Sistema de reacción-difusión

Los sistemas de reacción-difusión son modelos matemáticos que corresponden a diversos fenómenos físicos. El más común es el cambio en el espacio y el tiempo de la concentración de una o más sustancias químicas: reacciones químicas locales en las que las sustancias se transforman entre sí, y difusión, que provoca que las sustancias se dispersen sobre una superficie en el espacio.

Los sistemas de reacción-difusión se aplican naturalmente en química . Sin embargo, el sistema también puede describir procesos dinámicos de naturaleza no química. Se encuentran ejemplos en biología , geología y física (teoría de la difusión de neutrones) y ecología . Matemáticamente, los sistemas de reacción-difusión adoptan la forma de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas semilineales . Se pueden representar en la forma general

${\displaystyle \partial _{t}\mathbf {q} ={\underline {\underline {\mathbf {D} }}}\,\nabla ^{2}\mathbf {q} +\mathbf {R} (\mathbf {q} ),}$

donde q ( x , t ) representa la función vectorial desconocida, D es una matriz diagonal de coeficientes de difusión y R representa todas las reacciones locales. Las soluciones de las ecuaciones de reacción-difusión muestran una amplia gama de comportamientos, incluyendo la formación de ondas viajeras y fenómenos ondulatorios, así como otros patrones autoorganizados como rayas, hexágonos o estructuras más intrincadas como solitones disipativos . Dichos patrones han sido denominados " patrones de Turing ". ^{[ 1 ]} Cada función, para la cual se cumple una ecuación diferencial de reacción-difusión, representa de hecho una variable de concentración .

La ecuación de reacción-difusión más simple se encuentra en una dimensión espacial en geometría plana,

${\displaystyle \partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u),}$

También se la conoce como la ecuación de Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov . ^{[ 2 ]} Si el término de reacción se anula, entonces la ecuación representa un proceso de difusión pura . La ecuación correspondiente es la segunda ley de Fick . La elección R ( u ) = u (1 − u ) produce la ecuación de Fisher que se usó originalmente para describir la propagación de poblaciones biológicas , ^{[ 3 ]} la ecuación de Newell–Whitehead-Segel con R ( u ) = u (1 − u ² ) para describir la convección de Rayleigh–Bénard , ^{[ 4 ] [ 5 ]} la ecuación más general de Zeldovich–Frank-Kamenetskii con R ( u ) = u (1 − u )e ^{- β (1- u )} y 0 < β < ∞ ( número de Zeldovich ) que surge en la teoría de la combustión , ^{[ 6 ]} y su caso degenerado particular con R ( u ) = u ² − u ³ que a veces también se denomina ecuación de Zeldovich. ^{[ 7 ]}

La dinámica de los sistemas de un componente está sujeta a ciertas restricciones, ya que la ecuación de evolución también puede escribirse en forma variacional.

${\displaystyle \partial _{t}u=-{\frac {\delta {\mathfrak {L}}}{\delta u}}}$

y por lo tanto describe una disminución permanente de la "energía libre".${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$dado por la función

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\tfrac {D}{2}}\left(\partial _{x}u\right)^{2}-V(u)\right]\,{\text{d}}x}$

con un potencial V ( u ) tal que R ( u ) = ⁠ d V ( u ) / d u ⁠ .

En sistemas con más de una solución homogénea estacionaria, una solución típica viene dada por frentes viajeros que conectan los estados homogéneos. Estas soluciones se mueven a velocidad constante sin cambiar su forma y tienen la forma u ( x , t ) = û ( ξ ) con ξ = x − ct , donde c es la velocidad de la onda viajera. Nótese que, si bien las ondas viajeras son estructuras genéricamente estables, todas las soluciones estacionarias no monótonas (por ejemplo, dominios localizados compuestos por un par frente-antifrente) son inestables. Para c = 0 , existe una demostración simple para esta afirmación: ^{[ 8 ]} si u ₀ ( x ) es una solución estacionaria y u = u ₀ ( x ) + ũ ( x , t ) es una solución infinitesimalmente perturbada, el análisis de estabilidad lineal produce la ecuación

${\displaystyle \partial _{t}{\tilde {u}}=D\partial _{x}^{2}{\tilde {u}}-U(x){\tilde {u}},\qquad U(x)=-R^{\prime }(u){\Big |}_{u=u_{0}(x)}.}$

Con la hipótesis ũ = ψ ( x )exp(− λt ) llegamos al problema de valores propios.

