espiral cónica

1) Comenzando con una espiral arquimediana${\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}$da como resultado la espiral cónica (ver diagrama).

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}$

En este caso, la espiral cónica puede verse como la curva de intersección del cono con un helicoide .

2) El segundo diagrama muestra una espiral cónica con una espiral de Fermat.${\displaystyle \;r(\varphi )=\pm a{\sqrt {\varphi }}\;}$como plano de planta.

3) El tercer ejemplo tiene una espiral logarítmica.${\displaystyle \;r(\varphi )=ae^{k\varphi }\;}$como plano de planta. Su característica especial es su pendiente constante (ver abajo).

Introducción de la abreviatura${\displaystyle K=e^{k}}$da la descripción:${\displaystyle r(\varphi )=aK^{\varphi }}$.

4) El ejemplo 4 se basa en una espiral hiperbólica.${\displaystyle \;r(\varphi )=a/\varphi \;}$. Dicha espiral tiene una asíntota (línea negra), que es el plano de una hipérbola (púrpura). La espiral cónica se aproxima a la hipérbola para${\displaystyle \varphi \to 0}$.

La pendiente en un punto de una espiral cónica es la pendiente de la tangente de este punto con respecto a la${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-plano. El ángulo correspondiente es su ángulo de inclinación (ver diagrama):

${\displaystyle \tan \beta ={\frac {z'}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}}}}={\frac {mr'}{\sqrt {(r')^{2}+r^{2}}}}\ .}$

Una espiral con${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$da:

• ${\displaystyle \tan \beta ={\frac {mn}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}}\ .}$

Para una espiral de Arquímedes ,${\displaystyle n=1}$y por lo tanto su pendiente es${\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {m}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\ .}$

• Para una espiral logarítmica con${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$la pendiente es${\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {mk}{\sqrt {1+k^{2}}}}\ }$(${\displaystyle \color {red}{\text{ ¡constante! }}}$).

Debido a esta propiedad, una conchoespiral se denomina espiral cónica equiangular .

La longitud de un arco de una espiral cónica se puede determinar mediante

${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(1+m^{2})(r')^{2}+r^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

Para una espiral arquimediana , la integral se puede resolver con la ayuda de una tabla de integrales , de forma análoga al caso plano:

${\displaystyle L={\frac {a}{2}}\left[\varphi {\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}+(1+m^{2})\ln \left({\frac {\varphi +{\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}}{\sqrt {1+m^{2}}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\ .}$

Para una espiral logarítmica , la integral se puede resolver fácilmente:

${\displaystyle L={\frac {\sqrt {(1+m^{2})k^{2}+1}}{k}}(r{\big (}\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

En otros casos aparecen integrales elípticas .

Para el desarrollo de una espiral cónica ^{[ 3 ]} la distancia${\displaystyle \rho (\varphi )}$de un punto de curva${\displaystyle (x,y,z)}$hasta el ápice del cono${\displaystyle (0,0,z_{0})}$y la relación entre el ángulo${\displaystyle \varphi }$y el ángulo correspondiente${\displaystyle \psi }$ del desarrollo deben ser determinados:

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-z_{0})^{2}}}={\sqrt {1+m^{2}}}\;r\ ,}$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+m^{2}}}\psi \ .}$

Por lo tanto, la representación polar de la espiral cónica desarrollada es:

• ${\displaystyle \rho (\psi )={\sqrt {1+m^{2}}}\;r({\sqrt {1+m^{2}}}\psi )}$

En caso de${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$La representación polar de la curva desarrollada es

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}^{\,n+1}\psi ^{n},}$

que describe una espiral del mismo tipo.

• Si la planta de una espiral cónica es una espiral de Arquímedes , entonces su desarrollo es una espiral de Arquímedes.

En caso de una espiral hiperbólica (${\displaystyle n=-1}$) el desarrollo es congruente con la espiral del plano de planta.

En caso de una espiral logarítmica${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$El desarrollo es una espiral logarítmica:

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}\;e^{k{\sqrt {1+m^{2}}}\psi }\ .}$

La colección de puntos de intersección de las tangentes de una espiral cónica con la${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-El plano (plano que pasa por el vértice del cono) se llama su traza tangente .

Para la espiral cónica

${\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,mr)}$

El vector tangente es

${\displaystyle (r'\cos \varphi -r\sin \varphi ,r'\sin \varphi +r\cos \varphi ,mr')^{T}}$

y la tangente:

${\displaystyle x(t)=r\cos \varphi +t(r'\cos \varphi -r\sin \varphi )\ ,}$

${\displaystyle y(t)=r\sin \varphi +t(r'\sin \varphi +r\cos \varphi )\ ,}$

${\displaystyle z(t)=mr+tmr'\ .}$

El punto de intersección con el${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-el plano tiene parámetro${\displaystyle t=-r/r'}$y el punto de intersección es

• ${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{r'}}\sin \varphi ,-{\frac {r^{2}}{r'}}\cos \varphi ,0\right)\ .}$

${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$da${\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {a}{n}}\varphi ^{n+1}\ }$y la traza tangente es una espiral. En el caso${\displaystyle n=-1}$(espiral hiperbólica) la traza tangente degenera en un círculo con radio${\displaystyle a}$(ver diagrama). Para${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$uno tiene${\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {r}{k}}\ }$y la traza tangente es una espiral logarítmica, que es congruente con el plano de planta, debido a la autosimilitud de una espiral logarítmica.