Glosario de geometría algebraica

Este es un glosario de geometría algebraica .

Véase también el glosario de álgebra conmutativa , el glosario de geometría algebraica clásica y el glosario de teoría de anillos . Para las aplicaciones en teoría de números, véase el glosario de aritmética y geometría diofántica .

Para simplificar, a menudo se omite una referencia al esquema base; es decir, un esquema será un esquema sobre algún esquema base fijo S y un morfismo un S -morfismo.

${\displaystyle \eta }$

Un punto genérico . Por ejemplo, el punto asociado al ideal cero para cualquier esquema afín integral.

F ( n ), F ( D )

1. Si X es un esquema proyectivo con el haz retorcido de Serre  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$y si F es un${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo, entonces${\displaystyle F(n)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(n).}$

2. Si D es un divisor de Cartier y F es un  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo ( X arbitrario), entonces${\displaystyle F(D)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(D).}$Si D es un divisor de Weil y F es reflexivo, entonces se reemplaza F ( D ) por su envoltura reflexiva (y el resultado sigue llamándose F ( D )).

| D |

El sistema lineal completo de un divisor de Weil D en una variedad completa normal X sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k ; es decir,${\displaystyle |D|=\mathbf {P} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)))}$. Existe una biyección entre el conjunto de puntos k -racionales de | D | y el conjunto de divisores de Weil efectivos en X que son linealmente equivalentes a D . ^{[ 1 ]} Se utiliza la misma definición si D es un divisor de Cartier en una variedad completa sobre k .

[X/G]

La pila cociente de, digamos, un espacio algebraico X por una acción de un esquema de grupo G.

${\displaystyle X/\!/G}$

El cociente GIT de un esquema X por una acción de un esquema de grupo G.

L ⁿ

Una notación ambigua. Generalmente significa una potencia tensorial n -ésima de L , pero también puede significar el número de autointersección de L. Si${\displaystyle L={\mathcal {O}}_{X}}$, el haz de estructura en X , entonces significa la suma directa de n copias de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$.

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$

El haz de líneas tautológico . Es el dual del haz retorcido de Serre.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$.

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

El haz retorcido de Serre . Es el dual del haz de líneas tautológico.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$También se le denomina fibrado hiperplano.

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

1. Si D es un divisor de Cartier efectivo en X , entonces es el inverso del haz ideal de D.  

2. La mayoría de las veces,  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$es la imagen de D bajo el homomorfismo de grupo natural del grupo de divisores de Cartier al grupo de Picard.${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$de X , el grupo de clases de isomorfismo de haces de líneas en X.

3. En general,  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$es el haz correspondiente a un divisor de Weil D (en un esquema normal ). No necesita ser localmente libre, solo reflexivo .

4. Si D es un  ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-divisor, entonces${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$es${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$de la parte integral de D.

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$

1.  ${\displaystyle \Omega _ {X}^{1}}$es el haz de diferenciales de Kähler en X .

2.  ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$es la p -ésima potencia exterior de${\displaystyle \Omega _ {X}^{1}}$.

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$

1. Si p es 1, este es el haz de diferenciales de Kähler logarítmicos en X a lo largo de D (aproximadamente formas diferenciales con polos simples a lo largo de un divisor D ).  

2.  ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$es la p -ésima potencia exterior de${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$.

P ( V )

La notación es ambigua. Su significado tradicional es la proyectividad de un espacio vectorial k de dimensión finita V ; es decir, ${\displaystyle \mathbf {P} (V)=\operatorname {Proj} (k[V])=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V^{*}))}$ (el Proj del anillo de funciones polinómicas k [ V ]) y sus k puntos corresponden a líneas en V . En contraste, Hartshorne y EGA escriben P ( V ) para el Proj del álgebra simétrica de V .

Factor Q

Una variedad normal es${\displaystyle \mathbb {Q} }$-factorial si cada${\displaystyle \mathbb {Q} }$-El divisor de Weil es${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Cartier.

Especificación( R )

El conjunto de todos los ideales primos en un anillo R con topología de Zariski; se denomina espectro primo de R.

Especificación _X ( F )

El Spec relativo del álgebra O _X F. También se denota por Spec ( F ) o simplemente Spec( F ).

Especificación ( R )^​

El conjunto de todas las valoraciones para un anillo R con una cierta topología débil; se denomina espectro de Berkovich de R.

abeliano

1. Una variedad abeliana es una variedad de grupo completa. Por ejemplo, considérese la variedad compleja.  ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n}}$o una curva elíptica${\displaystyle E}$sobre un campo finito${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$.

2. Un esquema abeliano es una familia (plana) de variedades abelianas.  

fórmula de adjunción

1. Si D es un divisor de Cartier efectivo en una variedad algebraica X , ambos admiten haces dualizantes  ${\displaystyle \omega _{D},\omega _{X}}$, entonces la fórmula de adjunción dice: ${\displaystyle \omega _{D}=(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(D))|_{D}}$.

2. Si, además, X y D son suaves, entonces la fórmula es equivalente a decir:   ${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}}$ dónde${\displaystyle K_{D},K_{X}}$son divisores canónicos en D y X .

afín

1. El espacio afín es, aproximadamente, un espacio vectorial donde se ha olvidado cuál es el origen.  

2. Una variedad afín es una variedad en el espacio afín.  

3. Un esquema afín es un esquema que es el espectro primo de algún anillo conmutativo.  

4. Un morfismo se denomina afín si la preimagen de cualquier subconjunto afín abierto es también afín. En términos más técnicos, los morfismos afines se definen mediante la construcción global Spec para haces de álgebras O _X , definida por analogía con el espectro de un anillo . Los morfismos afines importantes son los haces vectoriales y los morfismos finitos .  

5. El cono afín sobre una subvariedad cerrada X de un espacio proyectivo es el Spec del anillo de coordenadas homogéneas de X.  

La geometría algebraica ocupó un lugar central en las matemáticas del siglo pasado. Los resultados más profundos de Abel, Riemann y Weierstrass, así como muchos de los trabajos más importantes de Klein y Poincaré, pertenecen a este campo. A finales del siglo pasado y principios del presente, la actitud hacia la geometría algebraica cambió abruptamente. El estilo de pensamiento que se desarrolló plenamente en la geometría algebraica en aquel entonces se alejaba demasiado del espíritu axiomático y de la teoría de conjuntos, que entonces determinaba el desarrollo de las matemáticas. Hacia mediados del presente siglo, la geometría algebraica había experimentado en gran medida este proceso de transformación. Como resultado, puede reclamar nuevamente la posición que alguna vez ocupó en las matemáticas.

— Del prefacio de IR Shafarevich , Geometría algebraica básica.

geometría algebraica

La geometría algebraica es una rama de las matemáticas que estudia las soluciones a las ecuaciones algebraicas.

geometría algebraica sobre el cuerpo con un elemento

Un objetivo es demostrar la hipótesis de Riemann . ^{[ 2 ]} Véase también el campo con un elemento y Peña, Javier López; Lorscheid, Oliver (2009-08-31). "Mapping F_1-land:An overview of geometries over the field with one element". arXiv : 0909.0069 [ math.AG ].así como ^{[ 3 ] [ 4 ]} .

grupo algebraico

Un grupo algebraico es una variedad algebraica que también es un grupo , de tal manera que las operaciones de grupo son morfismos de variedades.

esquema algebraico

Un esquema separado de tipo finito sobre un cuerpo. Por ejemplo, una variedad algebraica es un esquema algebraico irreducible reducido.

conjunto algebraico

Un conjunto algebraico sobre un cuerpo k es un esquema separado reducido de tipo finito sobre${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$Un conjunto algebraico irreducible se denomina variedad algebraica.

espacio algebraico

Un espacio algebraico es un cociente de un esquema mediante la relación de equivalencia étale .

variedad algebraica

Una variedad algebraica sobre un cuerpo k es un esquema separado integral de tipo finito sobre${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$. Tenga en cuenta que no asumir que k es algebraicamente cerrado causa cierta patología; por ejemplo,${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {C} \times _{\mathbb {R} }\operatorname {Spec} \mathbb {C} }$no es una variedad ya que el anillo de coordenadas${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$no es un dominio integral .

fibrado vectorial algebraico

Un haz localmente libre de rango finito.

amplio

Un fibrado de líneas en una variedad proyectiva es amplio si alguna potencia tensorial del mismo es muy amplia.

Geometría de Arakelov

Geometría algebraica sobre la compactificación de Spec del anillo de enteros racionales${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Véase geometría de Arakelov . ^{[ 5 ]}

género aritmético

El género aritmético de una variedad proyectiva X de dimensión r es${\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)}$.