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =\lambda \psi ,\qquad {\hat {H}}=-D\partial _{x}^{2}+U(x),}$

de tipo Schrödinger donde los autovalores negativos dan como resultado la inestabilidad de la solución. Debido a la invariancia traslacional ψ = ∂ _x u ₀ ( x ) es una autofunción neutra con el autovalor λ = 0 , y todas las demás autofunciones pueden ordenarse según un número creciente de nodos con la magnitud del autovalor real correspondiente aumenta monótonamente con el número de ceros. La autofunción ψ = ∂ _x u ₀ ( x ) debe tener al menos un cero, y para una solución estacionaria no monótona el autovalor correspondiente λ = 0 no puede ser el más bajo, lo que implica inestabilidad.

Para determinar la velocidad c de un frente en movimiento, se puede recurrir a un sistema de coordenadas móvil y observar soluciones estacionarias:

${\displaystyle D\partial _{\xi }^{2}{\hat {u}}(\xi )+c\partial _{\xi }{\hat {u}}(\xi )+R({\hat {u}}(\xi ))=0.}$

Esta ecuación tiene un bonito análogo mecánico como el movimiento de una masa D con posición û en el transcurso del "tiempo" ξ bajo la fuerza R con el coeficiente de amortiguación c, lo que permite un acceso bastante ilustrativo a la construcción de diferentes tipos de soluciones y la determinación de c .

Al pasar de una a más dimensiones espaciales, aún se pueden aplicar varias afirmaciones de sistemas unidimensionales. Los frentes de onda planos o curvos son estructuras típicas, y surge un nuevo efecto cuando la velocidad local de un frente curvo depende del radio de curvatura local (esto se puede observar al pasar a coordenadas polares ). Este fenómeno conduce a la denominada inestabilidad impulsada por la curvatura. ^{[ 9 ]}

Los sistemas de dos componentes permiten una gama mucho mayor de fenómenos posibles que sus contrapartes de un componente. Una idea importante, propuesta por primera vez por Alan Turing, es que un estado estable en el sistema local puede volverse inestable en presencia de difusión . ^{[ 10 ]}

Sin embargo, un análisis de estabilidad lineal muestra que al linealizar el sistema general de dos componentes

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}u\\\partial _{t}v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\partial _{xx}u\\\partial _{xx}v\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}F(u,v)\\G(u,v)\end{pmatrix}}}$

una perturbación de onda plana

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} ,t)={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}(t)\\{\tilde {v}}(t)\end{pmatrix}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$

de la solución homogénea estacionaria satisfará

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}{\tilde {u}}_{\mathbf {k} }(t)\\\partial _{t}{\tilde {v}}_{\mathbf {k} }(t)\end{pmatrix}}=-k^{2}{\begin{pmatrix}D_{u}{\tilde {u}}_{\mathbf {k} }(t)\\D_{v}{\tilde {v}}_{\mathbf {k} }(t)\end{pmatrix}}+\mathbf {R} ^{\prime }{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{\mathbf {k} }(t)\\{\tilde {v}}_{\mathbf {k} }(t)\end{pmatrix}}.}$

La idea de Turing solo puede realizarse en cuatro clases de equivalencia de sistemas caracterizados por los signos del jacobiano R ′ de la función de reacción. En particular, si se supone que un vector de onda finito k es el más inestable, el jacobiano debe tener los signos

${\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-\\+&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}+&+\\-&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&+\\-&+\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&-\\+&+\end{pmatrix}}.}$

Esta clase de sistemas se denomina sistema activador-inhibidor por su primer representante: cerca del estado fundamental, un componente estimula la producción de ambos componentes mientras que el otro inhibe su crecimiento. Su representante más destacado es la ecuación de FitzHugh-Nagumo.

