Lógica condicional

El condicional estudiado por una lógica condicional dada se denota aquí con${\displaystyle \mathbin {>} }$, por ejemplo${\displaystyle A\mathbin {>} B}$representa "si A, entonces B". Esta "esquina" condicional, que no debe confundirse con el signo de mayor que escrito de forma idéntica , fue la notación utilizada por el artículo de Robert Stalnaker que inició el campo (véase §  Historia más abajo), ^{[ 5 ]} y que ha sido seguida en varias otras publicaciones de referencia. ^{[ 10 ] [ 2 ]} Algunas lógicas condicionales se han estudiado en el contexto específico de los condicionales contrafactuales , y en ese contexto, el de David Lewis${\displaystyle A\;\square \to B}$También es común la notación para contrafactuales (léase "si A hubiera sido el caso, B habría sido el caso"). ^{[ 3 ]}

En muchos idiomas, las cláusulas condicionales interactúan estrechamente con expresiones modales explícitas o implícitas como must , might o would . Según la influyente perspectiva del "restrictor", una cláusula condicional no introduce por sí misma un conector binario, sino que restringe el dominio de un operador modal o cuantificacional subsiguiente; esto ayuda a explicar la aparente conmutación de condicionales y modales en oraciones como "if A , it must be that B " y "it must be that if A , then B ". ^{[ 11 ]}

Las explicaciones dinámicas y expresivistas se basan en esta idea al tratar un condicional indicativo o contrafactual como una actualización de un estado de información o un marcador conversacional. Desde estas perspectivas, las incompatibilidades entre "si A , B " y "si A , podría no B " surgen porque las dos actualizaciones imponen restricciones conflictivas al mismo conjunto de información compartida. El mismo mecanismo se extiende naturalmente a las preguntas condicionales ( si A, ¿será B? ) y a los imperativos condicionales ( si A, ¿será B? ), que se modelan como transformaciones de estados de investigación o problemas de decisión en lugar de simples evaluaciones de verdad. ^{[ 12 ] [ 3 ]}

De esta forma, las lógicas condicionales se utilizan no solo para modelar las condiciones de verdad de las oraciones condicionales, sino también para capturar su función en la conversación, la planificación y la toma de decisiones, y para conectar la semántica de los condicionales con la pragmática de la afirmación, el cuestionamiento y la orden. ^{[ 2 ]}

La implicación material clásica valida una serie de principios que parecen plausibles a primera vista, pero que resultan problemáticos para las oraciones condicionales ordinarias . Los primeros trabajos de Adams, Stalnaker y Lewis destacaron contraejemplos al fortalecimiento del antecedente (de "si A entonces C " se infiere "si A y B entonces C "), a la transitividad (encadenamiento de condicionales) y a la contraposición (de "si A entonces B " se infiere "si no B entonces no A "). ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 1 ] [ 3 ]}

Las lógicas condicionales modernas suelen invalidar al menos algunos de estos principios. También difieren con respecto a esquemas más específicos, como:

• O-a-Si (de${\displaystyle A\lor B}$inferir${\displaystyle \neg A\mathbin {>} B}$);
• Importación-exportación (${\displaystyle A\mathbin {>} (B\mathbin {>} C)}$equivalente a${\displaystyle (A\land B)\mathbin {>} C}$);
• Simplificación de antecedentes disyuntivos (de${\displaystyle (A\lor B)\mathbin {>} C}$inferir ambos${\displaystyle A\mathbin {>} C}$y${\displaystyle B\mathbin {>} C}$).

El estado de estos esquemas está ligado a cuestiones de grano fino sobre cómo funcionan los ordenamientos de similitud o las funciones de selección, cómo se actualizan los contextos y cómo interactúan los condicionales con las premisas de fondo. Por ejemplo, las semánticas de estrictez variable que evalúan los condicionales en los mundos antecedentes "más cercanos" tienden a ser no monótonas a la izquierda: agregar condiciones adicionales al antecedente puede desviar la atención a mundos más remotos y, por lo tanto, frustrar una inferencia. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Las preguntas sobre qué esquemas adoptar son centrales para la clasificación de las lógicas condicionales y ayudan a motivar la variedad de sistemas ( CK , B , V , VC , C2 y otros) que se discuten en secciones posteriores. ^{[ 2 ] [ 13 ]}

