Espiral

Algunos de los tipos más importantes de espirales bidimensionales incluyen:

• La espiral de Arquímedes :${\displaystyle r=a\varphi }$
• La espiral hiperbólica :${\displaystyle r=a/\varphi }$
• Espiral de Fermat :${\displaystyle r=a\varphi ^{1/2}}$
• El lituus :${\displaystyle r=a\varphi^{-1/2}}$
• La espiral logarítmica :${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$
• La espiral de Cornu o clotoide
• La espiral de Fibonacci y la espiral áurea
• La espiral de Teodoro : una aproximación de la espiral de Arquímedes compuesta por triángulos rectángulos contiguos.
• La evolvente de un círculo

• 
  espiral de Arquímedes
• 
  espiral hiperbólica
• 
  La espiral de Fermat
• 
  El lituus
• 
  espiral logarítmica
• 
  Espiral de Cornu
• 
  Espiral de Teodoro
• 
  Espiral de Fibonacci (espiral áurea)
• 
  La evolvente de un círculo (negra) no es idéntica a la espiral de Arquímedes (roja).

Una espiral de Arquímedes se genera, por ejemplo, al enrollar una alfombra. ^{[ 5 ]}

Una espiral hiperbólica aparece como la imagen de una hélice con una proyección central especial (véase el diagrama). A veces se la denomina espiral recíproca , porque es la imagen de una espiral de Arquímedes con una inversión circular (véase más abajo). ^{[ 6 ]}

El nombre espiral logarítmica se debe a la ecuación${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{k}}\cdot \ln {\tfrac {r}{a}}}$En la naturaleza se encuentran aproximaciones a esto.

Espirales que no se ajustan a este esquema de los primeros 5 ejemplos:

Una espiral de Cornu tiene dos puntos asintóticos. La espiral de Teodoro es un polígono. La espiral de Fibonacci consiste en una secuencia de arcos circulares. La evolvente de un círculo se parece a un arco de Arquímedes, pero no lo es: véase evolvente de un círculo .

Las siguientes consideraciones se refieren a espirales, que pueden describirse mediante una ecuación polar.${\displaystyle r=r(\varphi )}$, especialmente para los casos${\displaystyle r(\varphi )=a\varphi ^{n}}$(espirales de Arquímedes, hiperbólica, de Fermat, de Lituus) y la espiral logarítmica${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$.

ángulo de pendiente polar

El ángulo${\displaystyle \alpha }$entre la tangente espiral y el círculo polar correspondiente (ver diagrama) se llama ángulo de la pendiente polar y${\displaystyle \tan \alpha }$la pendiente polar .

A partir del cálculo vectorial en coordenadas polares se obtiene la fórmula

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\ .}$

De ahí la pendiente de la espiral.${\displaystyle \;r=a\varphi ^{n}\;}$es

• ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {n}{\varphi }}\ .}$

En caso de una espiral arquimediana (${\displaystyle n=1}$) la pendiente polar es${\displaystyle \tan \alpha ={\tfrac {1}{\varphi }}\ .}$

En una espiral logarítmica ,${\displaystyle \tan \alpha =k\ }$es constante.

Curvatura

La curvatura${\displaystyle \kappa }$de una curva con ecuación polar${\displaystyle r=r(\varphi )}$es

${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .}$

Para una espiral con${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$uno consigue

• ${\displaystyle \kappa =\dotsb ={\frac {1}{a\varphi ^{n-1}}}{\frac {\varphi ^{2}+n^{2}+n}{(\varphi ^{2}+n^{2})^{3/2}}}\ .}$

En caso de${\displaystyle n=1}$(Espiral de Arquímedes)${\displaystyle \kappa ={\tfrac {\varphi ^{2}+2}{a(\varphi ^{2}+1)^{3/2}}}}$. Solo para${\displaystyle -1<n<0}$La espiral tiene un punto de inflexión .