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u&=d_{u}^{2}\,\nabla ^{2}u+f(u)-\sigma v,\\\tau \partial _{t}v&=d_{v}^{2}\,\nabla ^{2}v+u-v\end{aligned}}}$

con f ( u ) = λu − u ³ − κ que describe cómo viaja un potencial de acción a través de un nervio. ^{[ 11 ] [ 12 ]} Aquí, d _u , d _v , τ , σ y λ son constantes positivas.

Cuando un sistema activador-inhibidor experimenta un cambio de parámetros, puede pasar de condiciones en las que un estado fundamental homogéneo es estable a condiciones en las que es linealmente inestable. La bifurcación correspondiente puede ser una bifurcación de Hopf hacia un estado homogéneo globalmente oscilante con un número de onda dominante k = 0 , o una bifurcación de Turing hacia un estado globalmente estructurado con un número de onda finito dominante. Esta última, en dos dimensiones espaciales, suele dar lugar a patrones de rayas o hexagonales.

• Bifurcación de Turing subcrítica: formación de un patrón hexagonal a partir de condiciones iniciales ruidosas en el sistema de reacción-difusión de dos componentes de tipo Fitzhugh-Nagumo descrito anteriormente.
• 
  Condiciones iniciales ruidosas en t  =  0.
• 
  Estado del sistema en t  =  10.
• 
  Estado casi convergente en t  =  100.

Para el ejemplo de Fitzhugh-Nagumo, las curvas de estabilidad neutral que marcan el límite de la región linealmente estable para la bifurcación de Turing y Hopf vienen dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{\text{n}}^{H}(k):&{}\quad {\frac {1}{\tau }}+\left(d_{u}^{2}+{\frac {1}{\tau }}d_{v}^{2}\right)k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}),\\[6pt]q_{\text{n}}^{T}(k):&{}\quad {\frac {\kappa }{1+d_{v}^{2}k^{2}}}+d_{u}^{2}k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}).\end{aligned}}}$

Si la bifurcación es subcrítica, a menudo se pueden observar estructuras localizadas ( solitones disipativos ) en la región histerética donde el patrón coexiste con el estado fundamental. Otras estructuras que se encuentran con frecuencia comprenden trenes de pulsos (también conocidos como ondas viajeras periódicas ), ondas espirales y patrones de diana. Estos tres tipos de soluciones también son características genéricas de ecuaciones de reacción-difusión de dos (o más) componentes en las que la dinámica local tiene un ciclo límite estable ^{[ 13 ].}

• Otros patrones encontrados en el sistema de reacción-difusión de dos componentes de tipo Fitzhugh-Nagumo mencionado anteriormente.
• 
  Espiral giratoria.
• 
  Patrón objetivo.
• 
  Pulso localizado estacionario (solitón disipativo).

Para diversos sistemas, se han propuesto ecuaciones de reacción-difusión con más de dos componentes, por ejemplo, la reacción de Belousov-Zhabotinsky , ^{[ 14 ]} para la coagulación sanguínea , ^{[ 15 ]} ondas de fisión ^{[ 16 ]} o sistemas de descarga de gas planares . ^{[ 17 ]}

Se sabe que los sistemas con más componentes permiten una variedad de fenómenos imposibles en sistemas con uno o dos componentes (por ejemplo, pulsos estables en más de una dimensión espacial sin retroalimentación global). ^{[ 18 ] En [ 19 ]} se presenta una introducción y una visión general sistemática de los posibles fenómenos en función de las propiedades del sistema subyacente.

