Integración de contornos

Los contornos a menudo se definen en términos de curvas suaves dirigidas. ^{[ 5 ]} Estas proporcionan una definición precisa de un "trozo" de una curva suave, de la cual está hecho un contorno.

Una curva suave es una curva${\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }$con una derivada continua y no nula tal que cada punto se recorre solo una vez ( z es uno a uno), con la posible excepción de una curva tal que los puntos extremos coincidan (${\displaystyle z(a)=z(b)}$). En el caso de que los puntos extremos coincidan, la curva se denomina cerrada, y se requiere que la función sea biyectiva en todos los demás puntos y que la derivada sea continua en el punto identificado (${\displaystyle z'(a)=z'(b)}$). Una curva suave que no está cerrada se suele denominar arco suave. ^{[ 5 ]}

La parametrización de una curva proporciona un ordenamiento natural de los puntos en la curva:${\displaystyle z(x)}$viene antes${\displaystyle z(y)}$si${\displaystyle x<y}$Esto nos lleva a la noción de curva suave dirigida . Resulta muy útil considerar curvas independientemente de la parametrización específica. Esto se puede lograr considerando clases de equivalencia de curvas suaves con la misma dirección. Una curva suave dirigida se define entonces como un conjunto ordenado de puntos en el plano complejo que es la imagen de alguna curva suave en su orden natural (según la parametrización). Cabe señalar que no todos los ordenamientos de los puntos son el orden natural de una curva suave. De hecho, una curva suave dada solo tiene dos de estos ordenamientos. Además, una curva cerrada puede tener cualquier punto como extremo, mientras que un arco suave solo tiene dos opciones para sus extremos.

Los contornos son la clase de curvas sobre las que definimos la integración de contornos. Un contorno es una curva dirigida que está formada por una secuencia finita de curvas suaves dirigidas cuyos puntos extremos coinciden para dar una única dirección. Esto requiere que la secuencia de curvas${\displaystyle \gamma _{1},\dots,\gamma _{n}}$sea ​​tal que el punto terminal de${\displaystyle \gamma _{i}}$coincide con el punto inicial de${\displaystyle \gamma _{i+1}}$a pesar de${\displaystyle i}$de tal manera que${\displaystyle 1\leq i<n}$Esto incluye todas las curvas suaves dirigidas. Además, un solo punto en el plano complejo se considera un contorno. El símbolo${\displaystyle +}$Se utiliza a menudo para denotar la unión de curvas para formar una nueva curva. Así podríamos escribir un contorno.${\displaystyle \Gamma }$que está compuesto de${\displaystyle n}$curvas como $${\displaystyle \Gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}+\cdots +\gamma _{n}.}$$

Para definir la integral de contorno de esta manera, primero hay que considerar la integral, sobre una variable real, de una función de valor complejo. Sea${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$sea ​​una función de valor complejo de una variable real,${\displaystyle t}$. Las partes reales e imaginarias de${\displaystyle f}$a menudo se denotan como${\displaystyle u(t)}$y${\displaystyle v(t)}$, respectivamente, de modo que $${\displaystyle f(t)=u(t)+iv(t).}$$ Luego, la integral de la función de valor complejo${\displaystyle f}$durante el intervalo${\displaystyle [a,b]}$es dado por $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)\,dt&=\int _{a}^{b}{\big (}u(t)+iv(t){\big )}\,dt\\&=\int _{a}^{b}u(t)\,dt+i\int _{a}^{b}v(t)\,dt.\end{aligned}}}$$

Ahora, para definir la integral de contorno, sea${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$sea ​​una función continua en la curva suave dirigida${\displaystyle \gamma }$. Dejar${\displaystyle z:[a,b]\to \mathbb {C} }$cualquier parametrización de${\displaystyle \gamma }$que sea consistente con su orden (dirección). Entonces la integral a lo largo${\displaystyle \gamma }$se denota $${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz\,}$$ y viene dado por ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz:=\int _{a}^{b}f{\big (}z(t){\big )}z'(t)\,dt.}$$

Esta definición está bien definida. Es decir, el resultado es independiente de la parametrización elegida. ^{[ 5 ]} En el caso en que la integral real del lado derecho no existe, la integral a lo largo de${\displaystyle \gamma }$Se dice que no existe.

