Clase de conjugación

En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , dos elementos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$de un grupo son conjugados si hay un elemento${\displaystyle g}$en el grupo de tal manera que${\displaystyle b=gag^{-1}.}$Esta es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia se denominan clases de conjugación . En otras palabras, cada clase de conjugación es cerrada bajo las aplicaciones.${\displaystyle a\mapsto gag^{-1},}$con${\displaystyle g}$un elemento del grupo.

Los miembros de la misma clase de conjugación no se pueden distinguir utilizando únicamente la estructura del grupo y, por lo tanto, comparten muchas propiedades. El estudio de las clases de conjugación de grupos no abelianos es fundamental para el estudio de su estructura. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Para un grupo abeliano , cada clase de conjugación es un conjunto que contiene un elemento ( conjunto unitario ).

Las funciones que son constantes para los miembros de la misma clase de conjugación se denominan funciones de clase .

La noción de conjugado puede extenderse de elementos a subconjuntos: subconjuntos${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$de${\displaystyle G}$son conjugados si hay un elemento${\displaystyle g\in G}$de tal manera que${\displaystyle T=gSg^{-1},}$dónde${\displaystyle gSg^{-1}=\left\{gsg^{-1}:s\in S\right\}.}$La clase de conjugación de${\displaystyle S}$es el conjunto de todos los subconjuntos de${\displaystyle G}$conjugar con${\displaystyle S.}$Un subgrupo normal se define por la propiedad de que su clase de conjugación contiene un único miembro, a saber, él mismo. Los subgrupos normales desempeñan un papel fundamental en el estudio de los grupos cociente y los homomorfismos de grupos .

El concepto de conjugación puede surgir del intento de formalizar la idea de que dos elementos de un grupo se consideran "iguales" después de un cambio de nombre de los elementos.

Por ejemplo, consideremos el grupo simétrico.${\displaystyle S_{5}}$del orden 5!, y elementos${\displaystyle \sigma }$y${\displaystyle \pi \sigma \pi ^{-1}}$que son conjugados. Un elemento${\displaystyle \pi \sigma \pi ^{-1}}$puede considerarse simplemente como "cambiar el nombre" de los elementos.${\displaystyle 1,2,3,4,5}$a${\displaystyle \pi (1),\pi (2),\pi (3),\pi (4),\pi (5)}$luego aplicando la permutación${\displaystyle \sigma }$en este nuevo etiquetado.

${\displaystyle {\text{Si }}\sigma ={\begin{matrix}1\mapsto 3\\2\mapsto 1\\3\mapsto 5\\4\mapsto 2\\5\mapsto 4\end{matrix}}\quad {\text{ entonces }}\pi \sigma \pi ^{-1}={\begin{matrix}\pi (1)\mapsto \pi (3)\\\pi (2)\mapsto \pi (1)\\\pi (3)\mapsto \pi (5)\\\pi (4)\mapsto \pi (2)\\\pi (5)\mapsto \pi (4)\end{matrix}}}$

La acción de conjugación por${\displaystyle \pi }$no cambia la estructura subyacente de${\displaystyle \sigma }$. En cierto modo, permutaciones${\displaystyle \sigma }$y${\displaystyle \pi \sigma \pi ^{-1}}$tienen la misma "forma". ^{[ 3 ]} Esto incluye su orden, paridad, grado, tipo de ciclo , etc.

En general, un mapa${\displaystyle a\mapsto gag^{-1},}$dónde${\displaystyle g}$es un elemento fijo de un grupo${\displaystyle G}$es un automorfismo de${\displaystyle G}$, es decir, un mapa de${\displaystyle G}$a sí mismo que preserva la estructura del grupo. Tal automorfismo se llama automorfismo interno .

Otra forma de ilustrar la acción de conjugación es considerando el grupo lineal general.${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$de matrices invertibles . Dos matrices${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$conjugado si existe una matriz${\displaystyle P}$de tal manera que${\displaystyle B=PAP^{-1}}$, que es la misma condición que la similitud de matrices . Las dos matrices son conjugadas si son "iguales" bajo dos bases posiblemente diferentes, con${\displaystyle P}$siendo la matriz de cambio de base.

