Curva algebraica completa

En geometría algebraica, una curva algebraica completa es una curva algebraica que es completa como variedad algebraica.

Una curva proyectiva , una variedad proyectiva de dimensión uno , es una curva completa. Una curva completa (sobre un cuerpo algebraicamente cerrado ) es proyectiva. ^{[ 1 ]} Debido a esto, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, los términos «curva proyectiva» y «curva completa» se suelen usar indistintamente. Sobre un esquema base más general, la distinción sigue siendo importante.

Una curva en $\mathbb {P} ^{3}$ se denomina curva espacial (algebraica) , mientras que una curva en $\mathbb {P} ^{2}$ se denomina curva plana. Mediante una proyección desde un punto , cualquier curva proyectiva suave puede incrustarse en $\mathbb {P} ^{3}$ ; ^{[ 2 ]} por lo tanto, salvo una proyección, toda curva (suave) es una curva espacial. Salvo un morfismo birracional, toda curva (suave) puede incrustarse en $\mathbb {P} ^{2}$ como una curva nodal . ^{[ 3 ]}

El teorema de existencia de Riemann afirma que la categoría de superficies de Riemann compactas es equivalente a la de curvas proyectivas suaves sobre los números complejos.

A lo largo del artículo, una curva se refiere a una curva completa (pero no necesariamente suave).

Curva completa abstracta

Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. Por cuerpo de funciones K sobre k , entendemos una extensión de cuerpo finitamente generada de k que típicamente no es algebraica (es decir, una extensión trascendental). El cuerpo de funciones de una variedad algebraica es un ejemplo básico. Para un cuerpo de funciones de grado de trascendencia uno, se cumple lo contrario mediante la siguiente construcción. ^{[ 4 ]} Sea $C_{K}$ denotamos el conjunto de todos los anillos de valuación discreta de $K/k$ . Colocamos la topología en $C_{K}$ de modo que los subconjuntos cerrados sean subconjuntos finitos o el espacio completo. Luego lo convertimos en un espacio localmente anillado tomando ${\mathcal {O}}(U)$ ser la intersección $\cap _{R\in U}R$ . Entonces el $C_{K}$ Para varios cuerpos de funciones K de grado de trascendencia uno, se forma una categoría que es equivalente a la categoría de curvas proyectivas suaves. ^{[ 5 ]}

Una consecuencia de la construcción anterior es que una curva suave completa es proyectiva (ya que una curva suave completa de C corresponde a $C_{K},K=k(C)$ (que corresponde a una curva suave proyectiva.)

Finalización suave de una curva afín

Dejar $C_{0}=V(f)\subset \mathbb {A} ^{2}$ Sea una curva afín suave dada por un polinomio f en dos variables. El cierre ${\overline {C_{0}}}$ en $\mathbb {P} ^{2}$ , su finalización proyectiva puede o no ser suave. La normalización C de ${\overline {C_{0}}}$ es suave y contiene $C_{0}$ como un subconjunto denso abierto. Entonces la curva $C$ se llama la finalización suave de $C_{0}$ . ^{[ 6 ]} (Observe la finalización sin problemas de $C_{0}$ es única salvo isomorfismo, ya que dos curvas suaves son isomorfas si son birracionales entre sí.

Por ejemplo, si $f=y^{2}-x^{3}+1$ , entonces ${\overline {C_{0}}}$ es dado por $y^{2}z=x^{3}-z^{3}$ , que es suave (mediante un cálculo jacobiano). Por otro lado, consideremos $f=y^{2}-x^{6}+1$ . Luego, mediante un cálculo jacobiano, ${\overline {C_{0}}}$ no es suave. De hecho, $C_{0}$ es una curva hiperelíptica (afín) y una curva hiperelíptica no es una curva plana (ya que una curva hiperelíptica nunca es una intersección completa en un espacio proyectivo).

Sobre los números complejos, C es una superficie de Riemann compacta que clásicamente se denomina superficie de Riemann asociada a la función algebraica. $y(x)$ cuando $f(x,y(x))\equiv 0$ . ^{[ 6 ]} Por el contrario, cada superficie de Riemann compacta tiene esa forma; esto se conoce como el teorema de existencia de Riemann .