Pila Artin

Otro término para pila algebraica .

artiniano

0-dimensional y noetheriano. La definición se aplica tanto a un esquema como a un anillo.

cambio base

Un producto fibrado de esquemas , en particular uno de un k -esquema X con especificación E para una extensión de campo E / k . 

Función Behrend

La característica de Euler ponderada de una pila (buena) X con respecto a la función de Behrend es el grado de la clase fundamental virtual de X.

Fórmula de trazas de Behrend

La fórmula de traza de Behrend generaliza la fórmula de traza de Grothendieck ; ambas fórmulas calculan la traza del Frobenius en la cohomología l -ádica.

grande

Un gran fibrado de líneas L sobre X de dimensión n es un fibrado de líneas tal que${\displaystyle \displaystyle \limsup _ {l\to \infty }\operatorname {dim} \Gamma (X,L^{l})/l^{n}>0}$.

morfismo birracional

Un morfismo birracional entre esquemas es un morfismo que se convierte en isomorfismo al restringirse a algún subconjunto abierto y denso. Uno de los ejemplos más comunes de un morfismo birracional es el morfismo inducido por una explosión.

explosión

Una explosión es una transformación birracional que reemplaza un subesquema cerrado con un divisor de Cartier efectivo. Precisamente, dado un esquema noetheriano X y un subesquema cerrado${\displaystyle Z\subset X}$, la explosión de X a lo largo de Z es un morfismo propio${\displaystyle \pi$ :{\widetilde {X}}\to X} tal que (1)${\displaystyle \pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$es un divisor de Cartier efectivo, llamado divisor excepcional , y (2)${\displaystyle \pi }$es universal con respecto a (1). Concretamente, se construye como el Proj relativo del álgebra de Rees de${\displaystyle O_{X}}$con respecto al haz ideal que determina Z.

Calabi-Yau

La métrica de Calabi-Yau es una métrica de Kähler cuya curvatura de Ricci es cero.

canónico

1. El haz canónico sobre una variedad normal X de dimensión n es  ${\displaystyle \omega _{X}=i_{*}\Omega _{U}^{n}}$donde i es la inclusión del lugar liso U y${\displaystyle \Omega _ {U}^{n}}$es el haz de formas diferenciales en U de grado n . Si el campo base tiene característica cero en lugar de normalidad, entonces se puede reemplazar i por una resolución de singularidades.

2. La clase canónica  ${\displaystyle K_{X}}$en una variedad normal X es la clase de divisores tal que${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}}$.

3. El divisor canónico es un representante de la clase canónica.  ${\displaystyle K_{X}}$denotado por el mismo símbolo (y no bien definido).

4. El anillo canónico de una variedad normal X es el anillo de sección del haz canónico .  

modelo canónico

El modelo canónico es el Proj de un anillo canónico (suponiendo que el anillo es finitamente generado).

Cartier

Un divisor de Cartier efectivo D en un esquema X sobre S es un subesquema cerrado de X que es plano sobre S y cuyo haz ideal es invertible (localmente libre de rango uno).

Regularidad de Castelnuovo-Mumford

La regularidad de Castelnuovo-Mumford de un haz coherente F en un espacio proyectivo${\displaystyle f:\mathbf {P} _{S}^{n}\to S}$sobre un esquema S es el entero más pequeño r tal que

${\displaystyle R^{i}f_{*}F(ri)=0}$

para todo i > 0.

de cadena

Un esquema es catenario si todas las cadenas entre dos subesquemas cerrados irreducibles tienen la misma longitud. Los ejemplos incluyen prácticamente todo, como las variedades sobre un cuerpo, y es difícil construir ejemplos que no sean catenarios.

fibra central

Una fibra especial.

Grupo Chow

El grupo k -ésimo de Chow${\displaystyle A_{k}(X)}$de una variedad suave X es el grupo abeliano libre generado por subvariedades cerradas de dimensión k (grupo de k - ciclos ) módulo equivalencias racionales .

clasificación

1. La clasificación es un principio rector en todas las matemáticas, donde se intenta describir todos los objetos que satisfacen ciertas propiedades hasta equivalencias dadas mediante datos más accesibles, como invariantes o incluso algún proceso constructivo. En geometría algebraica se distingue entre invariantes discretos y continuos. Para los invariantes de clasificación continuos, se intenta además proporcionar alguna estructura geométrica que dé lugar a espacios de módulos .  

2. Las curvas suaves completas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se clasifican, salvo equivalencia racional, por su género.  ${\displaystyle g}$. (a)${\displaystyle g=0}$Curvas racionales , es decir, la curva es birracional respecto a la línea proyectiva .${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$. (b)${\displaystyle g=1}$. Curvas elípticas , es decir, la curva es un esquema de grupo unidimensional completo después de elegir cualquier punto de la curva como identidad. (c)${\displaystyle g\geq 2}$Curvas hiperbólicas , también llamadas curvas de tipo general . Véanse las curvas algebraicas para ejemplos . La clasificación de las curvas suaves puede refinarse mediante el grado para curvas proyectivamente incrustadas , en particular cuando se restringe a curvas planas . Nótese que todas las curvas suaves completas son proyectivas en el sentido de que admiten incrustaciones en el espacio proyectivo, pero para que el grado esté bien definido, se debe especificar explícitamente la elección de dicha incrustación. La aritmética de una curva suave completa sobre un cuerpo numérico (en particular, el número y la estructura de sus puntos racionales) se rige por la clasificación de la base de curvas asociada, transformada en una clausura algebraica. Véase el teorema de Faltings para más detalles sobre las implicaciones aritméticas.

3. Clasificación de superficies lisas completas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado salvo equivalencia racional. Para más detalles, consulte la descripción general de la clasificación o la clasificación de Enriques-Kodaira .  

4. Clasificación de singularidades o vecindades de Zariski asociadas sobre cuerpos algebraicamente cerrados salvo isomorfismo. (a) En característica 0, el resultado de resolución de Hironaka asocia invariantes a una singularidad que la clasifican. (b) Para curvas y superficies, la resolución se conoce en cualquier característica y también proporciona una clasificación. Véase aquí para curvas o aquí para curvas y superficies .  

5. Clasificación de las variedades de Fano en pequeñas dimensiones.  

6. El programa de modelo mínimo es un método para la clasificación birracional de variedades suaves completas en dimensiones superiores (al menos 2). Si bien el objetivo original se centra en las variedades suaves, las singularidades terminales aparecen de forma natural y forman parte de una clasificación más amplia.  

7. Clasificación de grupos reductivos escindidos salvo isomorfismo sobre cuerpos algebraicamente cerrados.  

pila de clasificación

Un análogo de un espacio clasificador para torsores en geometría algebraica; véase pila clasificadora .

cerrado

Los subesquemas cerrados de un esquema X se definen como aquellos que aparecen en la siguiente construcción. Sea J un haz cuasi-coherente de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$- ideales . El soporte del haz cociente${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/J}$es un subconjunto cerrado Z de X y${\displaystyle (Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})}$es un esquema llamado subesquema cerrado definido por el haz cuasi-coherente de ideales J . ^{[ 6 ]} La razón por la que la definición de subesquemas cerrados se basa en tal construcción es que, a diferencia de los subconjuntos abiertos, un subconjunto cerrado de un esquema no tiene una estructura única como subesquema.

Cohen-Macaulay

Un esquema se llama Cohen-Macaulay si todos los anillos locales son Cohen-Macaulay . Por ejemplo, los esquemas regulares y Spec k [ x,y ]/( xy ) son Cohen-Macaulay, pero no lo es.

haz coherente

Un haz coherente en un esquema noetheriano X es un haz cuasi-coherente que se genera finitamente como O _X -módulo.

cónico

Una curva algebraica de grado dos.

conectado

El esquema es conexo como espacio topológico. Dado que los componentes conexos refinan los componentes irreducibles, cualquier esquema irreducible es conexo, pero no a la inversa. Un esquema afín Spec(R) es conexo si y solo si el anillo R no posee idempotentes distintos de 0 y 1; dicho anillo también se denomina anillo conexo . Ejemplos de esquemas conexos incluyen el espacio afín , el espacio proyectivo , y un ejemplo de esquema no conexo es Spec ( k [ x ] × k [ x ]).

compactación

Véase, por ejemplo, el teorema de compactificación de Nagata .