En el estudio de rotaciones tridimensionales, los vectores pueden representarse mediante${\displaystyle 2\times 2}$matrices complejas. La rotación de un vector se realiza entonces como conjugación por otro${\displaystyle 2\times 2}$matriz compleja cuyos elementos son los parámetros de Cayley-Klein , una operación que también puede expresarse en términos de cuaterniones unitarios .

Los subgrupos conjugados aparecen en algunos teoremas importantes de la teoría de grupos. Un ejemplo es uno de los teoremas de Sylow , que establece que, para un primo fijo,${\displaystyle p}$, todo Sylow${\displaystyle p}$-subgrupos de un grupo finito${\displaystyle G}$son conjugados entre sí.

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo. Dos elementos${\displaystyle a,b\in G}$son conjugados si existe un elemento${\displaystyle g\in G}$de tal manera que${\displaystyle gag^{-1}=b,}$en cuyo caso${\displaystyle b}$se llama conjugado de${\displaystyle a}$y${\displaystyle a}$se llama conjugado de${\displaystyle b.}$

En el caso del grupo lineal general${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$En el caso de matrices invertibles , la relación de conjugación se denomina similitud de matrices .

Se puede demostrar fácilmente que la conjugación es una relación de equivalencia y por lo tanto particiones${\displaystyle G}$en clases de equivalencia. (Esto significa que cada elemento del grupo pertenece precisamente a una clase de conjugación, y las clases${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)}$y${\displaystyle \operatorname {Cl} (b)}$son iguales si y solo si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son conjugadas, y disjuntas en caso contrario.) La clase de equivalencia que contiene el elemento${\displaystyle a\in G}$es $${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\left\{gag^{-1}:g\in G\right\}}$$ y se denomina la clase de conjugación de${\displaystyle a.}$Elnúmero de clase de${\displaystyle G}$es el número de clases de conjugación distintas (no equivalentes).

Las clases de conjugación pueden ser mencionadas describiéndolas, o más brevemente mediante abreviaturas como "6A", que significa "una determinada clase de conjugación con elementos de orden 6", y "6B" sería una clase de conjugación diferente con elementos de orden 6; la clase de conjugación 1A es la clase de conjugación de la identidad que tiene orden 1. En algunos casos, las clases de conjugación pueden describirse de manera uniforme; por ejemplo, en el grupo simétrico pueden describirse por tipo de ciclo .

El elemento identidad es siempre el único elemento de su clase, es decir${\displaystyle \operatorname {Cl} (e)=\{e\}.}$De manera más general, un elemento${\displaystyle a\in G}$se encuentra en el centro${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$de${\displaystyle G}$si y solo si su clase de conjugación tiene un solo elemento,${\displaystyle a}$mismo. Esto se deduce porque si${\displaystyle a\in \operatorname {Z} (G)}$entonces${\displaystyle gag^{-1}=a}$a pesar de${\displaystyle g\in G.}$Por lo tanto, si${\displaystyle G}$es abeliano ,${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\{a\}}$a pesar de${\displaystyle a\in G}$(y lo contrario también es cierto: si todas las clases de conjugación son singletons entonces${\displaystyle G}$es abeliano).

Si dos elementos${\displaystyle a,b\in G}$pertenecen a la misma clase de conjugación (es decir, si son conjugados), entonces tienen el mismo orden . Más generalmente, toda afirmación sobre${\displaystyle a}$se puede traducir en una declaración sobre${\displaystyle b=gag^{-1},}$porque el mapa${\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1},}$como se señaló anteriormente, es un automorfismo de${\displaystyle G}$.

