario que sea continuo para la topología débil en la bola unitaria.${\displaystyle B}$. Por ejemplo, dejemos${\displaystyle T}$ser el operador de identidad, que no es compacto cuando${\displaystyle H}$es de dimensión infinita. Tomemos cualquier secuencia ortonormal${\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. Entonces${\displaystyle y_{n}}$converge débilmente a 0, pero${\displaystyle \lim f(y_{n})=1\neq 0=f(0)}$.

Dejar${\displaystyle T}$ser un operador compacto en un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$Una secuencia ortonormal finita (posiblemente vacía) o infinitamente numerable${\displaystyle (e_{n})}$de autovectores de${\displaystyle T}$, con sus correspondientes autovalores no nulos, se construye por inducción de la siguiente manera. Sea${\displaystyle H_{0}=H}$y${\displaystyle T_{0}=T}$. Si${\displaystyle m(T_{0})=0}$, entonces${\displaystyle T=0}$y la construcción se detiene sin producir ningún vector propio.${\displaystyle e_{n}}$. Supongamos que los autovectores ortonormales${\displaystyle e_{0},\dots,e_{n-1}}$de${\displaystyle T}$Se han encontrado. Entonces${\displaystyle E_{n}:=\mathrm {Span} (e_{0},\dots,e_{n-1})}$es invariante bajo${\displaystyle T}$y por autoadjuntividad, el complemento ortogonal${\displaystyle H_{n}}$es un subespacio invariante de${\displaystyle T}$. Dejar${\displaystyle T_{n}}$denotan la restricción de${\displaystyle T}$a${\displaystyle H_{n}}$. Si${\displaystyle m(T_{n})=0}$, entonces${\displaystyle T_{n}=0}$y la construcción se detiene. De lo contrario, aplicando a${\displaystyle T_{n}}$la propiedad de existencia de un vector propio, hay un vector propio de norma uno${\displaystyle e_{n}}$de${\displaystyle T}$en${\displaystyle H_{n}}$, con autovalor no nulo correspondiente${\displaystyle \lambda _{n}=m(T_{n})}$.

Dejar${\displaystyle F=\mathrm {Span} ((e_{n})_{n})^{\perp }}$, dónde${\displaystyle (e_{n})_{n}}$es la secuencia finita o infinita construida por el proceso inductivo; por autoadjuntividad,${\displaystyle F}$es invariante bajo${\displaystyle T}$. Dejar${\displaystyle S}$denotan la restricción de${\displaystyle T}$a${\displaystyle F}$. Si el proceso se detuvo después de un número finito de pasos, con el último vector${\displaystyle e_{m-1}}$, entonces${\displaystyle F=H_{m}}$y${\displaystyle S=T_{m}=0}$por construcción. En el caso infinito, la compacidad de${\displaystyle T}$y la convergencia débil de${\displaystyle e_{n}}$a 0 implica que${\displaystyle Te_ {n} = \ lambda _ {n} e_ {n} \ a 0}$, por lo tanto${\displaystyle \lambda _{n}\to 0}$. Desde${\displaystyle F}$está contenido en${\displaystyle H_{n}}$por cada${\displaystyle n}$De ello se deduce que${\displaystyle m(S)\leq m(T_{n})=\vert \lambda _{n}\vert }$por cada${\displaystyle n}$, por eso${\displaystyle m(S)=0}$Esto implica nuevamente que${\displaystyle S=0}$.

El hecho de que S = 0 significa que F está contenido en el núcleo de${\displaystyle T}$. Por el contrario, si x ∈ ker(${\displaystyle T}$) entonces por autoadjuntividad, x es ortogonal a cada vector propio { e _n } con valor propio distinto de cero. De ello se deduce que F = ker(${\displaystyle T}$) , y que { e _n } es una base ortonormal para el complemento ortogonal del núcleo de${\displaystyle T}$. Se puede completar la diagonalización de${\displaystyle T}$seleccionando una base ortonormal del núcleo. Esto demuestra el teorema espectral.

Una demostración más corta pero más abstracta es la siguiente: por el lema de Zorn , seleccione${\displaystyle U}$ser un subconjunto máximo de${\displaystyle H}$con las siguientes tres propiedades: todos los elementos de${\displaystyle U}$son autovectores de${\displaystyle T}$, tienen norma uno, y cualesquiera dos elementos distintos de${\displaystyle U}$son ortogonales. Sea${\displaystyle F}$sea ​​el complemento ortogonal del espacio lineal de${\displaystyle U}$. Si${\displaystyle F\neq \{0\}}$, es un subespacio invariante no trivial de${\displaystyle T}$y, por la propiedad de existencia de un vector propio, existe un vector propio de norma uno.${\displaystyle y}$de${\displaystyle T}$en${\displaystyle F}$Pero entonces...${\displaystyle U\cup \{y\}}$contradice la máxima de${\displaystyle U}$De ello se deduce que${\displaystyle F=\{0\}}$, por lo tanto, el intervalo lineal de${\displaystyle U}$es denso en${\displaystyle H}$Esto demuestra que${\displaystyle U}$es una base ortonormal de${\displaystyle H}$que consiste en vectores propios de${\displaystyle T}$.