Anillo Cox

Una generalización de un anillo de coordenadas homogéneas. Véase anillo de Cox .

crepitante

Un morfismo crepitante${\displaystyle f:X\to Y}$entre variedades normales existe un morfismo tal que${\displaystyle f^{*}\omega _{Y}=\omega _{X}}$.

curva

Una variedad algebraica de dimensión uno.

deformación

Dejar${\displaystyle S\to S'}$Sea X un morfismo de esquemas y X un esquema S. Entonces, una deformación X ' de X es un esquema S ' junto con un cuadrado de retroceso en el que X es el retroceso de X ' (típicamente se supone que X ' es plano ).

locus de degeneración

Dado un mapa de haces vectoriales${\displaystyle f:E\to F}$sobre una variedad X (es decir, un esquema X -morfismo entre los espacios totales de los fibrados), el lugar de degeneración es el lugar (teórico de esquemas) ${\displaystyle X_{k}(f)=\{x\in X|\operatorname {rk} (f(x))\leq k\}}$.

degeneración

1. Se dice que un esquema X degenera en un esquema  ${\displaystyle X_{0}}$(llamado límite de X ) si existe un esquema${\displaystyle \pi :Y\to \mathbf {A} ^{1}}$con fibra genérica X y fibra especial${\displaystyle X_{0}}$.

2. Una degeneración plana es una degeneración tal que  ${\displaystyle \pi }$es plano.

dimensión

La dimensión , por definición la longitud máxima de una cadena de subesquemas cerrados irreducibles, es una propiedad global. Se puede observar localmente si un esquema es irreducible. Depende únicamente de la topología, no del haz estructural. Véase también Dimensión global . Ejemplos: esquemas equidimensionales en dimensión 0: esquemas artinianos , 1: curvas algebraicas , 2: superficies algebraicas .

grado

1. El grado de un fibrado lineal L en una variedad completa es un entero d tal que  ${\displaystyle \chi (L^{\otimes m})={d \over n!}m^{n}+O(m^{n-1})}$.

2. Si x es un ciclo en una variedad completa  ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} k}$sobre un campo k , entonces su grado es${\displaystyle f_{*}(x)\in A_{0}(\operatorname {Spec} k)=\mathbb {Z} }$.

3. Para el grado de un morfismo finito, véase morfismo de variedades#Grado de un morfismo finito .  

geometría algebraica derivada

Un enfoque de la geometría algebraica utilizando espectros de anillos ( conmutativos ) en lugar de anillos conmutativos ; véase geometría algebraica derivada .

divisorial

1. Un haz divisorial en una variedad normal es un haz reflexivo de la forma O _X ( D ) para algún divisor de Weil D .  

2. Un esquema divisorial es un esquema que admite una amplia familia de haces invertibles. Un esquema que admite un haz invertible amplio es un ejemplo básico.  

dominante

Un morfismo f  : X → Y se llama dominante si la imagen f ( X ) es densa . Un morfismo de esquemas afines Spec A → Spec B es denso si y solo si el núcleo del mapeo correspondiente B → A está contenido en el nilradical de B.

complejo dualizante

Véase Dualidad coherente .

haz dualizador

En un esquema proyectivo de Cohen-Macaulay de dimensión pura n , el haz dualizante es un haz coherente.${\displaystyle \omega }$en X tal que ${\displaystyle H^{n-i}(X,F^{\vee }\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}}$ se cumple para cualquier haz localmente libre F en X ; por ejemplo, si X es una variedad proyectiva lisa, entonces es un haz canónico .

Elementos de geometría algébrique

El EGA fue un intento incompleto de sentar las bases de la geometría algebraica a partir de la noción de esquema , una generalización de la variedad algebraica. El Séminaire de géométrie algébrique retoma el trabajo donde lo dejó el EGA. Hoy en día es una de las obras de referencia estándar en geometría algebraica.

curva elíptica

Una curva elíptica es una curva proyectiva suave de género uno.

esencialmente de tipo finito

Localización de un esquema de tipo finito.

equidimensional

Un esquema cuyos componentes irreducibles tienen la misma dimensión. Véase también §  dimensión pura .

étale

Un morfismo f  : Y → X es étale si es plano y no ramificado. Existen otras definiciones equivalentes. En el caso de variedades lisas${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , los morfismos étales son precisamente aquellos que inducen un isomorfismo de espacios tangentes.${\displaystyle df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X}$lo cual coincide con la noción habitual de mapa étale en geometría diferencial. Los morfismos étale forman una clase muy importante de morfismos; se utilizan para construir la llamada topología étale y, por consiguiente, la cohomología étale , que hoy en día es una de las piedras angulares de la geometría algebraica.

secuencia de Euler

La secuencia exacta de las gavillas:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbf {P} ^{n}\to 0,}$

donde P ⁿ es el espacio proyectivo sobre un cuerpo y el último término no nulo es el haz tangente , se llama secuencia de Euler .

teoría de la intersección equivariante

Consulte el Capítulo II de http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf

F -regular

Relacionado con el morfismo de Frobenius . ^{[ 7 ]}

Fano

Una variedad Fano es una variedad proyectiva suave X cuyo haz anticanónico${\displaystyle \omega _{X}^{-1}}$es suficiente.

fibra

Dado${\displaystyle f:X\to Y}$Entre esquemas, la fibra de f sobre y es, como conjunto, la preimagen.${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\}}$; tiene la estructura natural de un esquema sobre el campo residual de y como producto fibrado${\displaystyle X\times _{Y}\{y\}}$, dónde${\displaystyle \{y\}}$tiene la estructura natural de un esquema sobre Y como Spec del campo residual de y .

producto de fibra

1. Otro término para el " retroceso " en la teoría de categorías. En particular, producto fibrado de esquemas .  

2. Una pila  ${\displaystyle F\times _{G}H}$dado para${\displaystyle f:F\to G,g:H\to G}$: un objeto sobre B es una terna ( x , y , ψ), x en F ( B ), y en H ( B ), ψ un isomorfismo${\displaystyle f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)}$en G ( B ); una flecha de ( x , y , ψ) a ( x' , y ' , ψ') es un par de morfismos${\displaystyle \alpha :x\to x',\beta :y\to y'}$de tal manera que${\displaystyle \psi '\circ f(\alpha )=g(\beta )\circ \psi }$. El cuadrado resultante con proyecciones obvias no conmuta; más bien, conmuta salvo isomorfismo natural; es decir, es 2-conmutativo .

final

Una de las ideas fundamentales de Grothendieck es enfatizar las nociones relativas , es decir, las condiciones sobre los morfismos en lugar de las condiciones sobre los esquemas mismos. La categoría de esquemas tiene un objeto final , el espectro del anillo.${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros; de modo que cualquier esquema${\displaystyle S}$Se acabó${\displaystyle {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}$y de una manera única.

finito

El morfismo f  : Y → X es finito si${\displaystyle X}$pueden estar cubiertos por conjuntos abiertos afines${\displaystyle {\text{Spec }}B}$de tal manera que cada${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$es afín — digamos de la forma${\displaystyle {\text{Spec }}A}$— y además${\displaystyle A}$se genera de forma finita como un${\displaystyle B}$-módulo. Véase morfismo finito . Los morfismos finitos son cuasifinitos, pero no todos los morfismos con fibras finitas son cuasifinitos, y los morfismos de tipo finito generalmente no lo son.

tipo finito (localmente)

El morfismo f  : Y → X es localmente de tipo finito si${\displaystyle X}$pueden estar cubiertos por conjuntos abiertos afines${\displaystyle {\text{Spec }}B}$de tal manera que cada imagen inversa${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$está cubierto por conjuntos abiertos afines${\displaystyle {\text{Spec }}A}$donde cada${\displaystyle A}$se genera de forma finita como un${\displaystyle B}$-álgebra. El morfismo f  : Y → X es de tipo finito si${\displaystyle X}$pueden estar cubiertos por conjuntos abiertos afines${\displaystyle {\text{Spec }}B}$de tal manera que cada imagen inversa${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$está cubierto por un número finito de conjuntos abiertos afines.${\displaystyle {\text{Spec }}A}$donde cada${\displaystyle A}$se genera de forma finita como un${\displaystyle B}$-álgebra.

fibras finitas

El morfismo f  : Y → X tiene fibras finitas si la fibra sobre cada punto${\displaystyle x\in X}$es un conjunto finito. Un morfismo es cuasifinito si es de tipo finito y tiene fibras finitas.

presentación finita

Si y es un punto de Y , entonces el morfismo f es de presentación finita en y (o finitamente presentado en y ) si existe un entorno afín abierto U de f(y) y un entorno afín abierto V de y tal que f ( V )  ⊆ U y ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V)}$es un álgebra presentada de forma finita sobre${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$El morfismo f es localmente de presentación finita si es finitamente presentado en todos los puntos de Y. Si X es localmente noetheriano, entonces f es localmente de presentación finita si, y solo si, es localmente de tipo finito. ^{[ 8 ]} El morfismo f  : Y → X es de presentación finita (o Y es finitamente presentado sobre X ) si es localmente de presentación finita, cuasicompacto y cuasi-separado. Si X es localmente noetheriano, entonces f es de presentación finita si, y solo si, es de tipo finito. ^{[ 9 ]}

variedad de bandera

La variedad de banderas parametriza una bandera de espacios vectoriales.

departamento

Un morfismo${\displaystyle f}$es plano si da lugar a un mapa plano en tallos. Al ver un morfismo f  : Y → X como una familia de esquemas parametrizados por los puntos de${\displaystyle X}$, el significado geométrico de planitud podría describirse aproximadamente diciendo que las fibras${\displaystyle f^{-1}(x)}$no varíen demasiado.

formal

Véase el esquema formal .

grado^​_​

Dada una curva C , un divisor D en ella y un subespacio vectorial${\displaystyle V\subset H^{0}(C,{\mathcal {O}}(D))}$, se dice que el sistema lineal${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$es ag ^r _d si V tiene dimensión r +1 y D tiene grado d . Se dice que C tiene ag ^r _d si existe tal sistema lineal.

Teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg

El teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg establece que un esquema X puede recuperarse de la categoría de haces cuasi-coherentes sobre X. [ ^{10 ]} Este teorema constituye un punto de partida para la geometría algebraica no conmutativa, ^ya que, al tomarlo como axioma, definir un esquema no conmutativo equivale a definir la categoría de haces cuasi-coherentes sobre él. Véase también https://mathoverflow.net/q/16257

Paquete G

Un paquete G principal.

punto genérico

Un punto denso.

género

Ver #género aritmético , #género geométrico .

fórmula del género

La fórmula del género para una curva nodal en el plano proyectivo dice que el género de la curva viene dado por ${\displaystyle g=(d-1)(d-2)/2-\delta }$ donde d es el grado de la curva y δ es el número de nodos (que es cero si la curva es suave).

género geométrico

El género geométrico de una variedad proyectiva lisa X de dimensión n es ${\displaystyle \dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatorname {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ (donde la igualdad es el teorema de dualidad de Serre ).

punto geométrico

1. El espectro primo de un cuerpo algebraicamente cerrado.  

2. Un punto racional .  

propiedad geométrica

Una propiedad de un esquema X sobre un cuerpo k es " geométrica " ​​si se cumple para${\displaystyle X_{E}=X\times _{\operatorname {Spec} k}{\operatorname {Spec} E}}$para cualquier extensión de campo${\displaystyle E/k}$.

cociente geométrico

El cociente geométrico de un esquema X con la acción de un esquema de grupo G es un buen cociente tal que las fibras son órbitas.

gerbe

Una gerbe es (aproximadamente) una pila que no está vacía localmente y en la que dos objetos son isomorfos localmente.

Cociente GIT

El coeficiente GIT${\displaystyle X/\!/G}$es${\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})}$cuando${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$y${\displaystyle \operatorname {Proj} (A^{G})}$cuando${\displaystyle X=\operatorname {Proj} A}$.

buen coeficiente

El cociente bueno de un esquema X con la acción de un esquema de grupo G es un morfismo invariante.${\displaystyle f:X\to Y}$de tal manera que${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}={\mathcal {O}}_{Y}.}$

Gorenstein

1. Un esquema de Gorenstein es un esquema localmente noetheriano cuyos anillos locales son anillos de Gorenstein .  

2. Se dice que una variedad normal es  ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Gorenstein si el divisor canónico en él es${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Cartier (y no necesariamente Cohen–Macaulay).

3. Algunos autores llaman a una variedad normal Gorenstein si el divisor canónico es Cartier; tenga en cuenta que este uso es inconsistente con el significado 1.  

Teorema de desaparición de Grauert-Riemenschneider

El teorema de desaparición de Grauert-Riemenschneider extiende el teorema de desaparición de Kodaira a haces de imágenes directas de orden superior; véase también https://arxiv.org/abs/1404.1827

Anillo de variedades de Grothendieck

El anillo de Grothendieck de variedades es el grupo abeliano libre generado por clases de isomorfismo de variedades con la relación: ${\displaystyle [X]=[Z]+[X-Z]}$ donde Z es una subvariedad cerrada de una variedad X y está equipada con la multiplicación ${\displaystyle [X]\cdot [Y]=[X\times Y].}$

Teorema de desaparición de Grothendieck

El teorema de desaparición de Grothendieck se refiere a la cohomología local .

plan de grupo

Un esquema de grupo es un esquema cuyos conjuntos de puntos tienen las estructuras de un grupo .

variedad de grupos

Un término antiguo para referirse a un grupo algebraico "suave".

polinomio de Hilbert

El polinomio de Hilbert de un esquema proyectivo X sobre un cuerpo es la característica de Euler.${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))}$.

Paquete Hodge

El fibrado de Hodge en el espacio de módulos de curvas (de género fijo) es aproximadamente un fibrado vectorial cuya fibra sobre una curva C es el espacio vectorial${\displaystyle \Gamma (C,\omega _{C})}$.

hiperelíptico

Una curva es hiperelíptica si tiene un g ¹ ₂ (es decir, hay un sistema lineal de dimensión 1 y grado 2).

haz de hiperplanos

Otro término para el haz retorcido de Serre${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$. Es el dual del haz de líneas tautológico (de ahí el término).

imagen

Si f  : Y → X es cualquier morfismo de esquemas, la imagen teórica de esquemas de f es el único subesquema cerrado i  : Z → X que satisface la siguiente propiedad universal :

1. Los factores f pasan por i ,
2. Si j  : Z ′ → X es cualquier subesquema cerrado de X tal que f se factoriza a través de j , entonces i también se factoriza a través de j . ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Esta noción es distinta de la imagen usual de f , f ( Y ). Por ejemplo, el espacio subyacente de Z siempre contiene (pero no necesariamente es igual a) la clausura de Zariski de f ( Y ) en X , así que si Y es cualquier subesquema abierto (y no cerrado) de X y f es la aplicación de inclusión, entonces Z es diferente de f ( Y ). Cuando Y es reducido, entonces Z es la clausura de Zariski de f ( Y ) dotada de la estructura de subesquema cerrado reducido. Pero en general, a menos que f sea cuasicompacto, la construcción de Z no es local en X .

inmersión

Las inmersiones f  : Y → X son aplicaciones que se factorizan mediante isomorfismos con subesquemas. Específicamente, una inmersión abierta se factoriza mediante un isomorfismo con un subesquema abierto y una inmersión cerrada se factoriza mediante un isomorfismo con un subesquema cerrado. ^{[ 13 ]} De forma equivalente, f es una inmersión cerrada si y solo si induce un homeomorfismo del espacio topológico subyacente de Y a un subconjunto cerrado del espacio topológico subyacente de X , y si el morfismo${\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$es sobreyectiva. ^{[ 14 ]} Una composición de inmersiones es de nuevo una inmersión. ^{[ 15 ]} Algunos autores, como Hartshorne en su libro Geometría algebraica y Q. Liu en su libro Geometría algebraica y curvas aritméticas , definen las inmersiones como la composición de una inmersión abierta seguida de una inmersión cerrada. Estas inmersiones son inmersiones en el sentido anterior, pero lo contrario es falso. Además, bajo esta definición, la composición de dos inmersiones no es necesariamente una inmersión. Sin embargo, las dos definiciones son equivalentes cuando f es cuasicompacto. ^{[ 16 ]} Nótese que una inmersión abierta se describe completamente por su imagen en el sentido de espacios topológicos, mientras que una inmersión cerrada no:${\displaystyle \operatorname {Spec} A/I}$y${\displaystyle \operatorname {Spec} A/J}$Puede ser homeomorfo pero no isomorfo. Esto ocurre, por ejemplo, si I es el radical de J pero J no es un ideal radical. Al especificar un subconjunto cerrado de un esquema sin mencionar su estructura, generalmente se hace referencia a la denominada estructura reducida , es decir, la estructura del esquema correspondiente al único ideal radical formado por todas las funciones que se anulan en dicho subconjunto cerrado.

esquema ind

Un esquema ind es un límite inductivo de inmersiones cerradas de esquemas.

haz invertible

Un haz localmente libre de rango uno. Equivalentemente, es un torsor para el grupo multiplicativo.${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$(es decir, paquete de líneas).

integral

Un esquema que es a la vez reducido e irreducible se denomina integral . Para esquemas localmente noetherianos, ser integral equivale a ser un esquema conexo cubierto por los espectros de dominios integrales . (Estrictamente hablando, esta no es una propiedad local, ya que la unión disjunta de dos esquemas integrales no es integral. Sin embargo, para esquemas irreducibles, sí es una propiedad local). Por ejemplo, el esquema Spec k [ t ]/ f , f polinomio irreducible es integral, mientras que Spec A × B ( A , B ≠ 0) no lo es.

irreducible

Se dice que un esquema X es irreducible cuando (como espacio topológico) no es la unión de dos subconjuntos cerrados excepto si uno es igual a X. Usando la correspondencia de ideales primos y puntos en un esquema afín, esto significa que X es irreducible si y solo si X es conexo y los anillos A _i tienen todos exactamente un ideal primo mínimo . (Los anillos que poseen exactamente un ideal primo mínimo también se llaman, por lo tanto, irreducibles ). Cualquier esquema noetheriano puede escribirse de forma única como la unión de un número finito de subconjuntos cerrados no vacíos irreducibles maximales, llamados sus componentes irreducibles . El espacio afín y el espacio proyectivo son irreducibles, mientras que Spec k [ x,y ]/( xy ) = no lo es.

variedad jacobita

La variedad jacobiana de una curva proyectiva X es la parte de grado cero de la variedad de Picard.${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$.

