Ángulo

Un símbolo de ángulo (${\displaystyle \angle }$o${\displaystyle {\widehat {\quad }}}$El término "ángulo" (que se lee como "angle") junto con uno o tres puntos definitorios se utiliza para identificar ángulos en figuras geométricas. Por ejemplo, el ángulo con vértice A formado por los rayos.${\displaystyle {\vec {\text{AB}}}}$y${\displaystyle {\vec {\text{AC}}}}$se denota como${\displaystyle \angle {\text{A}}}$(usando solo el vértice) o${\displaystyle \angle {\text{BAC}}}$(con el vértice siempre nombrado en el medio). El tamaño o medida del ángulo se denota${\displaystyle m\angle {\text{A}}}$o${\displaystyle m\angle {\text{BAC}}}$.

En figuras geométricas y expresiones matemáticas , también es común usar letras griegas ( α , β , γ , θ , φ ,  ...) o letras romanas minúsculas ( a , b , c , ...) como variables para representar el tamaño de un ángulo. ^{[ 12 ]} La medida angular suele ser una magnitud escalar , ^{[ 13 ]} aunque en física y algunos campos de las matemáticas, los ángulos con signo se usan por convención para indicar una dirección de rotación: positivo para el sentido antihorario; negativo para el sentido horario. ^{[ 14 ]}   

Los ángulos se miden en varias unidades, siendo las más comunes el grado (denotado por el símbolo ° ), el radián (denotado por el símbolo rad ) y el giro . Estas unidades difieren en la forma en que dividen un ángulo completo , un ángulo en el que un rayo, inicialmente congruente con el otro, realiza una rotación completa alrededor del vértice para regresar a su posición inicial . ^{[ 15 ]}

Los grados y las vueltas se definen directamente con referencia a un ángulo completo, que mide 1 vuelta o 360°. ^{[ 16 ]} Una medida en vueltas da el tamaño de un ángulo como una proporción de un ángulo completo y un grado puede considerarse como una subdivisión de una vuelta. Los radianes no se definen directamente en relación con un ángulo completo (véase §  Medición de ángulos ), sino de tal manera que su medida es 2 π  rad, aproximadamente 6,28  rad. ^{[ 17 ]}

Históricamente, la unidad de medida de grados se elegía de tal manera que al ángulo recto o a la mitad del ángulo completo se le atribuía el valor de 180.

El postulado de adición de ángulos establece que si D es un punto que se encuentra en el interior de${\displaystyle \angle {\text{BAC}}}$entonces: ^{[ 18 ]}$${\displaystyle m\angle {\text{BAC}}=m\angle {\text{BAD}}+m\angle {\text{DAC}}.}$$Esta relación define lo que significa sumar dos ángulos cualesquiera: sus vértices se colocan juntos compartiendo un lado para crear un nuevo ángulo mayor. La medida del nuevo ángulo mayor es la suma de las medidas de los dos ángulos. La resta se obtiene reordenando la fórmula. ^{[ 18 ]}

• Un ángulo igual a 0° o que no está girado se llama ángulo cero . ^{[ 19 ]}
• Un ángulo menor que un ángulo recto (menor de 90°) se llama ángulo agudo . ^{[ 20 ]}
• Un ángulo igual a 1/4 de vuelta ( 90 ° o π / 2 radianes ) se llama ángulo recto . Dos líneas que forman un ángulo recto se denominan normales , ortogonales o perpendiculares . ^{[ 21 ]}  
• Un ángulo mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano (entre 90° y 180°) se llama ángulo obtuso ^{[ 20 ]} ("obtuso" significa "romo").
• Un ángulo igual a 1/2 vuelta ( 180 ° o π rad ) se llama ángulo llano . ^{[ 19 ]}  
• Un ángulo mayor que un ángulo llano pero menor que 1  vuelta (entre 180° y 360°) se denomina ángulo reflejo .
• Un ángulo igual a 1 vuelta (360° o 2 π  rad) se llama ángulo completo , ángulo completo , ángulo redondo o perígono .
• Un ángulo que no es múltiplo de un ángulo recto se llama ángulo oblicuo .

Los ángulos adyacentes (abreviados como ∠s ) son ángulos que comparten un vértice y una arista comunes, pero no comparten ningún punto interior. En otras palabras, son ángulos contiguos o adyacentes que comparten un lado.