La curvatura de una espiral logarítmica${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$es${\displaystyle \;\kappa ={\tfrac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}\;.}$

Área del sector

El área de un sector de una curva (ver diagrama) con ecuación polar${\displaystyle r=r(\varphi )}$es

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\;d\varphi \ .}$

Para una espiral con ecuación${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$uno consigue

• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}a^{2}\varphi ^{2n}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2(2n+1)}}{\big (}\varphi _{2}^{2n+1}-\varphi _{1}^{2n+1}{\big )}\ ,\quad {\text{si}}\quad n\neq -{\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {a^{2}}{\varphi }}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}(\ln \varphi _{2}-\ln \varphi _{1})\ ,\quad {\text{if}}\quad n=-{\frac {1}{2}}\ .}$

La fórmula para una espiral logarítmica${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$es ${\displaystyle \ A={\tfrac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2})}{4k}}\ .}$

Longitud de arco

La longitud de un arco de una curva con ecuación polar${\displaystyle r=r(\varphi )}$es

${\displaystyle L=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

Para la espiral${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$la longitud es

• ${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}r^{2}}{\varphi ^{2}}}+r^{2}}}\;d\varphi =a\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\varphi ^{n-1}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}d\varphi \ .}$

No todas estas integrales pueden resolverse mediante una tabla adecuada. En el caso de una espiral de Fermat, la integral solo puede expresarse mediante integrales elípticas .

La longitud de arco de una espiral logarítmica${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$es${\displaystyle \ L={\tfrac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

Inversión de círculo

La inversión en el círculo unitario tiene en coordenadas polares la siguiente descripción simple:${\displaystyle \ (r,\varphi )\mapsto ({\tfrac {1}{r}},\varphi )\ }$.

• La imagen de una espiral${\displaystyle \ r=a\varphi ^{n}\ }$Bajo la inversión en el círculo unitario se encuentra la espiral con ecuación polar.${\displaystyle \ r={\tfrac {1}{a}}\varphi ^{-n}\ }$Por ejemplo: La inversa de una espiral de Arquímedes es una espiral hiperbólica.

Una espiral logarítmica${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$se mapea sobre la espiral logarítmica${\displaystyle \;r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\;.}$

La función${\displaystyle r(\varphi )}$de una espiral suele ser estrictamente monótona, continua e ilimitada . Para las espirales estándar ${\displaystyle r(\varphi )}$es una función potencial o una función exponencial. Si uno elige para${\displaystyle r(\varphi )}$La espiral es una función acotada , al igual que la función arcotangente. Una función acotada adecuada es la función arcotangente :

Ejemplo 1

Configuración${\displaystyle \;r=a\arctan(k\varphi )\;}$y la elección${\displaystyle \;k=0.1,a=4,\;\varphi \geq 0\;}$da una espiral que comienza en el origen (como una espiral de Arquímedes) y se acerca al círculo con radio${\displaystyle \;r=a\pi /2\;}$(diagrama, izquierda).

Ejemplo 2

Para${\displaystyle \;r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)\;}$y${\displaystyle \;k=0.2,a=2,\;-\infty <\varphi <\infty \;}$se obtiene una espiral que se aproxima al origen (como una espiral hiperbólica) y se aproxima al círculo con radio${\displaystyle \;r=a\pi \;}$(diagrama, derecha).

Dos definiciones principales de "espiral" en el American Heritage Dictionary son: ^{[ 7 ]}

1. una curva en un plano que se enrolla alrededor de un punto central fijo a una distancia cada vez mayor o menor de dicho punto.
2. una curva tridimensional que gira alrededor de un eje a una distancia constante o que varía continuamente mientras se mueve paralelamente al eje; una hélice .