Teorema de desaparición de Kempf

El teorema de desaparición de Kempf se refiere a la desaparición de la cohomología superior de una variedad de banderas.

klt

Abreviatura de " terminal de registro de kawamata "

Dimensión de Kodaira

1. La dimensión de Kodaira (también llamada dimensión de Iitaka ) de un haz de líneas semiamplias L es la dimensión de Proj del anillo de sección de L.  

2. La dimensión de Kodaira de una variedad normal X es la dimensión de Kodaira de su haz canónico.  

Teorema de desaparición de Kodaira

Véase el teorema de desaparición de Kodaira .

mapa de Kuranishi

Ver la estructura de Kuranishi .

Número de Lelong

Ver número de Lelong .

estructura de niveles

Consulte http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf

linealización

Otro término para la estructura de un haz /fibrado vectorial equivariante.

local

Las propiedades más importantes de los esquemas son de naturaleza local , es decir, un esquema X tiene cierta propiedad P si y solo si para cualquier cobertura de X por subesquemas abiertos X _i , es decir X =${\displaystyle \cup }$X _i , cada X _i tiene la propiedad P . Por lo general, basta con comprobar una cobertura, no todas las posibles. También se dice que una propiedad determinada es Zariski-local si es necesario distinguir entre la topología de Zariski y otras topologías posibles, como la topología étale . Consideremos un esquema X y una cobertura mediante subesquemas abiertos afines Spec A _i . Utilizando el diccionario entre anillos (conmutativos) y esquemas afines, las propiedades locales son, por lo tanto, propiedades de los anillos A _i . Una propiedad P es local en el sentido anterior si y solo si la propiedad correspondiente de los anillos es estable bajo localización . Por ejemplo, podemos hablar de esquemas localmente noetherianos , es decir, aquellos que están cubiertos por los espectros de anillos noetherianos . El hecho de que las localizaciones de un anillo noetheriano sigan siendo noetherianas significa entonces que la propiedad de un esquema de ser localmente noetheriano es local en el sentido anterior (de ahí el nombre). Otro ejemplo: si un anillo es reducido (es decir, no tiene elementos nilpotentes distintos de cero ), entonces sus localizaciones también lo son. Un ejemplo de propiedad no local es la separabilidad (véase más abajo la definición). Cualquier esquema afín es separado, por lo tanto, cualquier esquema es localmente separado. Sin embargo, las piezas afines pueden unirse patológicamente para producir un esquema no separado. La siguiente es una lista (no exhaustiva) de propiedades locales de los anillos, que se aplican a los esquemas. Sea X =${\displaystyle \cup }$_Sea A una cobertura de un esquema mediante subesquemas afines abiertos. Para mayor claridad, sea k un cuerpo en lo siguiente. La mayoría de los ejemplos también funcionan con los enteros Z como base, o incluso con bases más generales. Conexo, irreducible, reducido, integral, normal, regular, Cohen-Macaulay, localmente noetheriano, dimensión, catenaria, Gorenstein.

intersección completa local

Los anillos locales son anillos de intersección completos . Véase también: incrustación regular .

uniformización local

La uniformización local es un método para construir una forma más débil de resolución de singularidades mediante anillos de valuación .

factorial local

Los anillos locales son dominios de factorización únicos .

localmente de presentación finita

Véase la presentación finita anterior.

localmente de tipo finito

El morfismo f  : Y → X es localmente de tipo finito si${\displaystyle X}$pueden estar cubiertos por conjuntos abiertos afines${\displaystyle {\text{Spec }}B}$de tal manera que cada imagen inversa${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$está cubierto por conjuntos abiertos afines${\displaystyle {\text{Spec }}A}$donde cada${\displaystyle A}$se genera de forma finita como un${\displaystyle B}$-álgebra.

localmente noetheriano

Un esquema X cubierto por Spec A _i , donde los A _i son anillos noetherianos . Si además un número finito de tales espectros afines cubren X , el esquema se llama noetheriano . Si bien es cierto que el espectro de un anillo noetheriano es un espacio topológico noetheriano , lo contrario es falso. Por ejemplo, la mayoría de los esquemas en geometría algebraica de dimensión finita son localmente noetherianos, pero ${\displaystyle GL_{\infty }=\cup GL_{n}}$no lo es.

geometría logarítmica

estructura del registro

Véase la estructura del registro . El concepto se debe a Fontaine-Illusie y Kato.

grupo de bucles

Véase grupo de bucles (el artículo enlazado no trata sobre un grupo de bucles en geometría algebraica; por ahora, véase también ind-scheme ).

módulos

Véase, por ejemplo, el espacio de módulos .

Si bien gran parte del trabajo inicial sobre módulos, especialmente desde [Mum65], se centró en la construcción de espacios de módulos finos o gruesos, recientemente el énfasis se ha desplazado hacia el estudio de las familias de variedades, es decir, hacia los functores de módulos y las pilas de módulos. La tarea principal consiste en comprender qué tipo de objetos forman familias "agradables". Una vez establecido un buen concepto de "familias agradables", la existencia de un espacio de módulos grueso debería ser casi automática. El espacio de módulos grueso ya no es el objeto fundamental, sino simplemente una forma conveniente de registrar cierta información que solo está latente en el functor de módulos o la pila de módulos.

— Kollár, János, Capítulo 1 , "Libro sobre módulos de superficies".

Programa de modelos mínimos de Mori

El programa de modelo mínimo es un programa de investigación que tiene como objetivo realizar una clasificación birracional de variedades algebraicas de dimensión mayor que 2.

morfismo

1. Un morfismo de variedades algebraicas viene dado localmente por polinomios.  

2. Un morfismo de esquemas es un morfismo de espacios localmente anillados .  

3. Un morfismo  ${\displaystyle f:F\to G}$de pilas (sobre, por ejemplo, la categoría de esquemas S ) es un functor tal que${\displaystyle P_{G}\circ f=P_{F}}$dónde${\displaystyle P_{F},P_{G}}$son mapas de estructura a la categoría base.

nef

Ver paquete de línea nef .

no singular

Un término arcaico para "suave", como en una variedad suave .

normal

1. Un esquema integral se denomina normal si los anillos locales son dominios integralmente cerrados . Por ejemplo, todos los esquemas regulares son normales, mientras que las curvas singulares no lo son.  

2. Una curva suave  ${\displaystyle C\subset \mathbf {P} ^{r}}$Se dice que es k -normal si las hipersuperficies de grado k cortan la serie lineal completa.${\displaystyle |{\mathcal {O}}_{C}(k)|}$Es proyectivamente normal si es k -normal para todo k > 0. Por lo tanto, se dice que "una curva es proyectivamente normal si el sistema lineal que la contiene es completo". El término "linealmente normal" es sinónimo de 1-normal.

3. Una subvariedad cerrada  ${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{r}}$Se dice que es proyectivamente normal si el recubrimiento afín sobre X es un esquema normal ; es decir, el anillo de coordenadas homogéneas de X es un dominio integralmente cerrado. Este significado es consistente con el de 2.

normal

1. Si X es un subesquema cerrado de un esquema Y con haz ideal I , entonces el haz normal a X es  ${\displaystyle (I/I^{2})^{*}={\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{Y}}(I/I^{2},{\mathcal {O}}_{Y})}$. Si la incrustación de X en Y es regular , es localmente libre y se denomina fibrado normal .

2. El cono normal a X es  ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})}$. si X está incrustado regularmente en Y , entonces el cono normal es isomorfo a${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}({\mathcal {S}}ym(I/I^{2}))}$, el espacio total del fibrado normal a X .

cruces normales

Las abreviaturas nc corresponden a cruce normal y snc a cruce normal simple. Se refieren a varias nociones estrechamente relacionadas, como divisor nc, singularidad nc, divisor snc y singularidad snc. Véase cruces normales .

generado normalmente

Se dice que un fibrado de líneas L sobre una variedad X se genera normalmente si, para cada entero n > 0, el mapa natural${\displaystyle \Gamma (X,L)^{\otimes n}\to \Gamma (X,L^{\otimes n})}$es sobreyectiva.

abierto

1. Un morfismo f : Y → X de esquemas se denomina abierto ( cerrado ) si la aplicación subyacente de espacios topológicos es abierta (cerrada, respectivamente), es decir, si los subesquemas abiertos de Y se corresponden con subesquemas abiertos de X (y de forma similar para los cerrados). Por ejemplo, los morfismos planos finitamente presentados son abiertos y las aplicaciones propias son cerradas.   