Los ángulos opuestos por el vértice se forman cuando dos líneas rectas se intersecan en un punto, produciendo cuatro ángulos. Un par de ángulos opuestos entre sí se denominan ángulos opuestos por el vértice , ángulos opuestos o ángulos opuestos por el vértice (abreviado ∠s vert. opp. ), ^{[ 22 ]} donde "vertical" se refiere a que comparten un vértice, en lugar de una orientación vertical. Un teorema establece que los ángulos opuestos por el vértice son siempre congruentes o iguales entre sí. ^{[ 23 ]} Una transversal es una línea que interseca un par de líneas (a menudo paralelas) y se asocia con ángulos exteriores , ángulos interiores , ángulos alternos externos , ángulos alternos internos , ángulos correspondientes y ángulos consecutivos internos . ^{[ 24 ]}

Al sumar dos ángulos (ya sean adyacentes o separados en el espacio), existen tres casos especiales denominados ángulos complementarios , suplementarios y suplementarios .

Los ángulos complementarios son pares de ángulos cuyas medidas suman un ángulo recto ( 1/4 de vuelta , 90° o π / 2 radianes ). Si dos ángulos complementarios son adyacentes, sus lados no compartidos forman un ángulo recto. En un triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos son complementarios , ya que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. La diferencia entre un ángulo y un ángulo recto se denomina complemento del ángulo. ^{[ 6 ]}

Los ángulos suplementarios suman un ángulo llano ( 1/2 vuelta , 180 ° o π radianes). Si dos ángulos suplementarios son adyacentes , sus lados no compartidos forman un ángulo llano o una línea recta y se denominan par lineal de ángulos . ^{[ 25 ]} La diferencia entre un ángulo y un ángulo llano se denomina suplemento del ángulo. ^{[ 26 ]}

Los ángulos complementarios o conjugados suman un ángulo completo (1 vuelta, 360° o 2π radianes ). ^{[ 27 ]} La ​​diferencia entre un ángulo y un ángulo completo se denomina complemento o conjugado del ángulo. ^{[ 28 ] [ 29 ]}

Ejemplos de ángulos suplementarios no adyacentes incluyen los ángulos consecutivos de un paralelogramo y los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico . Para un círculo con centro O, y rectas tangentes desde un punto exterior P que tocan el círculo en los puntos T y Q, los ángulos resultantes ∠TPQ y ∠TOQ son suplementarios.

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  Los ángulos ay bson ángulos complementarios
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  Los ángulos ay bson ángulos suplementarios
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  Los ángulos AOBy CODson ángulos complementarios o conjugados.

• Un ángulo que forma parte de un polígono simple se denomina ángulo interior si se encuentra en el interior de dicho polígono. Un polígono cóncavo simple tiene al menos un ángulo interior, es decir, un ángulo reflejo.
  En geometría euclidiana , las medidas de los ángulos interiores de un triángulo suman π radianes, 180° o 1/2 vuelta ; las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo simple suman 2π radianes, 360° o 1 vuelta. En general, las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo simple con n lados suman ( n - 2 ) π radianes, o ( n - 2)180 grados , ( n - 2 ) 2 ángulos rectos o ( n - 2 ) 1/2 vuelta .           
• El suplemento de un ángulo interior se llama ángulo exterior ; es decir, un ángulo interior y un ángulo exterior forman un par lineal de ángulos . Hay dos ángulos exteriores en cada vértice del polígono, cada uno determinado al extender uno de los dos lados del polígono que se encuentran en el vértice; estos dos ángulos son opuestos por el vértice y, por lo tanto, son iguales. Un ángulo exterior mide la cantidad de rotación que se debe realizar en un vértice para trazar el polígono. ^{[ 30 ]} Si el ángulo interior correspondiente es un ángulo reflejo, el ángulo exterior debe considerarse negativo . Incluso en un polígono no simple, puede ser posible definir el ángulo exterior. Aun así, habrá que elegir una orientación del plano (o superficie ) para decidir el signo de la medida del ángulo exterior.
  En geometría euclidiana, la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo simple, si solo se considera uno de los dos ángulos exteriores en cada vértice, equivale a una vuelta completa (360°). Este ángulo exterior se denomina ángulo exterior suplementario . Los ángulos exteriores se utilizan comúnmente en programas de Logo Turtle para dibujar polígonos regulares.
• En un triángulo , las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz del otro ángulo interior son concurrentes (se intersecan en un solo punto). ^{[ 31 ] : 149}
• En un triángulo, tres puntos de intersección, cada uno de ellos bisectriz de un ángulo externo con el lado opuesto extendido , son colineales . ^{[ 31 ] : 149}
• En un triángulo, tres puntos de intersección, dos entre la bisectriz de un ángulo interior y el lado opuesto, y el tercero entre la bisectriz del otro ángulo exterior y la prolongación del lado opuesto, son colineales. ^{[ 31 ] : 149}
• Algunos autores usan el nombre ángulo exterior de un polígono simple para referirse al ángulo exterior complementario (¡ no suplementario!) del ángulo interior. ^{[ 32 ]} Esto entra en conflicto con el uso anterior.