Caso I: todos los operadores tienen cada uno exactamente un valor propio en${\displaystyle S}$Toma cualquiera${\displaystyle s\in S}$de longitud unitaria. Es un vector propio común.

Caso II: hay algún operador${\displaystyle T\in {\mathcal {F}}}$con al menos 2 valores propios en${\displaystyle S}$y dejar${\displaystyle 0\neq \alpha \in \sigma (T\upharpoonright S)}$. Desde${\displaystyle T}$es compacto y α es distinto de cero, tenemos${\displaystyle S':=\ker(T\upharpoonright S-\alpha )}$es un conjunto no nulo de dimensión finita (y por lo tanto cerrado)${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-subespacio invariante (porque todos los operadores conmutan con${\displaystyle T}$, tenemos para${\displaystyle T'\in {\mathcal {F}}}$y${\displaystyle x\in \ker(T\upharpoonright S-\alpha )}$, eso${\displaystyle (T-\alpha )(T'x)=(T'(T~x)-\alpha T'x)=0}$). En particular, dado que α es solo uno de los valores propios de${\displaystyle T}$en${\displaystyle S}$, definitivamente tenemos${\displaystyle \dim S'<\dim S}$. Por lo tanto, en principio podríamos argumentar por inducción sobre la dimensión, obteniendo que${\displaystyle S'\subseteq S}$tiene un vector propio común para${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

El siguiente conjunto $${\displaystyle \mathbf {P} =\{A\subseteq H:A{\text{ is an orthonormal set of common eigenvectors for }}{\mathcal {F}}\},}$$ está parcialmente ordenado por inclusión. Esto claramente tiene la propiedad de Zorn. Entonces, tomando${\displaystyle Q}$un miembro máximo, si${\displaystyle Q}$es la base de todo el espacio de Hilbert${\displaystyle H}$, hemos terminado. Si este no fuera el caso, entonces dejar${\displaystyle S=\langle Q\rangle ^{\bot }}$, es fácil ver que esto sería un${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-subespacio cerrado no trivial invariante; y por lo tanto, según el lema anterior, allí se encontraría un vector propio común para los operadores (necesariamente ortogonal a${\displaystyle Q}$). Pero entonces habría una extensión adecuada de${\displaystyle Q}$dentro${\displaystyle \mathbf {P} }$; una contradicción a su maximalidad.

Arreglar${\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {F}}}$inyectivo compacto. Entonces tenemos, por la teoría espectral de operadores simétricos compactos en espacios de Hilbert: $${\displaystyle H={\overline {\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T_{0})}\ker(T_{0}-\sigma )}},}$$ dónde${\displaystyle \sigma (T_{0})}$es un subconjunto discreto y numerable de números reales positivos, y todos los espacios propios son de dimensión finita. Dado que${\displaystyle {\mathcal {F}}}$un conjunto conmutativo, tenemos que todos los autoespacios son invariantes. Dado que los operadores restringidos a los autoespacios (que son de dimensión finita) son automáticamente todos compactos, podemos aplicar el Teorema 1 a cada uno de ellos y encontrar bases ortonormales Q _σ para el${\displaystyle \ker(T_{0}-\sigma )}$. Desde${\displaystyle T}$₀ es simétrico, tenemos que $${\displaystyle Q:=\bigcup _{\sigma \in \sigma (T_{0})}Q_{\sigma }}$$es un conjunto ortonormal ( contable ). También es, por la descomposición que enunciamos al principio, una base para H.

Caso I: todos los operadores tienen exactamente un valor propio. Entonces cualquier base para${\displaystyle H}$servirá.

Caso II: Solución${\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {F}}}$un operador con al menos dos autovalores, y sea${\displaystyle P\in \operatorname {Hom} (H,H)^{\times }}$de modo que${\displaystyle P^{-1}T_{0}P}$es un operador simétrico. Ahora sea α un valor propio de${\displaystyle P^{-1}T_{0}P}$Entonces es fácil ver que ambos: $${\displaystyle \ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right),\quad \ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right)^{\bot }}$$ no son triviales${\displaystyle P^{-1}{\mathcal {F}}P}$subespacios invariantes. Por inducción sobre la dimensión tenemos que existen bases linealmente independientes Q ₁ , Q ₂ para los subespacios, que demuestran que los operadores en${\displaystyle P^{-1}{\mathcal {F}}P}$pueden ser diagonalizables simultáneamente en los subespacios. Claramente entonces${\displaystyle P(Q_{1}\cup Q_{2})}$demuestra que los operadores en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$puede diagonalizarse simultáneamente.