La generalización de la integral de Riemann a funciones de una variable compleja se realiza por completa analogía con su definición para funciones de los números reales. La partición de una curva suave dirigida${\displaystyle \gamma }$se define como un conjunto finito y ordenado de puntos en${\displaystyle \gamma }$La integral sobre la curva es el límite de sumas finitas de valores de función, tomadas en los puntos de la partición, en el límite en que la distancia máxima entre dos puntos sucesivos cualesquiera de la partición (en el plano complejo bidimensional), también conocido como la malla, tiende a cero.

Un resultado fundamental en el análisis complejo es que la integral de contorno de 1/z es 2πi , donde la trayectoria del contorno se toma como el círculo unitario recorrido en sentido antihorario (o cualquier curva de Jordan orientada positivamente alrededor de 0 ). En el caso del círculo unitario, existe un método directo para evaluar la integral. $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z}}\,dz.}$$

Al evaluar esta integral, use el círculo unitario | z | = 1 como un contorno, parametrizado por z ( t ) = e ^it , con t ∈ [0, 2π] , entonces ⁠ dz / dt ⁠ = ie ^it y $${\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }1\,dt=i\,t{\Big |}_{0}^{2\pi }=\left(2\pi -0\right)i=2\pi i,}$$ que es el valor de la integral. Este resultado solo se aplica al caso en que z se eleva a la potencia de −1 . Si la potencia no es igual a −1 , entonces el resultado siempre será cero.

Consideremos la integral $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}\,dx,}$$

Para evaluar esta integral, observamos la función de valor complejo. $${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}}$$

que tiene singularidades en i y − i . Elegimos un contorno que encierre la integral de valor real, aquí un semicírculo con diámetro límite en la línea real (que va, por ejemplo, de − a a ) será conveniente. Llamamos a este contorno C .

Existen dos maneras de proceder, utilizando la fórmula integral de Cauchy o mediante el método de los residuos:

El integral $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}$$

(que surge en la teoría de la probabilidad como un múltiplo escalar de la función característica de la distribución de Cauchy ) resiste las técnicas del cálculo elemental . Lo evaluaremos expresándolo como un límite de integrales de contorno a lo largo del contorno C que va a lo largo de la recta real desde − a hasta a y luego en sentido antihorario a lo largo de un semicírculo centrado en 0 desde a hasta − a . Tomemos a mayor que 1 , de modo que la unidad imaginaria i esté encerrada dentro de la curva. La integral de contorno es $${\displaystyle \int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}$$

Dado que e ^itz es una función entera (sin singularidades en ningún punto del plano complejo), esta función tiene singularidades solo donde el denominador z ² + 1 es cero. Como z ² + 1 = ( z + i )( z − i ) , esto ocurre solo donde z = i o z = − i . Solo uno de esos puntos está en la región delimitada por este contorno. El residuo de f ( z ) en z = i es $${\displaystyle \lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}=\lim _{z\to i}(z-i){\frac {e^{itz}}{(z-i)(z+i)}}=\lim _{z\to i}{\frac {e^{itz}}{z+i}}={\frac {e^{-t}}{2i}}.}$$

Según el teorema de los residuos , entonces tenemos $${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}$$

El contorno C puede dividirse en una parte "recta" y un arco curvo, de modo que $${\displaystyle \int _{\text{straight}}+\int _{\text{arc}}=\pi e^{-t},}$$ y por lo tanto $${\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\text{arc}}.}$$

Según el lema de Jordan , si t > 0 entonces$${\displaystyle \int _{\text{arc}}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\rightarrow 0{\mbox{ as }}a\rightarrow \infty .}$$

Por lo tanto, si t > 0 entonces$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-t}.}$$

Un argumento similar con un arco que se enrolla alrededor de − i en lugar de i muestra que si t < 0 entonces$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{t},}$$ y finalmente tenemos esto: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx=\pi e^{-|t|}.}$$

(Si t = 0 , la integral se reduce inmediatamente a métodos de cálculo de valores reales y su valor es π .)

Se pueden realizar ciertas sustituciones en las integrales que involucran funciones trigonométricas , de modo que la integral se transforma en una función racional de una variable compleja y luego se pueden utilizar los métodos anteriores para evaluar la integral.