Las lógicas condicionales están estrechamente relacionadas con las lógicas no monótonas y con los formalismos de IA para el razonamiento por defecto y derrotable. Los modelos preferenciales y jerarquizados para relaciones de consecuencia no monótonas, introducidos por Kraus, Lehmann y Magidor, pueden entenderse como una abstracción del conector condicional explícito y, en su lugar, un trabajo directo con una relación de consecuencia.${\displaystyle \vdash _{\!\sim }}$que codifica valores predeterminados de la forma "normalmente, si A entonces B ". Su sistema P de implicación preferencial, y el sistema racional más fuerte R , corresponden a los fragmentos "planos" de varias lógicas condicionales de estrictez variable, incluyendo el sistema B de Burgess y los sistemas de Lewis para contrafactuales. ^{[ 8 ] [ 2 ]}

Desde la perspectiva de la inteligencia artificial, estas lógicas permiten la representación y el razonamiento automatizado con reglas que presentan excepciones: por ejemplo, que las aves normalmente vuelan, o que un componente normalmente funciona a menos que se sepa que está defectuoso. La correspondencia entre las lógicas condicionales y las relaciones de consecuencia no monótonas se ha utilizado para transferir resultados y técnicas entre ambas áreas, para diseñar demostradores de teoremas para lógicas condicionales y para aplicarlas en el diagnóstico, la planificación y la representación del conocimiento. ^{[ 8 ] [ 14 ] [ 15 ]}

Algunos sistemas siguen siendo veritativo-funcionales pero utilizan más de dos valores de verdad. Łukasiewicz introdujo una lógica trivalente; de ​​Finetti argumentó posteriormente que "si A entonces B " debería ser nulo cuando A es falso (una apuesta se cancela). Los sistemas trivalentes modernos (por ejemplo, las lógicas de Cooper/Cantwell y las inspiradas en de Finetti) suelen validar el modus ponens pero invalidan el modus tollens y la contraposición . Su objetivo es bloquear las paradojas de implicación material y conectar con intuiciones suposicionales/probabilísticas. ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}

Una tradición intensional dominante trata los condicionales como cuantificadores sobre mundos accesibles o similares.

• Condicional estricto (CI Lewis):${\displaystyle A\mathbin {>} B\;\equiv \;\Box (A\supset B)}$Poderoso, pero demasiado fuerte para el lenguaje natural (valida el fortalecimiento, la transitividad y la contraposición). ^{[ 27 ]}
• Variablemente estricto (Stalnaker-Lewis): la verdad depende de los mundos A más cercanos (dada una función de similitud o selección proporcionada contextualmente). Estos invalidan el fortalecimiento, la transitividad y la contraposición, ajustándose mejor a los datos lingüísticos. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Dentro de esta familia, los sistemas axiomáticos abarcan desde las lógicas normales básicas ( CK ) hasta la B de Burgess , la V/VW/VC de Lewis y la C2 de Stalnaker . Muchos conservan reglas como el debilitamiento por la derecha y la K condicional, pero rechazan esquemas clásicos como el fortalecimiento del antecedente, la transitividad y la contraposición. ^{[ 13 ] [ 28 ] [ 19 ]}

En IA, la condición "si A, entonces normalmente B " se modela mediante ordenaciones de preferencia sobre estados. Los sistemas C/P/R de Kraus, Lehmann y Magidor caracterizan la consecuencia racional y derrotable; el fragmento plano (no anidado) de varias lógicas condicionales coincide con su sistema P. ^{[ 20 ] [ 29 ]}

La semántica de premisas (o fuente de ordenamiento) evalúa "si A entonces C " manteniendo un subconjunto máximo de premisas de fondo consistentes con A y comprobando si C se cumple. Captura la sensibilidad al contexto y es equivalente (mediante teoremas) a la semántica de ordenamiento basada en similitud. ^{[ 21 ] [ 23 ] [ 30 ]}

Adams propuso que para los indicativos simples (no anidados) la probabilidad de "si A entonces B " es igual a la probabilidad condicional.${\displaystyle P(B\mid A)}$. Su relación de consecuencia (que preserva la alta probabilidad) valida el sistema KLM P y rechaza el fortalecimiento, la transitividad y la contraposición. ^{[ 4 ]} Los resultados de trivialidad de Lewis muestran que identificar todas las probabilidades condicionales con probabilidades de condicionales (posiblemente anidados) se reduce a restricciones triviales; bajo la semántica de Stalnaker, la probabilidad de un condicional coincide en cambio con la imagen del antecedente, no con el condicionamiento bayesiano. ^{[ 31 ]} Trabajos posteriores exploran modelos de espacio de producto y previsiones basadas en coherencia para compuestos de condicionales. ^{[ 32 ] [ 33 ]}

