Concoide de Durero

En geometría , la concoide de Durero , también llamada curva de capa de Durero , es una curva algebraica plana , que recibe su nombre de Albrecht Durero y fue introducida en 1525. No es una verdadera concoide .

Supongamos que se dan dos líneas perpendiculares con punto de intersección O. Para mayor claridad, podemos asumir que estos son los ejes de coordenadas y que O es el origen, es decir, (0, 0). Sean los puntos Q = ( q , 0) y R = (0, r ) los que se mueven sobre los ejes de tal manera que q + r = b , una constante. Sobre la línea QR , extendida según sea necesario, marquemos los puntos P y P' a una distancia fija a de Q. El lugar geométrico de los puntos P y P' es la concoide de Durero. ^{[ 1 ]}

La ecuación de la concoide en forma cartesiana es

${\displaystyle 2y^{2}(x^{2}+y^{2})-2by^{2}(x+y)+(b^{2}-3a^{2})y^{2}-a^{2}x^{2}+2a^{2}b(x+y)+a^{2}(a^{2}-b^{2})=0.}$

En forma paramétrica la ecuación viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {b\cos(t)}{\cos(t)-\sin(t)}}+a\cos(t),\\y&=a\sin(t),\end{aligned}}}$

donde el parámetro t se mide en radianes . ^{[ 2 ]}

La curva tiene dos componentes, asintóticas a las líneas${\displaystyle y=\pm a/{\sqrt {2}}}$. ^{[ 3 ]} Cada componente es una curva racional . Si a > b hay un bucle, si a = b hay una cúspide en (0, a ).

Entre los casos especiales se incluyen:

• a = 0: la línea y = 0;
• b = 0: el par de líneas${\displaystyle y=\pm a/{\sqrt {2}}}$junto con el círculo${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$;

• 
  a = 3, b = 1, bucle mostrado
• 
  a = 3, b = 3, se muestra la cúspide
• 
  a = 3, b = 5

La envolvente de líneas rectas utilizada en la construcción forma una parábola (como se ve en el diagrama original de Durero arriba) y, por lo tanto, la curva es una glissette de puntos formada por una línea y uno de sus puntos que se deslizan respectivamente contra una parábola y una de sus tangentes. ^{[ 4 ]}

Fue descrita por primera vez por el pintor y matemático alemán Albrecht Dürer (1471-1528) en su libro Underweysung der Messung ( Instrucción de medición con compás y regla, pág. 38), donde la denominó Ein muschellini ( Concoide o concha ). Dürer solo dibujó una rama de la curva.

• Concoide de de Sluze
• Lista de curvas

Weisstein, Eric W. "La concoide de Durero" . MathWorld .