2. Un subesquema abierto de un esquema X es un subconjunto abierto U con estructura de haz  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$. ^{[ 14 ]}

orbifold

Hoy en día, un orbifold se define a menudo como una pila de Deligne-Mumford sobre la categoría de variedades diferenciables. ^{[ 17 ]}

grupo p -divisible

Véase grupo p -divisible (aproximadamente un análogo de los puntos de torsión de una variedad abeliana).

lápiz

Un sistema lineal de dimensión uno.

Grupo Picard

El grupo de Picard de X es el grupo de las clases de isomorfismo de haces de líneas en X , siendo la multiplicación el producto tensorial .

Incrustación de Plücker

La incrustación de Plücker es la incrustación cerrada de la variedad grassmanniana en un espacio proyectivo.

plurigénero

El n -ésimo plurigénero de una variedad proyectiva lisa es${\displaystyle \dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})}$. Véase también el número de Hodge .

Mapa de residuos de Poincaré

Ver residuo de Poincaré .

punto

Un plan${\displaystyle S}$es un espacio localmente anillado , por lo tanto , a fortiori un espacio topológico , pero los significados de punto de${\displaystyle S}$son triples:

1. un punto${\displaystyle P}$del espacio topológico subyacente;
2. a${\displaystyle T}$-punto valioso de${\displaystyle S}$es un morfismo de${\displaystyle T}$a${\displaystyle S}$, para cualquier plan${\displaystyle T}$;
3. un punto geométrico , donde${\displaystyle S}$está definido sobre (está equipado con un morfismo a)${\displaystyle {\textrm {Spec}}(K)}$, dónde${\displaystyle K}$es un campo , es un morfismo de${\displaystyle {\textrm {Spec}}({\overline {K}})}$a${\displaystyle S}$dónde${\displaystyle {\overline {K}}}$es un cierre algebraico de${\displaystyle K}$.

Los puntos geométricos son lo que en los casos más clásicos, por ejemplo las variedades algebraicas que son variedades complejas , serían los puntos en sentido ordinario. Los puntos${\displaystyle P}$del espacio subyacente incluyen análogos de los puntos genéricos (en el sentido de Zariski , no en el de André Weil ), que se especializan en puntos en sentido ordinario.${\displaystyle T}$Los puntos con valor se conciben, a través del lema de Yoneda , como una forma de identificar${\displaystyle S}$con el functor representable${\displaystyle h_{S}}$Se configura. Históricamente, existía un proceso mediante el cual la geometría proyectiva añadía más puntos ( por ejemplo, puntos complejos, línea en el infinito ) para simplificar la geometría refinando los objetos básicos.${\displaystyle T}$Los puntos con valor nominal supusieron un gran avance.

Como parte del enfoque predominante de Grothendieck , existen tres nociones correspondientes de fibra de un morfismo: la primera es la simple imagen inversa de un punto. Las otras dos se forman creando productos de fibra de dos morfismos. Por ejemplo, una fibra geométrica de un morfismo.${\displaystyle S^{\prime }\to S}$se considera como ${\displaystyle S^{\prime }\times _{S}{\textrm {Spec}}({\overline {K}})}$.

Esto convierte la extensión desde los esquemas afines , donde se trata simplemente del producto tensorial de R-álgebras , a todos los esquemas de la operación de producto fibrado en un resultado significativo (aunque técnicamente anodino).

polarización

una incrustación en un espacio proyectivo

Proyecto

Ver construcción del proyecto .

fórmula de proyección

La fórmula de proyección dice que, para un morfismo${\displaystyle f:X\to Y}$de esquemas, un${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo${\displaystyle {\mathcal {F}}}$y un programa local gratuito${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-módulo${\displaystyle {\mathcal {E}}}$de rango finito, existe un isomorfismo natural ${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)=(f_{*}F)\otimes E}$ (en breve,${\displaystyle f_{*}}$es lineal con respecto a la acción de haces localmente libres.)

descriptivo

1. Una variedad proyectiva es una subvariedad cerrada de un espacio proyectivo.  

2. Un esquema proyectivo sobre un esquema S es un esquema S que factoriza a través de algún espacio proyectivo.  ${\displaystyle \mathbf {P} _{S}^{N}\to S}$como un subesquema cerrado.

3. Los morfismos proyectivos se definen de forma similar a los morfismos afines: f : Y → X se denomina proyectivo si se factoriza como una inmersión cerrada seguida de la proyección de un espacio proyectivo.   ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {Z} }X}$a${\displaystyle X}$. ^{[ 18 ]} Nótese que esta definición es más restrictiva que la de EGA , II.5.5.2. Esta última define${\displaystyle f}$ser proyectivo si está dado por el Proj global de un álgebra O _X graduada cuasi-coherente${\displaystyle {\mathcal {S}}}$de tal manera que${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$es finitamente generado y genera el álgebra${\displaystyle {\mathcal {S}}}$Ambas definiciones coinciden cuando${\displaystyle X}$es afín o, más generalmente, si es cuasicompacto, separado y admite un haz amplio, ^{[ 19 ]} p. ej. si${\displaystyle X}$es un subesquema abierto de un espacio proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}}$sobre un anillo${\displaystyle A}$.

paquete proyectivo

Si E es un haz localmente libre sobre un esquema X , el fibrado proyectivo P ( E ) de E es el Proj global del álgebra simétrica del dual de E : ${\displaystyle \mathbf {P} (E)=\mathbf {Proj} (\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}(E^{\vee })).}$ Cabe señalar que esta definición es estándar hoy en día (por ejemplo, la teoría de la intersección de Fulton ), pero difiere de la de EGA y Hartshorne (ellos no toman un dual).

proyectivamente normal

Ver #normal .

adecuado

Un morfismo es propio si es separado, universalmente cerrado (es decir, si sus productos fibrados son funciones cerradas) y de tipo finito. Los morfismos proyectivos son propios; pero lo contrario no suele ser cierto. Véase también variedad completa . Una propiedad fundamental de los morfismos propios es la existencia de una factorización de Stein , es decir, la existencia de un esquema intermedio tal que un morfismo puede expresarse como uno con fibras conexas, seguido de un morfismo finito.

propiedad P

Sea P una propiedad de un esquema que es estable bajo cambio de base (tipo finito, propio, liso, étale, etc.). Entonces un morfismo representable${\displaystyle f:F\to G}$Se dice que tiene la propiedad P si, para cualquier${\displaystyle B\to G}$con B un esquema, el cambio de base${\displaystyle F\times _{G}B\to B}$tiene la propiedad P.

pseudorreductivo

La pseudorreducción generaliza la reducción en el contexto de un grupo algebraico lineal suave y conexo .

dimensión pura

Un esquema tiene dimensión pura d si cada componente irreducible tiene dimensión d .

cuasi coherente

Un haz cuasi-coherente en un esquema noetheriano X es un haz de O _X -módulos que está dado localmente por módulos.

cuasicompacto

Un morfismo f  : Y → X se llama cuasicompacto , si para algún (equivalentemente: todo) recubrimiento afín abierto de X por algún U _i = Spec B _i , las preimágenes f ⁻¹ ( U _i ) son cuasicompactas .

cuasifinito

El morfismo f  : Y → X tiene fibras finitas si la fibra sobre cada punto${\displaystyle x\in X}$es un conjunto finito. Un morfismo es cuasifinito si es de tipo finito y tiene fibras finitas.

cuasiproyectivo

Una variedad cuasiproyectiva es una subvariedad localmente cerrada de un espacio proyectivo.

cuasi-separados

Un morfismo f  : Y → X se denomina cuasi-separado o ( Y es cuasi-separado sobre X ) si el morfismo diagonal Y → Y × _X Y es cuasi-compacto. Un esquema Y se denomina cuasi-separado si Y es cuasi-separado sobre Spec( Z ). ^{[ 20 ]}

cuasi-dividido

Un grupo reductivo${\displaystyle G}$definido sobre un campo${\displaystyle k}$es cuasi-escindida si y solo si admite un subgrupo de Borel.${\displaystyle B\subseteq G}$definido sobre${\displaystyle k}$. Cualquier grupo reductivo cuasi-dividido es un grupo reductivo dividido-reductivo, pero hay grupos reductivos cuasi-divididos que no son divididos-reductivos.