En el modelo AGM de revisión de creencias, "si A, entonces B " se acepta si y solo si, después de revisar mínimamente un conjunto de creencias mediante A , se cree en B. Esto puede entenderse como una versión formal de la prueba de Ramsey . Combinado con los postulados estándar del AGM, esto produce un teorema de trivialidad debido a Gärdenfors, lo que impulsa propuestas para debilitar los postulados, restringir compuestos o reemplazar la revisión con actualización/imagen. ^{[ 9 ]}

Más allá de la relevancia temática en la lógica de relevancia , muchos teóricos requieren que A realice una diferencia (probabilística o doxástica) con B para que una condicional sea afirmable o válida. Esto motiva las puntuaciones de confirmación (por ejemplo, P(B|A) > P(B) ) y los principios de la lógica conexiva , a menudo a costa de reglas como el debilitamiento a la derecha. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

La mayoría de los sistemas normales para${\displaystyle \mathbin {>} }$se formulan utilizando las siguientes reglas, donde${\displaystyle \vDash }$es consecuencia clásica y${\displaystyle A,B,C,D}$son fórmulas:

• (MP) Modus ponens : de${\displaystyle A}$y${\displaystyle A\to B}$inferir${\displaystyle B}$.
• (LLE) Equivalencia lógica izquierda : de${\displaystyle \vDash A\equiv B}$inferir${\displaystyle (A\mathbin {>} C)\equiv (B\mathbin {>} C)}$.
• (RW) Debilitamiento de la derecha : de${\displaystyle \vDash C\to D}$inferir${\displaystyle (A\mathbin {>} C)\to (A\mathbin {>} D)}$.
• (RCK) K condicional : de${\displaystyle (C_{1}\land \cdots \land C_{n})\to D}$inferir${\displaystyle [(A\mathbin {>} C_{1})\land \cdots \land (A\mathbin {>} C_{n})]\to (A\mathbin {>} D)}$, para cualquier${\displaystyle n\geq 0}$.

Una lógica condicional se suele denominar normal cuando contiene todas las tautologías proposicionales y es cerrada bajo (MP), (LLE) y (RCK); (RCK) implica entonces varios principios adicionales como la Verdad Lógica, el Debilitamiento Derecho y la Conjunción Y a continuación. ^{[ 2 ] [ 19 ]}

Muchos sistemas se describen de manera más conveniente en términos de cuál de los siguientes principios esquemáticos validan (todos los esquemas son esquemas de la forma "para todas las fórmulas${\displaystyle A,B,C}$..."): ^{[ 2 ]}

LT (Verdad lógica)

${\displaystyle A\mathbin {>} \top }$

ID (Identidad)

${\displaystyle A\mathbin {>} A}$

Y

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land (A\mathbin {>} C))\to (A\mathbin {>} (B\land C))}$

O

${\displaystyle ((A\mathbin {>} C)\land (B\mathbin {>} C))\to ((A\lor B)\mathbin {>} C)}$

CCut (Transitividad cautelosa)

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land ((A\land B)\mathbin {>} C))\to (A\mathbin {>} C)}$

CMon (Monotonía cautelosa)

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land (A\mathbin {>} C))\to ((A\land B)\mathbin {>} C)}$

Rec (Reciprocidad)

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land (B\mathbin {>} A))\to ((A\mathbin {>} C)\equiv (B\mathbin {>} C))}$

RMon (Monotonía racional)

${\displaystyle ((A\mathbin {>} B)\land \neg (A\mathbin {>} \neg C))\to ((A\land C)\mathbin {>} B)}$

SM (Más fuerte que el material)

${\displaystyle (A\mathbin {>} B)\to (A\to B)}$

CS (Suficiencia conjuntiva)

${\displaystyle (A\land B)\to (A\mathbin {>} B)}$

CEM (Medio medio excluido condicional)

${\displaystyle (A\mathbin {>} B)\lor (A\mathbin {>} \neg B)}$

Estos principios están motivados tanto por la función de selección como por la semántica de ordenamiento para condicionales, y muchos pueden derivarse en sistemas más fuertes en lugar de tomarse como axiomas primitivos. ^{[ 2 ] [ 13 ]}

Un punto de partida conveniente son las lógicas condicionales básicas de Chellas, Ck y CK , que corresponden a la semántica de la función de selección central para condicionales. ^{[ 13 ] [ 2 ]}

• Ck es el sistema mínimo que contiene todas las tautologías proposicionales y es cerrado bajo (MP) y (RCK). Puede considerarse un sistema base "hiperintensional": valida (RCK) pero no (LLE).
• CK añade (LLE) a Ck. De forma equivalente, CK es la lógica más pequeña que contiene todas las tautologías proposicionales y es cerrada bajo (MP), (LLE) y (RCK). En CK, los principios (LT), (RW) y (AND) son teoremas, mientras que principios más fuertes como (ID), (OR), (CMon), (Rec), (RMon), (SM), (CS) y (CEM) generalmente no se validan. ^{[ 2 ]}