Por ejemplo, si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$Si son conjugados, entonces también lo son sus poderes.${\displaystyle a^{k}}$y${\displaystyle b^{k}.}$(Prueba: si${\displaystyle a=gbg^{-1}}$entonces${\displaystyle a^{k}=\left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right)\cdots \left(gbg^{-1}\right)=gb^{k}g^{-1}.}$) Así, al tomar la k -ésima potencia se obtiene un mapa sobre las clases de conjugación, y se puede considerar qué clases de conjugación están en su preimagen. Por ejemplo, en el grupo simétrico, el cuadrado de un elemento de tipo (3)(2) (un ciclo de 3 y un ciclo de 2) es un elemento de tipo (3), por lo tanto, una de las clases de potenciación de (3) es la clase (3)(2) (donde${\displaystyle a}$es una clase de potenciador de${\displaystyle a^{k}}$).

Un automorfismo interno en${\displaystyle G}$dado por${\displaystyle a\mapsto gag^{-1}}$es el automorfismo identidad si y solo si${\displaystyle g\in \operatorname {Z} (G)}$Esto implica que el grupo cociente${\displaystyle G/\operatorname {Z} (G)}$es isomorfo al grupo de automorfismos internos de${\displaystyle G.}$

El grupo simétrico${\displaystyle S_{3},}$Consta de las 6 permutaciones de tres elementos y tiene tres clases de conjugación:

1. Sin cambios:${\displaystyle (abc\to abc)}$
2. Transponiendo dos:${\displaystyle (abc\to acb,abc\to bac,abc\to cba)}$
3. Una permutación cíclica de los tres:${\displaystyle (abc\to bca,abc\to cab)}$

Estas tres clases también corresponden a la clasificación de las isometrías de un triángulo equilátero .

Por ejemplo, en la tercera clase anterior (que corresponde a rotaciones del triángulo equilátero de 120 y 240 grados, respectivamente), una posible elección para g sería la transposición. ${\displaystyle abc\to acb}$de la segunda clase (que corresponde al volteo del triángulo alrededor de su eje que pasa por un , que es su propio inverso): voltear un triángulo verticalmente, luego rotarlo 120 grados, luego voltearlo de nuevo (${\displaystyle abc\to acb\to bac\to bca}$) es equivalente a rotar el triángulo no volteado 270 grados (${\displaystyle abc\to bca}$).

El grupo simétrico${\displaystyle S_{4},}$que consta de las 24 permutaciones de cuatro elementos, tiene cinco clases de conjugación, listadas con sus miembros usando notación de ciclo : ^{[ 4 ]}

1. Sin cambios:${\displaystyle \{(1)\}}$
2. Intercambiar dos:${\displaystyle \{(12),(13),(14),(23),(24),(34)\}}$
3. Una permutación cíclica de tres:${\displaystyle \{(123),(124),(132),(134),(142),(143),(234),(243)\}}$
4. Una permutación cíclica de los cuatro:${\displaystyle \{(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)\}}$
5. Intercambiando dos, y también los otros dos:${\displaystyle \{(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}$

En general, el número de clases de conjugación en el grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$es igual al número de particiones enteras de${\displaystyle n.}$ Esto se debe a que cada clase de conjugación corresponde exactamente a una partición de${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$en ciclos , hasta la permutación de los elementos de${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$El tamaño de${\displaystyle \operatorname {Cl} (\sigma ),}$para${\displaystyle \sigma \in S_{m},}$se puede calcular a partir de las longitudes de los ciclos. Sea${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}}$ be the distinct integers which appear as lengths of cycles in the cycle type of ${\displaystyle \sigma }$ (including 1-cycles) and let ${\displaystyle k_{i}}$ be the number of cycles of length ${\displaystyle m_{i}}$ for each ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,s}$ (so that ${\textstyle \sum _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n}$). Then the number of elements in ${\displaystyle \operatorname {Cl} (\sigma )}$ is^[1]$${\displaystyle {\frac {n!}{\left(k_{1}!\,m_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!\,m_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{s}!\,m_{s}^{k_{s}}\right)}}.}$$

The dihedral group${\displaystyle D_{5}}$ consisting of symmetries of a pentagon, has four conjugacy classes:^[5]