Como ejemplo, consideremos $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }{\frac {1}{1+3(\cos t)^{2}}}\,dt.}$$

Buscamos hacer una sustitución de z = e ^it . Ahora, recordemos $${\displaystyle \cos t={\frac {1}{2}}\left(e^{it}+e^{-it}\right)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}$$ y $${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=iz,\ dt={\frac {dz}{iz}}.}$$

Tomando C como el círculo unitario, sustituimos para obtener: $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}{\frac {1}{1+3\left({\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)\right)^{2}}}\,{\frac {dz}{iz}}&=\oint _{C}{\frac {1}{1+{\frac {3}{4}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)^{2}}}{\frac {1}{iz}}\,dz\\&=\oint _{C}{\frac {-i}{z+{\frac {3}{4}}z\left(z+{\frac {1}{z}}\right)^{2}}}\,dz\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{z+{\frac {3}{4}}z\left(z^{2}+2+{\frac {1}{z^{2}}}\right)}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{z+{\frac {3}{4}}\left(z^{3}+2z+{\frac {1}{z}}\right)}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {dz}{{\frac {3}{4}}z^{3}+{\frac {5}{2}}z+{\frac {3}{4z}}}}\\&=-i\oint _{C}{\frac {4}{3z^{3}+10z+{\frac {3}{z}}}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{\frac {dz}{3z^{3}+10z+{\frac {3}{z}}}}\\&=-4i\oint _{C}{\frac {z}{3z^{4}+10z^{2}+3}}\,dz\\&=-4i\oint _{C}{\frac {z}{3\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\,dz\\&=-{\frac {4i}{3}}\oint _{C}{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\,dz.\end{aligned}}}$$

Las singularidades que deben considerarse están en${\displaystyle {\tfrac {\pm i}{\sqrt {3}}}.}$Sea C ₁ un círculo pequeño aproximadamente${\displaystyle {\tfrac {i}{\sqrt {3}}},}$y C2 sea un círculo pequeño _{aproximadamente}${\displaystyle {\tfrac {-i}{\sqrt {3}}}.}$Entonces llegamos a lo siguiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {4i}{3}}\left[\oint _{C_{1}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz+\oint _{C_{2}}{\frac {\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}{z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}}}\,dz\right]\\={}&-{\frac {4i}{3}}\left[2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z={\frac {i}{\sqrt {3}}}}+2\pi i\left[{\frac {z}{\left(z+{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\sqrt {3}}i\right)\left(z-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]_{z=-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left({\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}+{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\sqrt {3}}i\right)\left(-{\frac {i}{\sqrt {3}}}-{\frac {i}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{i{\sqrt {3}}}}\right)\left({\frac {2}{{\sqrt {3}}i}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {4}{\sqrt {3}}}i\right)\left(-{\frac {2}{\sqrt {3}}}i\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {i}{\sqrt {3}}}{i\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {-{\frac {i}{\sqrt {3}}}}{-i\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {4}{\sqrt {3}}}\right)\left({\frac {2}{\sqrt {3}}}\right)}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}+{\frac {\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {16}{3{\sqrt {3}}}}}\right]\\={}&{\frac {8\pi }{3}}\left[{\frac {3}{16}}+{\frac {3}{16}}\right]\\={}&\pi .\end{aligned}}}$$

El método anterior puede aplicarse a todas las integrales del tipo $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {P{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}{Q{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}}\,dt}$$ donde P y Q son polinomios, es decir, se integra una función racional en términos trigonométricos. Cabe destacar que los límites de integración pueden ser π y −π , como en el ejemplo anterior, o cualquier otro par de extremos separados por 2π .

El truco consiste en usar la sustitución z = e ^it donde dz = ie ^it dt y por lo tanto $${\displaystyle {\frac {1}{iz}}\,dz=dt.}$$

Esta sustitución asigna el intervalo [ 0, 2π ] al círculo unitario. Además, $${\displaystyle \sin(kt)={\frac {e^{ikt}-e^{-ikt}}{2i}}={\frac {z^{k}-z^{-k}}{2i}}}$$ y $${\displaystyle \cos(kt)={\frac {e^{ikt}+e^{-ikt}}{2}}={\frac {z^{k}+z^{-k}}{2}}}$$de modo que de la sustitución resulta una función racional f ( z ) en z , y la integral se convierte en$${\displaystyle \oint _{|z|=1}f(z){\frac {1}{iz}}\,dz}$$ que a su vez se calcula sumando los residuos de f ( z ) ⁠ 1 / iz ⁠ dentro del círculo unitario.