CK se suele considerar como el análogo condicional de la lógica modal normal K: axiomatiza la semántica básica de especificidad variable con funciones de selección arbitrarias u ordenaciones de similitud, sin condiciones de marco adicionales. ^{[ 2 ]}

Partiendo de CK, se obtiene una familia de lógicas más fuertes añadiendo esquemas adicionales. Égré y Rott destacan nueve sistemas "sobresalientes": Ck, CK, B, SS, NP, V, VW, VC y C2, todos normales en el sentido antes mencionado. ^{[ 2 ] [ 18 ]}

B

El sistema B de Burgess es la extensión más pequeña de CK en la que se cumplen (ID), (OR) y (CMon); con (RCK) y (LLE) también se obtienen (AND), (CCut) y (Rec). En la semántica de ordenamiento, B corresponde a modelos en los que cada mundo está equipado con un preorden de similitud reflexivo y transitivo. ^{[ 18 ] [ 2 ]}

V

La lógica V de Lewis añade a B el principio (RMon). Semánticamente, esto corresponde a fortalecer el orden de similitud a un orden débil (modular, similar al preorden total) en cada mundo de evaluación. ^{[ 6 ] [ 2 ]}

VW

El sistema VW extiende aún más V mediante la validación de (SM), de modo que cada condicional implica el condicional material correspondiente. Esto hace que VW sea adecuado como una lógica "contrafactual" más débil que aún conserva el modus ponens de la manera habitual. ^{[ 2 ]}

VC

La lógica "oficial" de Lewis de los contrafactuales VC agrega (CS) a VW. VC es, por lo tanto, la lógica normal más pequeña que extiende V que valida tanto (SM) como (CS); en la semántica de la esfera de Lewis esto corresponde a preórdenes totales con restricciones adicionales que aseguran que siempre que ambas${\displaystyle A}$y${\displaystyle A\land B}$son posibles,${\displaystyle A\land B}$–los mundos se encuentran entre los más cercanos${\displaystyle A}$–mundos. ^{[ 6 ] [ 2 ]}

C2

La lógica C2 de Stalnaker se puede obtener a partir de VC reemplazando (CS) por el más fuerte (CEM). C2 es, por lo tanto, VC + (CEM), y caracteriza los modelos simplificados de Stalnaker en los que cada antecedente selecciona un mundo antecedente más cercano único en cada punto de evaluación. ^{[ 5 ] [ 7 ] [ 2 ]}

SS

El sistema SS de Pollock se obtiene sumando (SM) y (CS) directamente a B (en lugar de a través de V). Valida muchas de las mismas leyes que VC, pero se basa en ordenaciones de similitud parciales, en lugar de totales. ^{[ 36 ] [ 2 ]}

notario público

El sistema NP de Delgrande es otra extensión de CK: al igual que B, valida (ID), (AND), (OR) y (CCut), pero en lugar de (CMon) valida (RMon). Esto demuestra que las formas cautelosa y racional de monotonicidad son independientes sobre CK. ^{[ 37 ] [ 2 ]}

Todos estos sistemas validan (LT) y (AND), difieren en el estado de (ID), (OR), (CCut), (CMon), (Rec), (RMon), (SM), (CS) y (CEM), y ninguno valida la monotonicidad, transitividad o contraposición completas para${\displaystyle \mathbin {>} }$. ^{[ 2 ]}

Una presentación alternativa pero equivalente de muchos de los sistemas anteriores se utiliza ampliamente en la tradición de Lewis-Nute y resulta conveniente al relacionar lógicas condicionales directamente con la semántica de funciones de selección. ^{[ 19 ] [ 38 ]} En este tipo de axiomatización, se toma como primitivo:

• todas las tautologías proposicionales en el lenguaje con${\displaystyle \mathbin {>} }$;
• la regla (MP);
• una o ambas de las reglas de "reemplazo"

(RCEC) de${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$inferir${\displaystyle (\chi \mathbin {>} \varphi )\leftrightarrow (\chi \mathbin {>} \psi )}$;

(RCEA) de${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$inferir${\displaystyle (\varphi \mathbin {>} \chi )\leftrightarrow (\psi \mathbin {>} \chi )}$;

• y la regla

(RCK) como se indicó anteriormente.