Un mapa de una curva a un espacio proyectivo

Dar una aplicación racional de una curva (proyectiva) C a un espacio proyectivo es dar un sistema lineal de divisores V en C , salvo la parte fija del sistema? (necesita aclaración); es decir, cuando B es el lugar base (los conjuntos de ceros comunes de las secciones no nulas en V ), se cumple que:

f:CB\to \mathbb {P} (V^{*})

que mapea cada punto $P$ en $CB$ al hiperplano $\{s\in V|s(P)=0\}$ . Por el contrario, dada una aplicación racional f de C a un espacio proyectivo,

En particular, se puede tomar el sistema lineal como el sistema lineal canónico. $|K|=\mathbb {P} (\Gamma (C,\omega _{C}))$ y el mapa correspondiente se denomina mapa canónico.

Dejar $g$ Sea C el género de una curva suave . $g=0$ , entonces $|K|$ está vacío mientras que si $g=1$ , entonces $|K|=0$ . Si $g\geq 2$ , entonces el sistema lineal canónico $|K|$ se puede demostrar que no tiene punto base y por lo tanto determina el morfismo $f:C\to \mathbb {P} ^{g-1}$ . Si el grado de f o equivalentemente el grado del sistema lineal es 2, entonces C se llama curva hiperelíptica .

El teorema de Max Noether ^{[ 7 ]} implica que una curva no hiperelíptica es proyectivamente normal cuando se incrusta en un espacio proyectivo mediante el divisor canónico.

Clasificación de curvas algebraicas suaves en $\mathbb {P} ^{3}$

La clasificación de una curva proyectiva suave comienza con la especificación de un género. Para el género cero, solo hay uno: la línea proyectiva $\mathbb {P} ^{1}$ (salvo isomorfismo). Una curva de género uno es precisamente una curva elíptica , y las clases de isomorfismo de curvas elípticas se especifican mediante un j-invariante (que es un elemento del cuerpo base). La clasificación de las curvas de género dos es mucho más complicada; aquí se presenta un resultado parcial sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica distinta de dos: ^{[ 8 ]}

Cada curva de género dos X viene con el mapa. $f:X\to \mathbb {P} ^{1}$ determinado por el divisor canónico ; llamado mapa canónico. El mapa canónico tiene exactamente 6 puntos ramificados de índice 2.
Por el contrario, dados 6 puntos distintos $a_{1},\dots ,a_{6}$ , dejar $K$ ser la extensión de campo de $k(x)$ , x una variable, dada por la ecuación $y^{2}=(x-a_{1})\cdots (x-a_{6})$ y $f:X\to \mathbb {P} ^{1}$ el mapa correspondiente a la extensión. Entonces $X$ es una curva de género dos y $f$ Se ramifica precisamente en esos seis puntos.

Para género $\geq 3$ , se utiliza la siguiente terminología: ^[⁹^]

Dada una curva suave C , un divisor D en ella y un subespacio vectorial $V\subconjunto H^{0}(C,{\mathcal {O}}(D))$ , se dice que el sistema lineal $\mathbb {P} (V)$ es ag ^r_d si V tiene dimensión r +1 y D tiene grado d . Se dice que C tiene ag ^r_d si existe tal sistema lineal.

Grupo fundamental

Sea X una curva algebraica completa y suave. Entonces, el grupo fundamental étale de X se define como:

\pi _{1}(X)=\varprojlim _{L/K}\operatorname {Gal} (L/K)

dónde $K$ es el campo de función de X y $L/K$ es una extensión de Galois . ^{[ 10 ]}

curvas específicas

Curva canónica

Si X es una curva no hiperelíptica de género $\geq 3$ , entonces el sistema lineal $|K|$ La función asociada al divisor canónico es muy amplia; es decir, proporciona una incrustación en el espacio proyectivo. La imagen de esa incrustación se denomina entonces curva canónica . ^{[ 11 ]}

Curva estable

Para género $g\geq 2$ Una curva estable es una curva nodal conectada con un grupo de automorfismos finito.

