Espacio proyectivo complejo

Una forma útil de construir los espacios proyectivos complejos${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$es a través de una construcción recursiva usando complejos CW . Recordemos que hay un homeomorfismo${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}\cong S^{2}}$a la 2-esfera, dando el primer espacio. Luego podemos inducir en las celdas para obtener un mapa de empuje.$${\displaystyle {\begin{matrix}S^{3}&\hookrightarrow &D^{4}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{1}&\to &\mathbf {CP} ^{2}\end{matrix}}}$$dónde${\displaystyle D^{4}}$es la bola cuatro, y${\displaystyle S^{3}\to \mathbf {CP} ^{1}}$representa el generador en${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}$(por lo tanto, es homotópicamente equivalente al mapa de Hopf ). Entonces podemos construir inductivamente los espacios como diagramas de empuje.$${\displaystyle {\begin{matrix}S^{2n-1}&\hookrightarrow &D^{2n}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{n-1}&\to &\mathbf {CP} ^{n}\end{matrix}}}$$dónde${\displaystyle S^{2n-1}\to \mathbf {CP} ^{n-1}}$representa un elemento en$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{2n-1}(\mathbf {CP} ^{n-1})&\cong \pi _{2n-1}(S^{2n-2})\\&\cong \mathbb {Z} /2\end{aligned}}}$$El isomorfismo de grupos de homotopía se describe a continuación, y es un cálculo estándar en la teoría de homotopía estable (que puede realizarse con la sucesión espectral de Serre , el teorema de suspensión de Freudenthal y la torre de Postnikov ). El mapa proviene del fibrado$${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n-1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n-1}}$$dando un mapa no contraíble, por lo tanto representa el generador en${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$De lo contrario, habría una equivalencia homotópica.${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}\simeq \mathbf {CP} ^{n-1}\times D^{n}}$, pero entonces sería homotópicamente equivalente a${\displaystyle S^{2}}$, una contradicción que puede observarse al analizar los grupos de homotopía del espacio.

El espacio proyectivo complejo es compacto y conexo , siendo un cociente de un espacio compacto y conexo.

Desde el haz de fibras

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$

o de forma más sugerente

${\displaystyle U(1)\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$

CP ⁿ es simplemente conectado . Además, por la secuencia de homotopía exacta larga , el segundo grupo de homotopía es π ₂ ( CP ⁿ ) ≅ Z , y todos los grupos de homotopía superiores coinciden con los de S ^{2 n +1} : π _k ( CP ⁿ ) ≅ π _k ( S ^{2 n +1} ) para todo k > 2.

En general, la topología algebraica de CP ⁿ se basa en que el rango de los grupos de homología sea cero en dimensiones impares; además, H _{2 i} ( CP ⁿ , Z ) es cíclico infinito para i = 0 a n . Por lo tanto, los números de Betti corren

1, 0, 1, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ...

Es decir, 0 en dimensiones impares, 1 en dimensiones pares de 0 a 2n. La característica de Euler de CP ⁿ es, por lo tanto, n  +  1. Por dualidad de Poincaré, lo mismo es cierto para los rangos de los grupos de cohomología . En el caso de la cohomología, se puede ir más allá e identificar la estructura de anillo graduada , para el producto de copa ; el generador de H ² ( CP ⁿ , Z ) es la clase asociada a un hiperplano , y este es un generador de anillo, de modo que el anillo es isomorfo con

Z [ T ]/( T ^{n +1} ),

con T un generador de grado dos. Esto implica también que el número de Hodge h ^{i , i} = 1, y todos los demás son cero. Véase ( Besse 1978 ) .

De la inducción y la periodicidad de Bott se deduce que

${\displaystyle K_{\mathbf {C} }^{*}(\mathbf {CP} ^{n})=K_{\mathbf {C} }^{0}(\mathbf {CP} ^{n})=\mathbf {Z} [H]/(H-1)^{n+1}.}$

El fibrado tangente satisface

${\displaystyle T\mathbf {CP} ^{n}\oplus \vartheta ^{1}=H^{\oplus n+1},}$

dónde${\displaystyle \vartheta ^{1}}$denota el fibrado de líneas trivial, de la sucesión de Euler . A partir de esto, se pueden calcular explícitamente las clases de Chern y los números característicos .