• El ángulo entre dos planos (como dos caras adyacentes de un poliedro ) se llama ángulo diedro . ^{[ 6 ]} Se puede definir como el ángulo agudo entre dos líneas normales a los planos.
• El ángulo entre un plano y una línea recta que lo interseca es complementario al ángulo entre la línea que lo interseca y la normal al plano.

Un ángulo de referencia elegido (ángulo recto, ángulo llano o ángulo completo) se puede dividir en partes iguales, y el tamaño de una de ellas se puede utilizar como unidad de medida para otros ángulos.

En el método más común de medición angular práctica, un ángulo recto se divide en 90 partes iguales llamadas grados , mientras que en el sistema centesimal , menos utilizado , un ángulo recto se divide en 100 partes iguales llamadas grados . ^{[ 37 ] [ 38 ]}

En la medición circular, se coloca un ángulo dentro de un círculo de cualquier tamaño, con el vértice en el centro del círculo y los lados intersectando el perímetro.

Se forma un arco de longitud s como perímetro entre los dos puntos de intersección, el cual se dice que subtiende el ángulo. La longitud s se puede usar para medir el ángulo θ ; sin embargo, como s depende del tamaño del círculo elegido, la medida debe escalarse. Esto se puede hacer calculando la razón entre s y el radio r o la circunferencia C del círculo.

La razón entre la longitud s y el radio r es el número de radianes en el ángulo, ^{[ 35 ]} mientras que la razón entre la longitud s y la circunferencia C es el número de vueltas : $${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\,\mathrm {rad} ={\frac {s}{C}}\,\mathrm {turn} ={\frac {s}{2\pi r}}\,\mathrm {turn} }$$

El valor de θ así definido es independiente del tamaño del círculo: si se cambia la longitud del radio, tanto la circunferencia como la longitud del arco cambian en la misma proporción, por lo que las razones ⁠ s / r ⁠ y ⁠ s / C ⁠ no se alteran. ^{[ nb 1 ]}

La razón ⁠ s / r ⁠ se denomina «medida en radianes» ^{[ 18 ]} o «medida circular» ^{[ 39 ] [ 38 ] [ 40 ]} de un ángulo, pero también se utiliza para definir una unidad de medida llamada radián, que se define como un ángulo para el cual la razón ⁠ s / r ⁠ = 1. ^{[ 39 ]} Por lo tanto, la medida de un ángulo dada por ⁠ s / r ⁠ puede pensarse de dos maneras: primero como una medida en términos de las propias proporciones del ángulo (razón de la longitud del arco al radio), o segundo como la cantidad de unidades en el ángulo (razón de la longitud del arco del ángulo medido a la longitud del arco del ángulo unitario). ^{[ 41 ] [ 38 ]}

La siguiente tabla enumera algunas unidades importantes utilizadas para representar ángulos.

En matemáticas y en el Sistema Internacional de Cantidades , un ángulo se define como una magnitud adimensional, ^{[ 42 ]} y en particular, el radián se define como adimensional en el Sistema Internacional de Unidades . ^{[ 43 ]} Esta convención impide que los ángulos proporcionen información para el análisis dimensional . Por ejemplo, cuando se mide un ángulo en radianes dividiendo la longitud del arco por el radio, se está dividiendo esencialmente una longitud por otra, y las unidades de longitud se cancelan entre sí. Por lo tanto, el resultado —el ángulo— no tiene una "dimensión" física como los metros o los segundos. ^{[ 44 ]} Esto se cumple con todas las unidades de ángulo, como radianes, grados o vueltas: todas representan un número puro que cuantifica cuánto ha girado algo. ^{[ 45 ]} Por eso, en muchas ecuaciones, las unidades de ángulo parecen "desaparecer" durante los cálculos, lo que resulta inconsistente y puede llevar a confundir las unidades de ángulo. ^{[ 46 ] [ 47 ]}

