Variedad completa

En matemáticas , en particular en geometría algebraica , una variedad algebraica completa es una variedad algebraica $X$ , tal que para cualquier variedad $Y$ el morfismo de proyección

X\times Y\to Y

es una aplicación cerrada (es decir, aplica conjuntos cerrados sobre conjuntos cerrados). ^{[ a ]} Esto puede verse como un análogo de la compacidad en geometría algebraica: un espacio topológico $X$ es compacto si y solo si la aplicación de proyección anterior es cerrada con respecto a productos topológicos.

La imagen de una variedad completa es cerrada y es una variedad completa. Una subvariedad cerrada de una variedad completa es completa.

Una variedad compleja es completa si y solo si es compacta como variedad analítica compleja . ^{[ 1 ]}

El ejemplo más común de una variedad completa es una variedad proyectiva , pero existen variedades completas no proyectivas en dimensiones 2 y superiores. Si bien cualquier superficie completa no singular es proyectiva, ^{[ 2 ]} existen variedades completas no singulares en dimensión 3 y superiores que no son proyectivas. ^{[ 3 ]} Los primeros ejemplos de variedades completas no proyectivas fueron dados por Masayoshi Nagata ^{[ 3 ]} y Heisuke Hironaka . ^{[ 4 ]} Un espacio afín de dimensión positiva no es completo.

El morfismo que lleva una variedad completa a un punto es un morfismo propio , en el sentido de la teoría de esquemas . Una justificación intuitiva de "completo", en el sentido de "sin puntos faltantes", puede darse sobre la base del criterio valuativo de propiedad , que se remonta a Claude Chevalley .

Véase también

Notas

↑ Aquí lavariedad de producto $X \times Y$ no posee la topología de producto , en general; la topología de Zariski sobre ella tendrá conjuntos más cerrados (excepto en casos muy simples). Véase también la incrustación de Segre .

Referencias

↑ Mumford 1999 , Capítulo I.10.
↑ Zariski, Oscar (1958). "Introducción al problema de los modelos mínimos en la teoría de superficies algebraicas". American Journal of Mathematics . 80 : 146–184 . doi : 10.2307/2372827 . JSTOR 2372827 .
1 2 Nagata, Masayoshi (1958). "Teoremas de existencia para variedades algebraicas completas no proyectivas" . Illinois J. Math . 2 : 490–498 . doi : 10.1215/ijm/1255454111 .
↑ Hironaka, Heisuke (1960). Sobre la teoría de la explosión birracional (tesis). Universidad de Harvard.

Fuentes

Sección II.4 de Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
Capítulo 7 de Milne, James S. (2009), Geometría algebraica , vol. 5.20 , consultado el 4 de agosto de 2010.
Sección I.9 de Mumford, David (1999), The red book of variety and schemes , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1358 (Segunda edición ampliada), Springer-Verlag , doi : 10.1007/b62130 , ISBN 978-3-540-63293-1
Danilov, VI (2001) [1994], "Variedad algebraica completa" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Hartshorne, Robin (1977). «Apéndice B. Ejemplo 3.4.1. (Fig. 24)». Geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 52. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90244-9. SEÑOR 0463157 . Zbl 0367.14001 .

[1] Aquí lavariedad de producto $X \times Y$ no posee la topología de producto , en general; la topología de Zariski sobre ella tendrá conjuntos más cerrados (excepto en casos muy simples). Véase también la incrustación de Segre .

[FOOTNOTEMumford1999Chapter_I.10-2] Mumford 1999 , Capítulo I.10.

[3] Zariski, Oscar (1958). "Introducción al problema de los modelos mínimos en la teoría de superficies algebraicas". American Journal of Mathematics . 80 : 146–184 . doi : 10.2307/2372827 . JSTOR 2372827 .

[Nagata-4] 1 2 Nagata, Masayoshi (1958). "Teoremas de existencia para variedades algebraicas completas no proyectivas" . Illinois J. Math . 2 : 490–498 . doi : 10.1215/ijm/1255454111 .

[5] Hironaka, Heisuke (1960). Sobre la teoría de la explosión birracional (tesis). Universidad de Harvard.

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