Plan de cuotas

Un esquema Quot parametriza los cocientes de haces localmente libres en un esquema proyectivo.

pila de cocientes

Generalmente denotada por [ X / G ], una pila de cocientes generaliza un cociente de un esquema o variedad.

racional

1. Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, una variedad es racional si es birracional a un espacio proyectivo. Por ejemplo, las curvas racionales y las superficies racionales son aquellas birracionales a  ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{2}}$.

2. Dado un cuerpo k y un esquema relativo X → S , un punto k -racional de X es un S -morfismo.  ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)\to X}$.

función racional

Un elemento en el campo de función${\displaystyle k(X)=\varinjlim k[U]}$donde el límite recorre todos los anillos de coordenadas de subconjuntos abiertos U de una variedad algebraica (irreducible) X. Véase también cuerpo de funciones (teoría de esquemas) .

curva normal racional

Una curva normal racional es la imagen de ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{d},\,(s:t)\mapsto (s^{d}:s^{d-1}t:\cdots :t^{d})}$. Si d = 3, también se le llama cúbica retorcida .

singularidades racionales

Una variedad X sobre un cuerpo de característica cero tiene singularidades racionales si existe una resolución de singularidades.${\displaystyle f:X'\to X}$de tal manera que${\displaystyle f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})={\mathcal {O}}_{X}}$y${\displaystyle R^{i}f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})=0,\,i\geq 1}$.

reducido

1. Un anillo conmutativo  ${\displaystyle R}$se reduce si no tiene elementos nilpotentes distintos de cero, es decir, su nilradical es el ideal cero,${\displaystyle {\sqrt {(0)}}=(0)}$. De forma equivalente,${\displaystyle R}$se reduce si${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$es un esquema reducido.

2. Un esquema X se reduce si sus tallos  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$son anillos reducidos. De forma equivalente, X es reducido si, para cada subconjunto abierto${\displaystyle U\subset X}$,${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$es un anillo reducido, es decir,${\displaystyle X}$no tiene secciones nilpotentes distintas de cero.

reductivo

Un grupo algebraico lineal conexo${\displaystyle G}$sobre un campo${\displaystyle k}$es un grupo reductivo si y solo si el radical unipotente${\displaystyle R_{u}(G_{\overline {k}})}$ del cambio base${\displaystyle G_{\overline {k}}}$de${\displaystyle G}$a un cierre algebraico${\displaystyle {\overline {k}}}$es trivial.

haz reflexivo

Un haz coherente es reflexivo si la aplicación canónica al segundo dual es un isomorfismo.

regular

Un esquema regular es un esquema donde los anillos locales son anillos locales regulares . Por ejemplo, las variedades suaves sobre un cuerpo son regulares, mientras que Spec k [ x,y ]/( x ² + x ³ - y ² )= no lo es.

incrustación regular

Una inmersión cerrada${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$es una incrustación regular si cada punto de X tiene un entorno afín en Y de modo que el ideal de X allí está generado por una sucesión regular . Si i es una incrustación regular, entonces el haz conormal de i , es decir,${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$cuando${\displaystyle {\mathcal {I}}}$es el haz ideal de X , es localmente libre.

función regular

Un morfismo de una variedad algebraica a la línea afín .

morfismo representable

Un morfismo${\displaystyle F\to G}$de pilas tales que, para cualquier morfismo${\displaystyle B\to G}$de un esquema B , el cambio de base${\displaystyle F\times _{G}B}$es un espacio algebraico. Si se reemplaza "espacio algebraico" por "esquema", entonces se dice que es fuertemente representable.

resolución de singularidades

Una resolución de singularidades de un esquema X es un morfismo birracional propio.${\displaystyle \pi :Z\to X}$de tal manera que Z sea suave .

Fórmula de Riemann-Hurwitz

Dado un morfismo separable finito${\displaystyle \pi :X\to Y}$entre curvas proyectivas suaves, si${\displaystyle \pi }$está dócilmente ramificado (sin ramificación salvaje), por ejemplo, sobre un campo de característica cero, entonces la fórmula de Riemann-Hurwitz relaciona el grado de π, los géneros de X , Y y los índices de ramificación : ${\displaystyle 2g(X)-2=\operatorname {deg} (\pi )(2g(Y)-2)+\sum _{y\in Y}(e_{y}-1)}$Hoy en día, la fórmula se considera una consecuencia de la fórmula más general (que es válida incluso si π no es manso): ${\displaystyle K_{X}\sim \pi ^{*}K_{Y}+R}$ dónde${\displaystyle \sim }$significa una equivalencia lineal y${\displaystyle R=\sum _{P\in X}\operatorname {length} _{{\mathcal {O}}_{P}}(\Omega _{X/Y})P}$es el divisor del haz cotangente relativo${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$(llamados los diferentes ).

Fórmula de Riemann-Roch

1. Si L es un fibrado lineal de grado d sobre una curva proyectiva suave de género g , entonces la fórmula de Riemann-Roch calcula la característica de Euler de L :   ${\displaystyle \chi (L)=d-g+1}$. Por ejemplo, la fórmula implica que el grado del divisor canónico K es 2 g - 2.

2. La versión general se debe a Grothendieck y se denomina fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch . Dice: si  ${\displaystyle \pi :X\to S}$es un morfismo propio con X suave , S y si E es un fibrado vectorial en X , entonces como igualdad en el grupo de Chow racional${\displaystyle \operatorname {ch} (\pi _{!}E)\cdot \operatorname {td} (S)=\pi _{*}(\operatorname {ch} (E)\cdot \operatorname {td} (X))}$ dónde${\displaystyle \pi _{!}=\sum _{i}(-1)^{i}R^{i}\pi _{*}}$,${\displaystyle \operatorname {ch} }$significa un personaje de Chern y${\displaystyle \operatorname {td} }$una clase de Todd del fibrado tangente de un espacio y, sobre los números complejos,${\displaystyle \pi _{*}}$es una integración a lo largo de fibras . Por ejemplo, si la base S es un punto, X es una curva suave de género g y E es un fibrado de líneas L , entonces el lado izquierdo se reduce a la característica de Euler mientras que el lado derecho es${\displaystyle \pi _{*}(e^{c_{1}(L)}(1-c_{1}(T^{*}X)/2))=\operatorname {deg} (L)-g+1.}$

rígido

Toda deformación infinitesimal es trivial. Por ejemplo, el espacio proyectivo es rígido ya que${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\mathbf {P} ^{n},T_{\mathbf {P} ^{n}})=0}$(y utilizando el mapa de Kodaira-Spencer ).

rigidizar

Un término heurístico, aproximadamente equivalente a "eliminar automorfismos". Por ejemplo, se podría decir "introducimos estructuras de nivel o puntos marcados para rigidizar la situación geométrica".

En opinión del propio Grothendieck, prácticamente no debería existir una historia de los esquemas, sino solo una historia de la resistencia a ellos: ... No hay ninguna cuestión histórica seria sobre cómo Grothendieck llegó a su definición de esquemas. Estaba en el aire. Serre ha dicho acertadamente que nadie inventó los esquemas (conversación 1995). La pregunta es: ¿qué llevó a Grothendieck a creer que debía usar esta definición para simplificar un artículo de Serre de 80 páginas en unas 1000 páginas de Éléments de géométrie algébrique ?

—

esquema

Un esquema es un espacio localmente anillado que es localmente un espectro primo de un anillo conmutativo .

Schubert

1. Una celda de Schubert es una órbita B en la Grassmanniana.  ${\displaystyle \operatorname {Gr} (d,n)}$donde B es la matriz de Borel estándar; es decir, el grupo de matrices triangulares superiores.

2. Una variedad Schubert es el cierre de una celda Schubert.  

voluta

Un pergamino normal racional es una superficie reglada que tiene grado${\displaystyle n}$en un espacio proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$para algunos${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{>1}}$.

variedad secante

La variedad secante a una variedad proyectiva${\displaystyle V\subset \mathbb {P} ^{r}}$es el cierre de la unión de todas las líneas secantes a V en${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$.

anillo de sección

El anillo de secciones o el anillo de secciones de un haz de líneas L en un esquema X es el anillo graduado.${\displaystyle \oplus _{0}^{\infty }\Gamma (X,L^{n})}$.

Condiciones de Serre S _n

Consulte las condiciones de normalidad de Serre . Véase también https://mathoverflow.net/q/22228

Dualidad de Serre

Ver #haz dualizador

apartado

Un morfismo separado es un morfismo${\displaystyle f}$de tal manera que el producto de fibra de${\displaystyle f}$consigo mismo a lo largo${\displaystyle f}$tiene su diagonal como un subesquema cerrado ; en otras palabras, el morfismo diagonal es una inmersión cerrada .

haz generado por secciones globales

Un haz con un conjunto de secciones globales que abarcan el tallo del haz en cada punto. Véase Haz generado por secciones globales .

simple

1. El término "punto simple" es un término antiguo para "punto liso".  

2. Un divisor de cruce normal simple (snc) es otro nombre para un divisor de cruce normal suave, es decir, un divisor que solo tiene singularidades de cruce normal suaves. Aparecen tanto en la desingularización fuerte como en la estabilización para problemas de módulos compactificantes.  