Esto ha generado un debate significativo entre científicos y educadores. Algunos científicos han sugerido tratar el ángulo como si tuviera su propia dimensión fundamental, similar a la longitud o el tiempo. ^{[ 48 ]} Esto implicaría que las unidades angulares, como los radianes, estarían siempre presentes explícitamente en los cálculos, facilitando el análisis dimensional. Sin embargo, este enfoque también requeriría modificar muchas fórmulas matemáticas y físicas bien conocidas, haciéndolas más largas y quizás un poco menos familiares. ^{[ 49 ]} Por ahora, la práctica establecida es escribir unidades angulares cuando sea apropiado, pero considerarlas adimensionales, entendiendo que estas unidades son importantes, pero se comportan de manera diferente a los metros o kilogramos. ^{[ 50 ]}

Un ángulo denotado como ∠BAC podría referirse a cualquiera de cuatro ángulos: el ángulo en sentido horario de B a C alrededor de A, el ángulo en sentido antihorario de B a C alrededor de A, el ángulo en sentido horario de C a B alrededor de A o el ángulo en sentido antihorario de C a B alrededor de A. Por lo tanto, suele ser útil imponer una convención que permita que los valores angulares positivos y negativos representen orientaciones y/o rotaciones en direcciones opuestas o "sentido" relativo a alguna referencia.

En un sistema de coordenadas cartesianas bidimensional , un ángulo se define típicamente por sus dos lados, con su vértice en el origen. El lado inicial está en el eje x positivo , mientras que el otro lado o lado terminal se define por la medida desde el lado inicial en radianes, grados o vueltas, donde los ángulos positivos representan rotaciones hacia el eje y positivo y los ángulos negativos representan rotaciones hacia el eje y negativo . Cuando las coordenadas cartesianas se representan mediante la posición estándar , definida por el eje x hacia la derecha y el eje y hacia arriba, las rotaciones positivas son en sentido antihorario y los ciclos negativos son en sentido horario .

En muchos contextos, un ángulo de −θ es prácticamente equivalente a un ángulo de "una vuelta completa menos θ ". Por ejemplo, una orientación representada como −45° es prácticamente igual a una orientación definida como 360° − 45° o 315°. Si bien la posición final es la misma, una rotación física (movimiento) de −45° no es lo mismo que una rotación de 315° (por ejemplo, la rotación de una persona que sostiene una escoba sobre un suelo polvoriento dejaría marcas visualmente diferentes de las zonas barridas en el suelo).

En geometría tridimensional, "en el sentido de las agujas del reloj" y "en sentido contrario a las agujas del reloj" no tienen un significado absoluto, por lo que la dirección de los ángulos positivos y negativos debe definirse en términos de una orientación , que normalmente se determina mediante un vector normal que pasa por el vértice del ángulo y es perpendicular al plano en el que se encuentran los rayos del ángulo.

En navegación , los rumbos o acimuts se miden con respecto al norte. Por convención, vistos desde arriba, los ángulos de rumbo son positivos en el sentido de las agujas del reloj, por lo que un rumbo de 45° corresponde a una orientación noreste. Los rumbos negativos no se utilizan en navegación, por lo que una orientación noroeste corresponde a un rumbo de 315°.

• Se dice que los ángulos que tienen la misma medida (es decir, la misma magnitud) son iguales o congruentes . Un ángulo se define por su medida y no depende de la longitud de sus lados (por ejemplo, todos los ángulos rectos tienen la misma medida).
• Dos ángulos que comparten lados terminales, pero que difieren en tamaño en un múltiplo entero de un giro, se denominan ángulos coterminales .
• El ángulo de referencia (a veces llamado ángulo relacionado ) para cualquier ángulo θ en posición estándar es el ángulo agudo positivo entre el lado terminal de θ y el eje x (positivo o negativo). [ ^{51 ] Procedimentalmente} , la magnitud del ángulo de referencia para un ángulo dado puede determinarse tomando la magnitud del ángulo módulo 1/2 vuelta , 180°, o π radianes, luego deteniéndose si el ángulo es agudo, de lo contrario tomando el ángulo suplementario, 180° menos la magnitud reducida. Por ejemplo, un ángulo de 30 grados ya es un ángulo de referencia, y un ángulo de 150 grados también tiene un ángulo de referencia de 30 grados ( 180° − 150° ). Los ángulos de 210° y 510° también corresponden a un ángulo de referencia de 30 grados ( 210° mod 180° = 30° , 510° mod 180° = 150° cuyo ángulo suplementario es de 30°).