Hay un espacio${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$lo cual, en cierto sentido, es el límite inductivo de${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$como${\displaystyle n\to \infty }$Es BU(1) , el espacio clasificador de U(1) , el grupo del círculo, en el sentido de la teoría de la homotopía , y por lo tanto clasifica los fibrados de líneas complejos . De forma equivalente, da cuenta de la primera clase de Chern . Esto se puede ver heurísticamente observando los mapas de fibrados.$${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$$y${\displaystyle n\to \infty }$Esto da como resultado un haz de fibras (llamado haz circular universal ) .$${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{\infty }}$$construyendo este espacio. Nótese que usando la secuencia exacta larga de grupos de homotopía, tenemos${\displaystyle \pi _{2}(\mathbf {CP} ^{\infty })=\pi _{1}(S^{1})}$por eso${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$es un espacio de Eilenberg-MacLane , un${\displaystyle K(\mathbb {Z},2)}$Debido a este hecho y al teorema de representabilidad de Brown , tenemos el siguiente isomorfismo .$${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )\cong [X,\mathbf {CP} ^{\infty }]}$$para cualquier complejo CW agradable${\displaystyle X}$Además, según la teoría de las clases de Chern , todo fibrado lineal complejo${\displaystyle L\to X}$puede representarse como un retroceso del haz de líneas universal en${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$, lo que significa que hay un cuadrado de retroceso$${\displaystyle {\begin{matrix}L&\to &{\mathcal {L}}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &\mathbf {CP} ^{\infty }\end{matrix}}}$$dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$es el haz vectorial asociado del principal${\displaystyle U(1)}$-manojo${\displaystyle S^{\infty }\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$. Véase, por ejemplo, ( Bott & Tu 1982 ) y ( Milnor & Stasheff 1974 ) .

Por dos puntos cualesquiera p y q en el espacio proyectivo complejo pasa una única recta compleja (una CP ¹ ). Un círculo máximo de esta recta compleja que contiene a p y q es una geodésica para la métrica de Fubini - Study. En particular, todas las geodésicas son cerradas (son círculos) y todas tienen la misma longitud. (Esto siempre se cumple para espacios riemannianos globalmente simétricos de rango 1).

El lugar geométrico de corte de cualquier punto p es igual a un hiperplano CP ^{n − 1} . Este es también el conjunto de puntos fijos de la simetría geodésica en p (menos p mismo). Véase ( Besse 1978 ) .

Tiene una curvatura seccional que va de 1/4 a 1, y es la variedad más redonda que no es una esfera (o cubierta por una esfera): por el teorema de la esfera 1/4-pinzada , cualquier variedad riemanniana completa y simplemente conexa con curvatura estrictamente entre 1/4 y 1 es difeomorfa a la esfera. El espacio proyectivo complejo muestra que 1/4 es agudo. Recíprocamente, si una variedad riemanniana completa y simplemente conexa tiene curvaturas seccionales en el intervalo cerrado [1/4,1], entonces es difeomorfa a la esfera, o isométrica al espacio proyectivo complejo, al espacio proyectivo cuaterniónico , o bien al plano de Cayley F ₄ /Spin(9); véase ( Brendle y Schoen 2008 ) .

A los espacios proyectivos de dimensión impar se les puede dar una estructura de espín , a los de dimensión par no.

En geometría algebraica , el espacio proyectivo complejo puede equiparse con otra topología conocida como la topología de Zariski ₍ Hartshorne 1977 , §II.2) . Sea S = C [ Z₀ _, ..., Zₙ ] el anillo conmutativo de polinomios en las ( n + 1) variables Z₀ _, ..., Zₙ _. Este anillo está graduado por el grado total de cada polinomio:

${\displaystyle S=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{n}.}$

Se define un subconjunto de CP ⁿ como cerrado si es el conjunto de soluciones simultáneas de una colección de polinomios homogéneos. Al declarar que los complementos de los conjuntos cerrados son abiertos, se define una topología (la topología de Zariski) en CP ⁿ .