3. En el contexto de los grupos algebraicos lineales, existen grupos semisimples y grupos simples que, a su vez, son grupos semisimples con propiedades adicionales. Dado que todos los grupos simples son reductivos, un grupo simple escindido es un grupo simple que es escindido-reductivo.  

liso

1.  

El análogo de dimensiones superiores de los morfismos étales son los morfismos suaves . Hay muchas caracterizaciones diferentes de suavidad. Las siguientes son definiciones equivalentes de suavidad del morfismo f  : Y → X :

1. para cualquier y ∈ Y , existen entornos afines abiertos V y U de y , x = f ( y ), respectivamente, tales que la restricción de f a V se factoriza como un morfismo étale seguido de la proyección del espacio n - afín sobre U .
2. f es plana, localmente de presentación finita, y para cada punto geométrico${\displaystyle {\bar {y}}}$de Y (un morfismo del espectro de un campo algebraicamente cerrado)${\displaystyle k({\bar {y}})}$a Y ), la fibra geométrica${\displaystyle X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}}))}$es una variedad suave n -dimensional sobre${\displaystyle k({\bar {y}})}$en el sentido de la geometría algebraica clásica.

2. Un esquema suave sobre un cuerpo perfecto k es un esquema X que es localmente de tipo finito y regular sobre k .  

3. Un esquema suave sobre un cuerpo k es un esquema X que es geométricamente suave:  ${\displaystyle X\times _{k}{\overline {k}}}$es suave.

especial

Un divisor D en una curva suave C es especial si${\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(K-D))}$, que se denomina índice de especialidad, es positivo.

variedad esférica

Una variedad esférica es una G -variedad normal ( G conectada reductiva) con una órbita densa abierta por un subgrupo de Borel de G.

dividir

1. En el contexto de un grupo algebraico  ${\displaystyle G}$para ciertas propiedades${\displaystyle P}$existe la propiedad derivada dividida-${\displaystyle P}$. Generalmente${\displaystyle P}$es una propiedad que es automática o más común en campos algebraicamente cerrados${\displaystyle {\overline {k}}}$. Si esta propiedad ya se cumple para${\displaystyle G}$definido sobre un cuerpo no necesariamente algebraicamente cerrado${\displaystyle k}$entonces${\displaystyle G}$Se dice que satisface la división.${\displaystyle P}$.

2. Un grupo algebraico lineal  ${\displaystyle G}$definido sobre un campo${\displaystyle k}$es un toro si y solo si su base cambia${\displaystyle G_{\overline {k}}}$a un cierre algebraico${\displaystyle {\overline {k}}}$es isomorfo a un producto de grupos multiplicativos${\displaystyle G_{m,{\overline {k}}}^{n}}$.${\displaystyle G}$es un toro dividido si y solo si es isomorfo a${\displaystyle G_{m,k}^{n}}$sin ningún cambio de base.${\displaystyle G}$Se dice que se divide en un campo intermedio.${\displaystyle k\subseteq L\subseteq {\overline {k}}}$si y solo si su base cambia${\displaystyle G_{L}}$a${\displaystyle L}$es isomorfo a${\displaystyle G_{m,L}^{n}}$.

3. Un grupo reductivo  ${\displaystyle G}$definido sobre un campo${\displaystyle k}$es escindido-reductivo si y solo si un toro maximal${\displaystyle T\subseteq G}$definido sobre${\displaystyle k}$es un toro partido. Dado que cualquier grupo simple es reductivo, un grupo simple partido significa un grupo simple que es dividido-reductivo.

4. Un grupo algebraico lineal resoluble y conexo  ${\displaystyle G}$definido sobre un campo${\displaystyle k}$Se divide si y solo si tiene una serie de composición.${\displaystyle B=B_{0}\supset B_{1}\supset \ldots \supset B_{t}=\{1\}}$definido sobre${\displaystyle k}$de tal manera que cada cociente sucesivo${\displaystyle B_{i}/B_{i+1}}$es isomorfo a cualquiera de los grupos multiplicativos${\displaystyle G_{m,k}}$o el grupo aditivo${\displaystyle G_{m,a}}$encima${\displaystyle k}$.

5. Un grupo algebraico lineal  ${\displaystyle G}$definido sobre un campo${\displaystyle k}$Se divide si y solo si tiene un subgrupo de Borel.${\displaystyle B\subseteq G}$definido sobre${\displaystyle k}$que se divide en el sentido de grupos algebraicos lineales resolubles conectados.

6. En la clasificación de las álgebras de Lie reales, las álgebras de Lie escindidas juegan un papel importante. Existe una estrecha conexión entre los grupos de Lie lineales, sus álgebras de Lie asociadas y los grupos algebraicos lineales sobre  ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$respectivamente.${\displaystyle \mathbb {C} }$El término "escisión" tiene significados similares para la teoría de Lie y los grupos algebraicos lineales.

estable

1. Una curva estable es una curva con alguna singularidad "leve", utilizada para construir un espacio de módulos de curvas de buen comportamiento .  

2. Se utiliza un fibrado vectorial estable para construir el espacio de módulos de fibrados vectoriales .  

pila

Una pila parametriza conjuntos de puntos junto con automorfismos.

transformación estricta

Dado un estallido${\displaystyle \pi$ :{\widetilde {X}}\to X} a lo largo de un subesquema cerrado Z y un morfismo${\displaystyle f:Y\to X}$, la transformación estricta de Y (también llamada transformación propia) es la explosión${\displaystyle {\widetilde {Y}}\to Y}$de Y a lo largo del subesquema cerrado${\displaystyle f^{-1}Z}$. Si f es una inmersión cerrada, entonces el mapa inducido${\displaystyle {\widetilde {Y}}\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$También es una inmersión cerrada.

subesquema

Un subesquema , sin calificador, de X es un subesquema cerrado de un subesquema abierto de X.

superficie

Una variedad algebraica de dimensión dos.

variedad simétrica

Análogo de un espacio simétrico . Véase variedad simétrica .

espacio tangente

Ver espacio tangente de Zariski .

haz de líneas tautológico

El haz de líneas tautológico de un esquema proyectivo X es el dual del haz retorcido de Serre.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$; eso es,${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$.

teorema

Ver el teorema principal de Zariski , el teorema sobre funciones formales , el teorema del cambio de base de cohomología , Categoría:Teoremas en geometría algebraica .

incrustación de toro

Un término antiguo para una variedad tórica

variedad tórica

Una variedad tórica es una variedad normal con la acción de un toro tal que el toro tiene una órbita densa abierta.

geometría tropical

Una especie de geometría algebraica lineal por partes. Véase geometría tropical .

toro

Un toro dividido es producto de un número finito de grupos multiplicativos.${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$.

universal

1. Si un functor de módulos F está representado por algún esquema o espacio algebraico M , entonces un objeto universal es un elemento de F ( M ) que corresponde al morfismo identidad M → M (que es un punto M de M ). Si los valores de F son clases de isomorfismo de curvas con estructura adicional, por ejemplo, entonces un objeto universal se denomina curva universal . Un fibrado tautológico sería otro ejemplo de objeto universal.  

2. Deja  ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$sean los módulos de curvas proyectivas suaves de género g y${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}={\mathcal {M}}_{g,1}}$la de curvas proyectivas suaves de género g con puntos marcados individuales. En la literatura, el mapa olvidadizo ${\displaystyle \pi$ :{\mathcal {C}}_{g}\to {\mathcal {M}}_{g}} se suele denominar curva universal.

universalmente

Un morfismo tiene alguna propiedad universalmente si todos los cambios de base del morfismo tienen esta propiedad. Ejemplos incluyen universalmente catenario , universalmente inyectivo .

no ramificado

Por un punto${\displaystyle y}$en${\displaystyle Y}$Consideremos el morfismo correspondiente de anillos locales. ${\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}}$. Dejar${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ser el ideal máximo de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}}$y dejar ${\displaystyle {\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}}$ ser el ideal generado por la imagen de${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$. El morfismo${\displaystyle f}$es no ramificado (resp. G-no ramificado ) si es localmente de tipo finito (resp. localmente de presentación finita) y si para todo${\displaystyle y}$en${\displaystyle Y}$,${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$es el ideal máximo de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$y el mapa inducido ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}}$ es una extensión de campo separable finita . ^{[ 21 ]} Esta es la versión geométrica (y generalización) de una extensión de campo no ramificada en la teoría algebraica de números .