En los últimos tiempos, los sistemas de reacción-difusión han atraído mucho interés como modelo prototipo para la formación de patrones . ^{[ 20 ]} Los patrones mencionados anteriormente (frentes, espirales, dianas, hexágonos, rayas y solitones disipativos) se pueden encontrar en varios tipos de sistemas de reacción-difusión a pesar de grandes discrepancias, por ejemplo, en los términos de reacción local. También se ha argumentado que los procesos de reacción-difusión son una base esencial para los procesos conectados con la morfogénesis en biología ^{[ 21 ] [ 22 ]} e incluso pueden estar relacionados con los pelajes de los animales y la pigmentación de la piel. ^{[ 23 ] [ 24 ]} Otras aplicaciones de las ecuaciones de reacción-difusión incluyen invasiones ecológicas, ^{[ 25 ]} propagación de epidemias, ^{[ 26 ]} crecimiento de tumores, ^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]} dinámica de ondas de fisión, ^{[ 30 ]} cicatrización de heridas ^{[ 31 ]} y alucinaciones visuales. ^{[ 32 ]} Otra razón del interés en los sistemas de reacción-difusión es que, aunque son ecuaciones diferenciales parciales no lineales, a menudo existen posibilidades de un tratamiento analítico. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 20 ]}

Hasta ahora, se han realizado experimentos bien controlables en sistemas de reacción-difusión química de tres maneras. Primero, se pueden usar reactores de gel ^{[ 36 ]} o tubos capilares llenos ^{[ 37 ]} . Segundo, se han investigado pulsos de temperatura en superficies catalíticas . ^{[ 38 ] [ 39 ]} Tercero, la propagación de pulsos nerviosos en movimiento se modela usando sistemas de reacción-difusión. ^{[ 11 ] [ 40 ]}

Además de estos ejemplos genéricos, se ha comprobado que, en circunstancias adecuadas, los sistemas de transporte eléctrico como los plasmas ^{[ 41 ]} o los semiconductores ^{[ 42 ]} pueden describirse mediante un enfoque de reacción-difusión. Para estos sistemas se han realizado diversos experimentos sobre la formación de patrones.

Un sistema de reacción-difusión puede resolverse utilizando métodos de matemáticas numéricas . Existen varios tratamientos numéricos en la literatura de investigación. ^{[ 43 ] [ 20 ] [ 44 ]} También se proponen métodos de solución numérica para geometrías complejas . ^{[ 45 ] [ 46 ]} Los sistemas de reacción-difusión se describen con el máximo grado de detalle con herramientas de simulación basadas en partículas como SRSim o ReaDDy ^{[ 47 ]} que emplean, entre otras cosas, dinámicas de reacción de partículas interactuantes reversibles. ^{[ 48 ]}

• Autowave : ondas no lineales autosostenibles en medios activos. 
• Reacción controlada por difusión : la velocidad de reacción es igual a la velocidad de transporte. 
• Cinética química : estudio de la velocidad de las reacciones químicas. 
• método del espacio de fases
• Reacciones autocatalíticas y creación de orden : reacción química cuyo producto es también su catalizador. Páginas que muestran breves descripciones de los destinos de redireccionamiento. 
• Formación de patrones : estudio de cómo se forman los patrones por autoorganización en la naturaleza. 
• Patrones en la naturaleza : regularidad visible de las formas que se encuentran en el mundo natural. 
• Onda viajera periódica – Tren de ondas de velocidad constante 
• Soluciones autosimilares : concepto en ecuaciones diferenciales parciales 
• Ecuación de difusión : ecuación que describe los cambios de densidad de un material que se difunde en un medio. 
• Geometría estocástica : estudio de patrones espaciales aleatorios. 
• Clon MClone
• La base química de la morfogénesis : artículo académico de Alan Turing de 1952. 
• Patrón de Turing : concepto de la biología evolutiva. 
• Modelado multiestado de biomoléculas

• ecuación de Fisher
• ecuación de Zeldovich-Frank-Kamenetskii
• Modelo de FitzHugh-Nagumo
• Pintura arrugada

• Reacción-difusión según el modelo de Gray-Scott: la parametrización de Pearson, un mapa visual del espacio de parámetros de la reacción-difusión de Gray-Scott.
• Una tesis sobre patrones de reacción-difusión con una visión general del campo.
• Herramienta RD: una aplicación web interactiva para la simulación de reacción-difusión.