En este contexto, los sistemas V, VW, VC y C2 de Lewis pueden describirse como las lógicas condicionales más pequeñas que contienen todas las tautologías, cerradas bajo (MP), (RCEC) y (RCK), y que contienen todas las instancias de sustitución de conjuntos de esquemas apropiados, tales como:

IDENTIFICACIÓN${\displaystyle \varphi \mathbin {>} \varphi }$;

MP/SM${\displaystyle (\varphi \mathbin {>} \psi )\to (\varphi \to \psi )}$;

MOD${\displaystyle (\neg \varphi \mathbin {>} \varphi )\to (\psi \mathbin {>} \varphi )}$;

CSO${\displaystyle ((\varphi \mathbin {>} \psi )\land (\psi \mathbin {>} \varphi ))\to ((\varphi \mathbin {>} \chi )\leftrightarrow (\psi \mathbin {>} \chi ))}$;

CV${\displaystyle ((\varphi \mathbin {>} \psi )\land \neg (\varphi \mathbin {>} \neg \chi ))\to ((\varphi \land \chi )\mathbin {>} \psi )}$;

CS${\displaystyle (\varphi \land \psi )\to (\varphi \mathbin {>} \psi )}$;

CEM${\displaystyle (\varphi \mathbin {>} \psi )\lor (\varphi \mathbin {>} \neg \psi )}$.

Por ejemplo, una presentación estándar toma: ^{[ 19 ] [ 2 ]}

• V como la lógica más pequeña con (RCEC), (RCK) y esquemas ID, MOD, CSO, CV;
• VW como V + (SM);
• VC como VW + (CS);
• C2 como VC con (CS) reemplazado por (CEM).

Estas axiomatizaciones son equivalentes a las descritas mediante los esquemas de la Tabla 6 anteriores y se utilizan con frecuencia en la teoría de la demostración y el razonamiento automatizado para lógicas condicionales. ^{[ 15 ]}

En inteligencia artificial y razonamiento no monótono es común trabajar, no directamente con un conector${\displaystyle \mathbin {>} }$pero con una relación de consecuencia refutable${\displaystyle \vdash _{\!\sim }}$destinado a capturar valores predeterminados de la forma "normalmente, si${\displaystyle A}$entonces${\displaystyle B}$". Kraus, Lehmann y Magidor axiomatizaron tres sistemas centrales de este tipo, ahora conocidos como C, P y R. ^{[ 8 ] [ 2 ]}

Estos sistemas vienen dados por reglas sobre${\displaystyle \vdash _{\!\sim }}$como:

• (ID _~ ) Identidad:${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }A}$.
• (LLE _~ ) Equivalencia lógica izquierda: si${\displaystyle \vDash A\equiv B}$y${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$, entonces${\displaystyle B\vdash _{\!\sim }C}$.
• (RW _~ ) Debilitamiento derecho: si${\displaystyle \vDash C\to D}$y${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$, entonces${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }D}$.
• (CCut _~ ) Corte con precaución: de${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$y${\displaystyle A\land B\vdash _{\!\sim }C}$inferir${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$.
• (CMon _~ ) Monotonicidad cautelosa: de${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$y${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$inferir${\displaystyle A\land B\vdash _{\!\sim }C}$.
• (Y _~ ) Y: de${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$y${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$inferir${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }(B\land C)}$.
• (O _~ ) O: de${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$y${\displaystyle B\vdash _{\!\sim }C}$inferir${\displaystyle A\lor B\vdash _{\!\sim }C}$.
• (RMon _~ ) Monotonicidad racional: de${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }C}$y no${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }\neg B}$inferir${\displaystyle A\land B\vdash _{\!\sim }C}$.

Sobre esta base se define:

• Sistema C (acumulativo): la relación más pequeña que satisface (ID _~ ), (LLE _~ ), (RW _~ ), (CCut _~ ) y (CMon _~ ) (y por lo tanto (AND _~ )).
• Sistema P (preferencial): C más (OR _~ ); es sólido y completo para modelos preferenciales y corresponde al "plano" (${\displaystyle L_{1}}$) fragmento de varias lógicas condicionales como B y VC. ^{[ 8 ] [ 2 ]}
• Sistema R (racional): P más (RMon _~ ); es completo para modelos preferenciales clasificados (totalmente ordenados).

Mediante traducciones del formulario "${\displaystyle A\mathbin {>} B}$se acepta si y solo si${\displaystyle A\vdash _{\!\sim }B}$", estos sistemas no monótonos pueden verse como los fragmentos planos de muchas de las lógicas condicionales de selección-función descritas anteriormente, que vinculan la lógica condicional con la revisión de creencias de AGM y el razonamiento por defecto. ^{[ 8 ] [ 9 ]}