Curva espectral

Paquetes vectoriales en una curva

Paquetes de líneas y gráficos duales

Sea X una curva posiblemente singular sobre números complejos. Entonces

0\to \mathbb {C} ^{*}\to (\mathbb {C} ^{*})^{r}\to \Gamma (X,{\mathcal {F}})\to \operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Pic} ({\widetilde {X}})\to 0.

donde r es el número de componentes irreducibles de X , ${\displaystyle \pi$ es la normalización y ${\mathcal {F}}=\pi _{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}}/{\mathcal {O}}_{X}$ . (Para obtener esto, utilice el hecho $\operatorname {Pic} (X)=\operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})$ y $\operatorname {Pic} ({\widetilde {X}})=\operatorname {H} ^{1}({\widetilde {X}},{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}}^{*})=\operatorname {H} ^{1}(X,\pi _{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}}^{*}).$ )

Tomando la secuencia exacta larga de la secuencia de haces exponenciales se obtiene el mapa de grados:

{\displaystyle \deg

Por definición, la variedad jacobiana J ( X ) de X es la componente identidad del núcleo de esta aplicación. Entonces, la secuencia exacta anterior da como resultado:

0\to \mathbb {C} ^{*}\to (\mathbb {C} ^{*})^{r}\to \Gamma ({\widetilde {X}},{\mathcal {F}})\to J(X)\to J({\widetilde {X}})\to 0.

A continuación definimos la gráfica dual de X ; un complejo CW unidimensional definido de la siguiente manera (relacionado con si una curva es de tipo compacto o no).

El jacobiano de una curva

Sea C una curva suave y conexa. Dado un entero d , sea $\operatorname {Pic} ^{d}C$ denotamos el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados de líneas en C de grado d . Se puede demostrar que tiene una estructura de variedad algebraica.

Para cada entero d > 0, sea $C^{d},C_{d}$ denotan respectivamente el producto cartesiano y simétrico d -ésimo de C ; por definición, $C_{d}$ es el cociente de $C^{d}$ mediante el grupo simétrico que permuta los factores.

Fijar un punto de referencia $p_{0}$ de C. Luego está el mapa

u:C_{d}\to J(C).

Paquetes estables sobre una curva

El jacobiano de una curva se puede generalizar a haces vectoriales de rango superior; una noción clave introducida por Mumford que permite la construcción de módulos es la de estabilidad.

Sea C una curva suave conexa. Se dice que un fibrado vectorial de rango 2 E sobre C es estable si para cada subfibrado lineal L de E ,

\operatorname {deg} L<{1 \over 2}\operatorname {deg} E

.

Dado un fibrado de líneas L sobre C , sea $SU_{C}(2,L)$ denotamos el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados estables de rango 2 E sobre C cuyos determinantes son isomorfos a L.

Generalización: $\operatorname {Bun} _{G}(C)$

El comportamiento osculador de una curva

Secuencia de desaparición

Dada una serie lineal V sobre una curva X , su imagen bajo $\operatorname {ord} _{p}$ es un conjunto finito y siguiendo la tradición lo escribimos como

a_{0}(V,p)<a_{1}(V,p)<\cdots <a_{r}(V,p).

Esta secuencia se llama secuencia evanescente. Por ejemplo, $a_{0}(V,p)$ es la multiplicidad de un punto base p . Pensamos en valores más altos. $a_{i}(V,p)$ como información codificada sobre la inflexión del mapa de Kodaira $\varphi _{V}$ La secuencia de ramificación es entonces

b_{i}(V,p)=a_{i}(V,p)-i.

Su suma se denomina índice de ramificación de p . La ramificación global viene dada por la siguiente fórmula:

Fórmula de Plücker —

\sum _{p\in X}\sum _{0}^{r}b_{i}(V,p)=(r+1)(d+r(g-1)).

Conjunto de partes principales

Uniformización

Una curva elíptica X sobre los números complejos tiene una uniformización $\mathbb {C} \to X$ dado tomando el cociente por una red.

Curva relativa

Una curva relativa o una curva sobre un esquema S o una curva relativa es un morfismo plano de esquemas $X\to S$ de tal manera que cada fibra geométrica es una curva algebraica ; en otras palabras, es una familia de curvas parametrizadas por el esquema base S.

Véase también el teorema de reducción semiestable .