La imagen de la derecha ilustra esto para $${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt,}$$ que ahora calculamos. El primer paso es reconocer que $${\displaystyle I={\frac {1}{4}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt.}$$

La sustitución produce $${\displaystyle {\frac {1}{4}}\oint _{|z|=1}{\frac {4iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz=\oint _{|z|=1}{\frac {iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz.}$$

Los polos de esta función se encuentran en 1 ± √ 2 y −1 ± √ 2 . De estos, 1 + √ 2 y −1 − √ 2 están fuera del círculo unitario (mostrados en rojo, sin escala), mientras que 1 − √ 2 y −1 + √ 2 están dentro del círculo unitario (mostrados en azul). Los residuos correspondientes son ambos iguales a − ⁠ i √ 2 / 16 ⁠ , de modo que el valor de la integral es $${\displaystyle I=2\pi i\;2\left(-{\frac {\sqrt {2}}{16}}i\right)=\pi {\frac {\sqrt {2}}{4}}.}$$

Consideremos la integral real $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}$$

Podemos comenzar formulando la integral compleja. $${\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=I.}$$

Podemos usar nuevamente la fórmula integral de Cauchy o el teorema de los residuos para obtener los residuos relevantes. Sin embargo, es importante tener en cuenta que z ^1/2 = e ^{(Log z )/2} , por lo que z ^1/2 tiene un corte de rama . Esto afecta nuestra elección del contorno C. Normalmente, el corte de rama logarítmico se define como el eje real negativo; sin embargo, esto complica ligeramente el cálculo de la integral, por lo que lo definimos como el eje real positivo.

Luego, utilizamos el llamado contorno de ojo de cerradura , que consiste en un pequeño círculo alrededor del origen de radio ε, por ejemplo, que se extiende hasta un segmento de línea paralelo y cercano al eje real positivo pero sin tocarlo, hasta un círculo casi completo, que regresa a un segmento de línea paralelo, cercano y debajo del eje real positivo en sentido negativo, y que regresa al pequeño círculo del medio.

Nótese que z = −2 y z = −4 se encuentran dentro del círculo grande. Estos son los dos polos restantes, que se pueden obtener factorizando el denominador del integrando. El punto de bifurcación en z = 0 se evitó rodeando el origen.

Sea γ el círculo pequeño de radio ε , Γ el círculo mayor, con radio R , entonces $${\displaystyle \int _{C}=\int _{\varepsilon }^{R}+\int _{\Gamma }+\int _{R}^{\varepsilon }+\int _{\gamma }.}$$

Se puede demostrar que las integrales sobre Γ y γ tienden a cero cuando ε → 0 y R → ∞ , mediante un argumento de estimación anterior, lo que deja dos términos. Ahora bien, dado que z ^1/2 = e ^{(Log z )/2} , en el contorno fuera del corte de rama, hemos ganado 2 π en argumento a lo largo de γ . (Por la identidad de Euler , e ^{i π} representa el vector unitario , que por lo tanto tiene π como su logaritmo. Este π es lo que se entiende por el argumento de z . El coeficiente de 1 / 2 nos obliga a usar 2 π .) Así pues$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\operatorname {Log} z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}(\log |z|+i\arg {z})}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{{\frac {1}{2}}(2\pi i)}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{\pi i}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {-{\sqrt {z}}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\[6pt]&=\int _{\varepsilon }^{R}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto: $${\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}$$

Utilizando el teorema de los residuos o la fórmula integral de Cauchy (empleando primero el método de fracciones parciales para derivar una suma de dos integrales de contorno simples) se obtiene: $${\displaystyle \pi i\left({\frac {i}{\sqrt {2}}}-i\right)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx=\pi \left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right).\quad \square }$$

Esta sección trata un tipo de integral de la cual $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx}$$ es un ejemplo.

