Matriz de Hadamard compleja

Una matriz de Hadamard compleja es cualquier matriz compleja${\displaystyle N\times N}$matriz${\displaystyle H}$que cumplen dos condiciones:

• unimodularidad (el módulo de cada entrada es la unidad):${\displaystyle |H_{jk}|=1{\text{ para }}j,k=1,2,\dots ,N}$
• ortogonalidad :${\displaystyle HH^{\daga }=NI}$,

dónde ${\displaystyle \dagger }$denota la transpuesta hermitiana de${\displaystyle H}$y${\displaystyle I}$es la matriz identidad . El concepto es una generalización de las matrices de Hadamard . Nótese que cualquier matriz de Hadamard compleja${\displaystyle H}$se puede convertir en una matriz unitaria multiplicándola por${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}}$; por el contrario , cualquier matriz unitaria cuyas entradas tengan todos módulo${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {N}}}}$se convierte en un Hadamard complejo al multiplicarse por${\displaystyle {\sqrt {N}}.}$

Las matrices de Hadamard complejas surgen en el estudio de las álgebras de operadores y la teoría de la computación cuántica . Las matrices de Hadamard reales y las matrices de Hadamard de tipo Butson constituyen casos particulares de matrices de Hadamard complejas.

Existen matrices de Hadamard complejas para cualquier número natural.${\displaystyle N}$(compárese con el caso real, en el que las matrices de Hadamard no existen para cada${\displaystyle N}$y la existencia no se conoce para cada permisible${\displaystyle N}$). Por ejemplo, las matrices de Fourier (el conjugado complejo de las matrices DFT sin el factor de normalización),

${\displaystyle [F_{N}]_{jk}:=\exp[2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\quad {\rm {para\quad }}}j,k=1,2,\dots ,N}$

pertenecer a esta clase.

Dos matrices de Hadamard complejas se denominan equivalentes y se escriben${\displaystyle H_{1}\simeq H_{2}}$, si existen matrices unitarias diagonales${\displaystyle D_{1},D_{2}}$y matrices de permutación${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ de tal manera que

${\displaystyle H_{1}=D_{1}P_{1}H_{2}P_{2}D_{2}.}$

Cualquier matriz de Hadamard compleja es equivalente a una matriz de Hadamard desfasada , en la que todos los elementos de la primera fila y la primera columna son iguales a la unidad.

Para${\displaystyle N=2,3}$y${\displaystyle 5}$Todas las matrices de Hadamard complejas son equivalentes a la matriz de Fourier.${\displaystyle F_{N}}$. Para${\displaystyle N=4}$Existe una familia continua de matrices de Hadamard complejas no equivalentes, con un parámetro.

${\displaystyle F_{4}^{(1)}(a):={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&ie^{ia}&-1&-ie^{ia}\\1&-1&1&-1\\1&-ie^{ia}&-1&ie^{ia}\end{bmatrix}}{\quad {\rm {con\quad }}}a\in [0,\pi ).}$

Para${\displaystyle N=6}$Se conocen las siguientes familias de matrices de Hadamard complejas:

• una única familia de dos parámetros que incluye${\displaystyle F_{6}}$,
• una única familia de un parámetro${\displaystyle D_{6}(t)}$,
• una órbita de un parámetro${\displaystyle B_{6}(\theta )}$, incluyendo la matriz de Hadamard circulante${\displaystyle C_{6}}$,
• una órbita de dos parámetros que incluye los dos ejemplos anteriores${\displaystyle X_{6}(\alpha )}$,
• una órbita de un parámetro${\displaystyle M_{6}(x)}$de matrices simétricas ,
• una órbita de dos parámetros que incluye el ejemplo anterior${\displaystyle K_{6}(x,y)}$,
• una órbita de tres parámetros que incluye todos los ejemplos anteriores${\displaystyle K_{6}(x,y,z)}$,
• una construcción adicional con cuatro grados de libertad,${\displaystyle G_{6}}$, lo que produce otros ejemplos que${\displaystyle K_{6}(x,y,z)}$,
• un solo punto - una de las matrices de Hadamard de tipo Butson,${\displaystyle S_{6}\in H(3,6)}$.

Sin embargo, no se sabe si esta lista está completa, pero se conjetura que${\displaystyle K_{6}(x,y,z),G_{6},S_{6}}$es una lista exhaustiva (pero no necesariamente irredundante) de todas las matrices de Hadamard complejas de orden 6.

• For an explicit list of known ${\displaystyle N=6}$ complex Hadamard matrices and several examples of Hadamard matrices of size 7-16 see Catalogue of Complex Hadamard Matrices