Para una unidad angular, es definicional que se cumpla el postulado de adición de ángulos ; sin embargo, algunas medidas o cantidades relacionadas con ángulos se utilizan y no satisfacen este postulado:

• La pendiente o gradiente es igual a la tangente del ángulo y suele expresarse como un porcentaje («elevación» sobre «recorrido»). Para valores muy pequeños (inferiores al 5 %), la pendiente de una línea es aproximadamente la medida en radianes de su ángulo con la horizontal. El grado de elevación es una pendiente que se utiliza para indicar la inclinación de carreteras, caminos y vías férreas.
• En geometría racional, la distancia entre dos líneas se define como el cuadrado del seno del ángulo entre ellas. Dado que el seno de un ángulo y el seno de su ángulo suplementario son iguales, cualquier ángulo de rotación que transforme una de las líneas en la otra produce el mismo valor para la distancia entre ellas.
• Aunque se hace con poca frecuencia, se pueden reportar los resultados directos de funciones trigonométricas , como el seno del ángulo.

Para definir ángulos en un espacio abstracto de producto interno real , reemplazamos el producto escalar euclidiano ( · ) por el producto interno.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$, es decir $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

En un espacio de producto interno complejo , la expresión para el coseno anterior puede dar valores no reales, por lo que se reemplaza por $${\displaystyle \operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$ o, más comúnmente, utilizando el valor absoluto, con $${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

Esta última definición ignora la dirección de los vectores. Por lo tanto, describe el ángulo entre subespacios unidimensionales.${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$y${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$abarcado por los vectores${\displaystyle \mathbf {u} }$y${\displaystyle \mathbf {v} }$correspondientemente.

La definición del ángulo entre subespacios unidimensionales${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$y${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$dado por $${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|}$$ en un espacio de Hilbert se puede extender a subespacios de un número finito de dimensiones. Dados dos subespacios${\displaystyle {\mathcal {U}}}$,${\displaystyle {\mathcal {W}}}$con${\displaystyle \dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l}$, esto lleva a una definición de${\displaystyle k}$ángulos denominados ángulos canónicos o principales entre subespacios.

En geometría riemanniana , el tensor métrico se utiliza para definir el ángulo entre dos tangentes . Donde U y V son vectores tangentes y g _ij son las componentes del tensor métrico G , $${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}$$

Un ángulo hiperbólico es un argumento de una función hiperbólica, al igual que el ángulo circular es el argumento de una función circular . La comparación puede visualizarse como el tamaño de las aberturas de un sector hiperbólico y un sector circular , ya que las áreas de estos sectores corresponden a las magnitudes angulares en cada caso. ^{[ 53 ]} A diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico no tiene límites. Cuando las funciones circulares e hiperbólicas se consideran series infinitas en su argumento angular, las circulares son simplemente series alternadas de las funciones hiperbólicas. Esta comparación de las dos series correspondientes a funciones de ángulos fue descrita por Leonhard Euler en Introducción al análisis del infinito (1748).

La igualdad de ángulos opuestos por el vértice se denomina teorema del ángulo opuesto por el vértice . Eudemo de Rodas atribuyó la demostración a Tales de Mileto . ^{[ 58 ] [ 23 ]} La proposición demostró que, dado que ambos ángulos opuestos por el vértice son suplementarios a ambos ángulos adyacentes, los ángulos opuestos por el vértice son iguales en medida. Según una nota histórica, ^{[ 23 ]} cuando Tales visitó Egipto, observó que siempre que los egipcios trazaban dos líneas que se intersecaban, medían los ángulos opuestos por el vértice para asegurarse de que fueran iguales. Tales concluyó que se podía demostrar que todos los ángulos opuestos por el vértice son iguales si se aceptaban algunas nociones generales como:

• Todos los ángulos rectos son iguales.
• Dos iguales sumados a dos iguales dan como resultado dos iguales.
• Dos iguales restados de otros iguales dan como resultado dos iguales.

Cuando dos ángulos adyacentes forman una línea recta, son suplementarios. Por lo tanto, si suponemos que la medida del ángulo A es igual a x , la medida del ángulo C sería 180° − x . De manera similar, la medida del ángulo D sería 180° − x . Tanto el ángulo C como el ángulo D tienen medidas iguales a 180° − x y son congruentes. Dado que el ángulo B es suplementario a los ángulos C y D , cualquiera de estas medidas angulares puede usarse para determinar la medida del ángulo B. Usando la medida del ángulo C o del ángulo D , encontramos que la medida del ángulo B es 180° − (180° − x ) = x . Por lo tanto, tanto el ángulo A como el ángulo B tienen medidas iguales a x y son iguales en medida.