Para calcular esta integral, se utiliza la función $${\displaystyle f(z)=\left({\frac {\log z}{1+z^{2}}}\right)^{2}}$$ y la rama del logaritmo correspondiente a −π < arg z ≤ π .

Calcularemos la integral de f ( z ) a lo largo del contorno en forma de ojo de cerradura que se muestra a la derecha. Resulta que esta integral es un múltiplo de la integral inicial que deseamos calcular y, por el teorema de los residuos de Cauchy, tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz=&\ 2\pi i{\big (}\operatorname {Res} _{z=i}f(z)+\operatorname {Res} _{z=-i}f(z){\big )}\\=&\ 2\pi i\left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}\right)\\=&\ -i\pi ^{2}.\end{aligned}}}$$

Sea R el radio del círculo grande y r el radio del círculo pequeño. Denotaremos la línea superior por M y la línea inferior por N. Como antes, tomamos el límite cuando R → ∞ y r → 0. Las contribuciones de los dos círculos se anulan. Por ejemplo, se tiene la siguiente cota superior con el lema ML : $${\displaystyle \left|\int _{R}f(z)\,dz\right|\leq 2\pi R{\frac {(\log R)^{2}+\pi ^{2}}{\left(R^{2}-1\right)^{2}}}\to 0.}$$

Para calcular las contribuciones de M y N, establecemos z = − x + iε en M y z = − x − iε en N , con 0 < x < ∞ : $${\displaystyle {\begin{aligned}-i\pi ^{2}&=\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz\\[6pt]&=\left(\int _{M}+\int _{N}\right)f(z)\,dz&&\int _{R},\int _{r}{\mbox{ vanish}}\\[6pt]&=-\int _{\infty }^{0}\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\varepsilon )}{1+(-x-i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\varepsilon )}{1+(-x-i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x+i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x-i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx&&\varepsilon \to 0\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {(\log x+i\pi )^{2}-(\log x-i\pi )^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {4\pi i\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=4\pi i\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\end{aligned}}}$$ lo cual da $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi }{4}}.}$$

Buscamos evaluar $${\displaystyle I=\int _{0}^{3}{\frac {x^{\frac {3}{4}}(3-x)^{\frac {1}{4}}}{5-x}}\,dx.}$$

Esto requiere un estudio detallado de $${\displaystyle f(z)=z^{\frac {3}{4}}(3-z)^{\frac {1}{4}}.}$$

Construiremos f ( z ) de manera que tenga un corte de rama en [ 0, 3 ] , mostrado en rojo en el diagrama. Para ello, elegimos dos ramas del logaritmo, estableciendo $${\displaystyle z^{\frac {3}{4}}=\exp \left({\frac {3}{4}}\log z\right)\quad {\mbox{where }}-\pi \leq \arg z<\pi }$$ y $${\displaystyle (3-z)^{\frac {1}{4}}=\exp \left({\frac {1}{4}}\log(3-z)\right)\quad {\mbox{where }}0\leq \arg(3-z)<2\pi .}$$

El corte de z ^{3 ⁄ 4} es, por lo tanto, (−∞, 0 ] y el corte de (3 − z ) ^1/4 es (−∞, 3 ] . Es fácil ver que el corte del producto de los dos, es decir, f ( z ) , es [0, 3] , porque f ( z ) es en realidad continua en (−∞, 0) . Esto se debe a que cuando z = − r < 0 y nos acercamos al corte desde arriba, f ( z ) tiene el valor $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {5}{4}}\pi i}.}$$

Cuando nos aproximamos desde abajo, f ( z ) tiene el valor $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}.}$$

Pero $${\displaystyle e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}=e^{{\frac {5}{4}}\pi i},}$$

para que tengamos continuidad a través del corte. Esto se ilustra en el diagrama, donde los dos círculos orientados negros están etiquetados con el valor correspondiente del argumento del logaritmo utilizado en z ^{3 ⁄ 4} y (3 − z ) ^1/4 .

Utilizaremos el contorno que se muestra en verde en el diagrama. Para ello, debemos calcular el valor de f ( z ) a lo largo de los segmentos de línea justo por encima y justo por debajo del corte.