La uniformización de Mumford-Tate

Esto generaliza la construcción clásica debida a Tate (cf. curva de Tate ) ^{[ 12 ]} Dada una curva proyectiva suave de género al menos dos y tiene una degeneración dividida. ^{[ 13 ]}

Véase también

Notas

↑ Hartshorne 1977 , Cap. III, Ejercicio 5.8.
↑ Hartshorne 1977 , Cap. IV, Corolario 3.6.
↑ Hartshorne 1977 , Cap. IV, Teorema 3.10.
↑ Hartshorne 1977 , Cap. I, § 6.
↑ Hartshorne 1977 , Cap. I, § 6. Corolario 6.12.
1 2 Arbarello et al. 1985 , Cap. I, Ejercicio A.
↑ Gagliardi, Edson Martins; Martins, Renato Vidal (18 de febrero de 2022). "Teorema de Max Noether para curvas singulares" . arXiv.org . Consultado el 7 de febrero de 2026 .
↑ Hartshorne 1977 , Cap. IV, Ejercicio 2.2.
↑ Hartshorne 1977 , Cap. V, Observación 5.5.1
↑ Hartshorne 1977 , Cap. IV, Ejercicio 4.8.
↑ Hartshorne 1977 , Cap. IV, § 5.
^ Gerritzen, L.; Van Der Put, M. (14 de noviembre de 2006). Grupos Schottky y curvas de Mumford . Saltador. ISBN 9783540383048.
↑ Mumford 1972

Referencias

Arbarello, E .; Cornalba, M .; Griffiths, Pensilvania ; Harris, J. (1985). Geometría de curvas algebraicas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 267. vol. I. Nueva York: Springer-Verlag. Señor0770932.
E. Arbarello, M. Cornalba y PA Griffiths, Geometría de curvas algebraicas. vol. II, con una contribución de Joseph Daniel Harris, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 268, Springer, Heidelberg, 2011. Señor-2807457
Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
Mukai, S. (2002). Introducción a los invariantes y módulos . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 81. ISBN 978-0-521-80906-1.
Mumford, David (1972). "Una construcción analítica de curvas degeneradas sobre anillos locales completos" (PDF) . Compositio Mathematica . 24 (2): 129– 174.
McMcallum, W.; Poonen, B. (2012). "El método de Chabauty y Coleman". Panoramas y síntesis . 32 : 99-117 .
Shimura, Gorō (21 de agosto de 1971). Introducción a la teoría aritmética de las funciones automórficas . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08092-5.
Voight, John; Zureick-Brown, David (16 de marzo de 2022). "El anillo canónico de una curva apilada". arXiv : 1501.04657 [ math.AG ].
Geometría algebraica: Un primer curso . Springer. 11 de noviembre de 2013. ISBN 978-1-4757-2189-8.

Lecturas adicionales

Griffiths, Phillip; Harris, Joe (1994). Principios de geometría algebraica . Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-05059-9. Zbl 0836.14001 .
Narasimhan, Raghavan (1992). "La superficie de Riemann de una función algebraica". Superficies compactas de Riemann . págs. 15–16 . doi : 10.1007/978-3-0348-8617-8_4 . ISBN 978-3-7643-2742-2.
"Superficies de Riemann §4.2.3 La superficie de Riemann de una función algebraica" (PDF) .

[1] Hartshorne 1977 , Cap. III, Ejercicio 5.8.

[2] Hartshorne 1977 , Cap. IV, Corolario 3.6.

[3] Hartshorne 1977 , Cap. IV, Teorema 3.10.

[4] Hartshorne 1977 , Cap. I, § 6.

[5] Hartshorne 1977 , Cap. I, § 6. Corolario 6.12.

[smooth_completion-6] 1 2 Arbarello et al. 1985 , Cap. I, Ejercicio A.

[7] Gagliardi, Edson Martins; Martins, Renato Vidal (18 de febrero de 2022). "Teorema de Max Noether para curvas singulares" . arXiv.org . Consultado el 7 de febrero de 2026 .

[8] Hartshorne 1977 , Cap. IV, Ejercicio 2.2.

[9] Hartshorne 1977 , Cap. V, Observación 5.5.1

[10] Hartshorne 1977 , Cap. IV, Ejercicio 4.8.

[11] Hartshorne 1977 , Cap. IV, § 5.

[12] Gerritzen, L.; Van Der Put, M. (14 de noviembre de 2006). Grupos Schottky y curvas de Mumford . Saltador. ISBN 9783540383048.

[13] Mumford 1972

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