La primera definición describe una curva plana que se extiende en ambas direcciones perpendiculares dentro de su plano; el surco en un lado de un disco de gramófono se aproxima mucho a una espiral plana (y es por el ancho y la profundidad finitos del surco, pero no por el mayor espacio entre pistas que dentro de ellas, que no llega a ser un ejemplo perfecto); obsérvese que los bucles sucesivos difieren en diámetro. En otro ejemplo, las "líneas centrales" de los brazos de una galaxia espiral trazan espirales logarítmicas .

La segunda definición incluye dos tipos de parientes tridimensionales de las espirales:

• Un muelle cónico o en espiral (incluido el muelle que se utiliza para sujetar y hacer contacto con los terminales negativos de las pilas AA o AAA en un compartimento para pilas ), y el vórtice que se crea cuando el agua se drena en un fregadero, a menudo se describen como una espiral o como una hélice cónica .
• La definición 2 incluye explícitamente un resorte helicoidal cilíndrico y una hebra de ADN , ambos con una estructura bastante helicoidal, por lo que "hélice" resulta una descripción más útil que "espiral" para cada uno de ellos. En general, el término "espiral" rara vez se aplica si los bucles sucesivos de una curva tienen el mismo diámetro. ^{[ 7 ]}

En la imagen lateral, la curva negra en la parte inferior es una espiral de Arquímedes , mientras que la curva verde es una hélice. La curva que se muestra en rojo es una espiral cónica.

Dos curvas espaciales espirales bien conocidas son las espirales cónicas y las espirales esféricas , definidas a continuación. Otro ejemplo de espirales espaciales es la espiral toroidal . ^{[ 8 ]} Una espiral enrollada alrededor de una hélice, ^{[ 9 ]} también conocida como hélice doblemente retorcida , ^{[ 10 ]} representa objetos como filamentos de bobina enrollada .

Si en el${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-Plano de una espiral con representación paramétrica

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }$

Se da entonces una tercera coordenada.${\displaystyle z(\varphi )}$, de tal manera que la curva espacial actual se encuentra sobre el cono con ecuación${\displaystyle \;m(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}$:

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}$

Las espirales basadas en este procedimiento se denominan espirales cónicas .

Ejemplo

Comenzando con una espiral arquimediana${\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}$se obtiene la espiral cónica (ver diagrama)

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}$

Cualquier proyección cartográfica cilíndrica puede utilizarse como base para una espiral esférica : basta con trazar una línea recta en el mapa y hallar su proyección inversa sobre la esfera, una especie de curva esférica .

Una de las familias más básicas de espirales esféricas son las curvas de Clelia , que se proyectan como líneas rectas en una proyección equirrectangular . Se trata de curvas en las que la longitud y la colatitud guardan una relación lineal, análoga a las espirales de Arquímedes en el plano; bajo la proyección azimutal equidistante, una curva de Clelia se proyecta como una espiral de Arquímedes plana.

Si uno representa una esfera unitaria mediante coordenadas esféricas

${\displaystyle x=\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad y=\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad z=\cos \theta ,}$

luego estableciendo la dependencia lineal${\displaystyle \varphi =c\theta }$para las coordenadas angulares da una curva paramétrica en términos del parámetro ⁠${\displaystyle \theta }$⁠ , ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\bigl (}\sin \theta \,\cos c\theta ,\,\sin \theta \,\sin c\theta ,\,\cos \theta \,{\bigr )}.}$

• 
  Curva de Clelia
• 
  Loxodromo

Otra familia de espirales esféricas son las líneas de rumbo o loxodromas, que se proyectan como líneas rectas en la proyección de Mercator . Estas son las trayectorias que describe un barco que viaja con rumbo constante . Cualquier loxodroma (excepto los meridianos y paralelos) se enrolla en espiral infinitamente alrededor de cualquiera de los polos, acercándose cada vez más, a diferencia de una curva de Clelia, que mantiene un espaciado uniforme en la colatitud. Bajo la proyección estereográfica , una loxodroma se proyecta como una espiral logarítmica en el plano.