Es posible otra construcción de CP ⁿ (y su topología de Zariski). Sea S ₊  ⊂ S el ideal generado por los polinomios homogéneos de grado positivo: 

${\displaystyle \bigoplus _{n>0}S_{n}.}$

Definimos Proj S como el conjunto de todos los ideales primos homogéneos en S que no contienen S ₊ . Llamamos cerrado a un subconjunto de Proj S si tiene la forma

${\displaystyle V(I)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid p\supseteq I\}}$

para algún ideal I en S. Los complementos de estos conjuntos cerrados definen una topología en Proj S. El anillo S , por localización en un ideal primo , determina un haz de anillos locales en Proj S. El espacio Proj S , junto con su topología y haz de anillos locales, es un esquema . El subconjunto de puntos cerrados de Proj S es homeomorfo a CP ⁿ con su topología de Zariski. Las secciones locales del haz se identifican con las funciones racionales de grado total cero en CP ⁿ .

Todos los haces de líneas en el espacio proyectivo complejo se pueden obtener mediante la siguiente construcción. Una función f  : C ^{n +1} \{0} → C se llama homogénea de grado k si

${\displaystyle f(\lambda z)=\lambda ^{k}f(z)}$

para todo λ ∈ C \{0 } y z ∈ C ^{n +1} \{0 }. De manera más general, esta definición tiene sentido en conos en C ^{n +1} \{0 }. Un conjunto V ⊂ C ^{n +1} \{0 } se llama cono si, siempre que v ∈ V , entonces λv ∈ V para todo λ ∈ C \{0 }; es decir, un subconjunto es un cono si contiene la línea compleja que pasa por cada uno de sus puntos. Si U ⊂ CP ⁿ es un conjunto abierto (ya sea en la topología analítica o en la topología de Zariski ), sea V ⊂ C ^{n +1} \{0 } el cono sobre U : la preimagen de U bajo la proyección C ^{n +1} \{0} → CP ⁿ . Finalmente, para cada entero k , sea O ( k )( U ) el conjunto de funciones que son homogéneas de grado k en V . Esto define un haz de secciones de un cierto fibrado lineal, denotado por O ( k ).

En el caso especial k = − 1 , el fibrado O ( − 1) se denomina fibrado lineal tautológico . Se define equivalentemente como el subfibrado del producto

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\times \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}}$

cuya fibra sobre L ∈ CP ⁿ es el conjunto

${\displaystyle \{(x,L)\mid x\in L\}.}$

Estos haces de líneas también pueden describirse en el lenguaje de divisores . Sea H = CP ^{n − 1} un hiperplano complejo dado en CP ⁿ . El espacio de funciones meromorfas en CP ⁿ con a lo sumo un polo simple a lo largo de H (y en ningún otro lugar) es un espacio unidimensional, denotado por O ( H ), y llamado haz de hiperplanos . El haz dual se denota por O ( − H ), y la k ^-ésima potencia tensorial de O ( H ) se denota por O ( kH ). Este es el haz generado por múltiplos holomorfos de una función meromorfa con un polo de orden k a lo largo de H . Resulta que

${\displaystyle O(kH)\cong O(k).}$

De hecho, si L ( z ) = 0 es una función definitoria lineal para H , entonces L ^{− k} es una sección meromorfa de O ( k ), y localmente las otras secciones de O ( k ) son múltiplos de esta sección.

Dado que H ¹ ( CP ⁿ , Z ) = 0 , los haces de líneas en CP ⁿ se clasifican salvo isomorfismo por sus clases de Chern , que son enteros: se encuentran en H ² ( CP ⁿ , Z ) = Z . De hecho, las primeras clases de Chern del espacio proyectivo complejo se generan bajo la dualidad de Poincaré por la clase de homología asociada a un hiperplano H . El haz de líneas O ( kH ) tiene clase de Chern k . Por lo tanto, todo haz de líneas holomorfo en CP ⁿ es una potencia tensorial de O ( H ) o O ( − H ). En otras palabras, el grupo de Picard de CP ⁿ se genera como un grupo abeliano por la clase de hiperplano [ H ] ( Hartshorne 1977 ) .