Sea z = r (en el límite, es decir, cuando los dos círculos verdes se reducen a radio cero), donde 0 ≤ r ≤ 3. A lo largo del segmento superior, encontramos que f ( z ) tiene el valor $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=ir^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}}$$ y a lo largo del segmento inferior, $${\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}.}$$

De ello se deduce que la integral de ⁠ f ( z ) / 5 − z ⁠ a lo largo del segmento superior es − iI en el límite, y a lo largo del segmento inferior, I .

Si podemos demostrar que las integrales a lo largo de los dos círculos verdes se anulan en el límite, entonces también tenemos el valor de I , por el teorema de los residuos de Cauchy . Sea ρ el radio de los círculos verdes , donde ρ < 0.001 y ρ → 0 , y apliquemos la desigualdad de ML . Para el círculo C _L de la izquierda, encontramos $${\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {L} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {\rho ^{\frac {3}{4}}3.001^{\frac {1}{4}}}{4.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {7}{4}}\right)\to 0.}$$

De manera similar, para el círculo CR de _la derecha, tenemos $${\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {R} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {3.001^{\frac {3}{4}}\rho ^{\frac {1}{4}}}{1.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {5}{4}}\right)\to 0.}$$

Ahora, utilizando el teorema de los residuos de Cauchy , tenemos $${\displaystyle (-i+1)I=-2\pi i\left(\operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}+\operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}\right).}$$ donde el signo menos se debe a la dirección en sentido horario alrededor de los residuos. Usando la rama del logaritmo de antes, claramente $${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}=-5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}\log(-2)}.}$$

El polo se muestra en azul en el diagrama. El valor se simplifica a $${\displaystyle -5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}(\log 2+\pi i)}=-e^{{\frac {1}{4}}\pi i}5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}.}$$

Utilizamos la siguiente fórmula para el residuo en el infinito: $${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }h(z)=\operatorname {Res} _{z=0}\left(-{\frac {1}{z^{2}}}h\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}$$

Sustituyendo, encontramos $${\displaystyle {\frac {1}{5-{\frac {1}{z}}}}=-z\left(1+5z+5^{2}z^{2}+5^{3}z^{3}+\cdots \right)}$$ y $${\displaystyle \left({\frac {1}{z^{3}}}\left(3-{\frac {1}{z}}\right)\right)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}(3z-1)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}(1-3z)^{\frac {1}{4}},}$$ donde hemos utilizado el hecho de que −1 = e ^{π i} para la segunda rama del logaritmo. A continuación aplicamos la expansión binomial, obteniendo $${\displaystyle {\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(1-{1/4 \choose 1}3z+{1/4 \choose 2}3^{2}z^{2}-{1/4 \choose 3}3^{3}z^{3}+\cdots \right).}$$

La conclusión es que $${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(5-{\frac {3}{4}}\right)=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}{\frac {17}{4}}.}$$

Finalmente, se deduce que el valor de I es $${\displaystyle I=2\pi i{\frac {e^{{\frac {1}{4}}\pi i}}{-1+i}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)=2\pi 2^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)}$$ lo cual produce $${\displaystyle I={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {9}{4}}\right)={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-40^{\frac {3}{4}}\right).}$$

Sea el campo vectorial${\displaystyle \mathbf {F} =\sin(2x)\mathbf {e} _{x}+\sin(2y)\mathbf {e} _{y}+\sin(2z)\mathbf {e} _{z}}$y estar limitado por lo siguiente $${\displaystyle {0\leq x\leq 1}\quad {0\leq y\leq 3}\quad {-1\leq z\leq 4}}$$

La integral de doble contorno correspondiente se plantearía de la siguiente manera:

${\displaystyle }$${\displaystyle {\scriptstyle S}}$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}$

Ahora evaluamos${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$Mientras tanto, plantee la integral triple correspondiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \sin(2x)}{\partial x}}+{\frac {\partial \sin(2y)}{\partial y}}+{\frac {\partial \sin(2z)}{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}2\left(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z)\right)dV\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}\int _{-1}^{4}2(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z))\,dx\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{3}(10\cos(2y)+\sin(8)+\sin(2)+10\cos(z))\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{1}(30\cos(2z)+3\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6))\,dz\\[6pt]&=18\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6)\end{aligned}}}$$