1. The identity element: ${\displaystyle \{1\}}$
2. Two conjugacy classes of size 2: ${\displaystyle \{r,r^{4}\},\{r^{2},r^{3}\}}$
3. All the reflections: ${\displaystyle \{s,rs,r^{2}s,r^{3}s,r^{4}s\}}$

For any two elements ${\displaystyle g,x\in G,}$ let $${\displaystyle g\cdot x:=gxg^{-1}.}$$ This defines a group action of ${\displaystyle G}$ on ${\displaystyle G.}$ The orbits of this action are the conjugacy classes. Let ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$ denote the centralizer of ${\displaystyle a\in G,}$ i.e., the subgroup consisting of all elements ${\displaystyle b\in G}$ such that ${\displaystyle ba=ab.}$ Then the stabilizer of a given element ${\displaystyle x\in G}$ is ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x).}$^[6] Moreover, the set of elements fixed by ${\displaystyle g\in G}$ under conjugation is ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(g).}$

De manera más general, dado cualquier subconjunto${\displaystyle S\subseteq G}$(${\displaystyle S}$no necesariamente un subgrupo), define un subconjunto${\displaystyle T\subseteq G}$ser conjugado con${\displaystyle S}$si existe alguna${\displaystyle g\in G}$de tal manera que${\displaystyle T=gSg^{-1}.}$Dejar${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$sea ​​el conjunto de todos los subconjuntos${\displaystyle T\subseteq G}$de tal manera que${\displaystyle T}$es conjugado de${\displaystyle S.}$

Defina una acción grupal de${\displaystyle G}$en el conjunto de todos los subconjuntos de${\displaystyle G,}$escribiendo $${\displaystyle g\cdot S:=gSg^{-1}.}$$El resultado para el número de elementos en la clase de conjugación de un elemento se generaliza al caso de subconjuntos usando un argumento análogo al usado anteriormente: existe una correspondencia uno a uno entre elementos de la clase de conjugación de${\displaystyle S}$y cosets de${\displaystyle \operatorname {N} (S),}$el normalizador de${\displaystyle S,}$puesto que, si${\displaystyle g,h\in G,}$entonces${\displaystyle gSg^{-1}=hSh^{-1}}$si y solo si${\displaystyle g^{-1}h\in \operatorname {N} (S),}$En otras palabras, si y solo si${\displaystyle g{\text{ and }}h}$están en el mismo coset de${\displaystyle \operatorname {N} (S).}$Como resultado, el índice de${\displaystyle \operatorname {N} (S)}$en${\displaystyle G}$es igual a la cardinalidad de${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$: $${\displaystyle |{\operatorname {Cl} (S)}|=[G:N(S)].}$$ Al usar${\displaystyle S=\{a\},}$Esta fórmula se especializa en la dada anteriormente para el número de elementos en una clase de conjugación ya que el normalizador de un singleton es igual a su centralizador.

Lo anterior es particularmente útil cuando se habla de subgrupos de${\displaystyle G.}$Los subgrupos pueden dividirse en clases de conjugación, de modo que dos subgrupos pertenecen a la misma clase si y solo si son conjugados. Los subgrupos conjugados son isomorfos , pero los subgrupos isomorfos no necesariamente son conjugados. Por ejemplo, un grupo abeliano puede tener dos subgrupos isomorfos diferentes, pero nunca conjugados.

Las clases de conjugación en el grupo fundamental de un espacio topológico conexo por caminos pueden considerarse como clases de equivalencia de bucles libres bajo homotopía libre.

En cualquier grupo finito , el número de representaciones irreducibles no isomorfas sobre los números complejos es precisamente el número de clases de conjugación.

• Conjugación topológica : concepto en topología 
• Grupo FC – Grupo en matemáticas de la teoría de grupos 
• subgrupo cerrado por conjugación

• Grillet, Pierre Antoine (2007). Álgebra abstracta . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  242 (2.ª  ed.). Springer. ISBN 978-0-387-71567-4.

• "Elementos conjugados" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]