Conexión (paquete compuesto)

paquetes compuestos${\displaystyle Y\to \Sigma \to X}$desempeñan un papel destacado en la teoría de gauge con ruptura de simetría , por ejemplo, teoría de gravitación de gauge , mecánica no autónoma donde${\displaystyle X=\mathbb {R} }$es el eje del tiempo, por ejemplo, mecánica con parámetros dependientes del tiempo, etc. Hay relaciones importantes entre las conexiones en los haces de fibras${\displaystyle Y\to X}$,${\displaystyle Y\to \Sigma }$y${\displaystyle \Sigma \to X}$.

En geometría diferencial, por haz compuesto se entiende la composición

${\displaystyle \pi :Y\to \Sigma \to X\qquad \qquad (1)}$

de haces de fibras

${\displaystyle \pi _{Y\Sigma }:Y\to \Sigma ,\qquad \pi _{\Sigma X}:\Sigma \to X.}$

Se proporciona con coordenadas de paquete${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},y^{i})}$, dónde${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m})}$son coordenadas de haz en un haz de fibras${\displaystyle \Sigma \to X}$, es decir, funciones de transición de coordenadas${\displaystyle \sigma ^{m}}$son independientes de las coordenadas${\displaystyle y^{i}}$.

El siguiente hecho proporciona las aplicaciones físicas mencionadas anteriormente de los haces compuestos. Dado el haz compuesto (1), sea${\displaystyle h}$ser una sección global de un haz de fibras${\displaystyle \Sigma \to X}$, si los hay. Luego el paquete de retroceso${\displaystyle Y^{h}=h^{*}Y}$encima${\displaystyle X}$es un subhaz de un haz de fibras${\displaystyle Y\to X}$.

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle P\to X}$ser un paquete principal con una estructura Grupo Lie${\displaystyle G}$que es reducible a su subgrupo cerrado${\displaystyle H}$Existe un paquete compuesto${\displaystyle P\to P/H\to X}$dónde${\displaystyle P\to P/H}$es un paquete principal con un grupo de estructura${\displaystyle H}$y${\displaystyle P/H\to X}$es un haz de fibras asociado con${\displaystyle P\to X}$. Dado una sección global${\displaystyle h}$de${\displaystyle P/H\to X}$, el paquete de retroceso${\displaystyle h^{*}P}$es un subpaquete principal reducido de${\displaystyle P}$con un grupo estructurado${\displaystyle H}$. En la teoría de gauge , secciones de${\displaystyle P/H\to X}$se tratan como campos de Higgs clásicos .

Dado el haz compuesto${\displaystyle Y\to \Sigma \to X}$(1), considere los colectores de chorro${\displaystyle J^{1}\Sigma }$,${\displaystyle J_{\Sigma }^{1}Y}$, y${\displaystyle J^{1}Y}$de los haces de fibras${\displaystyle \Sigma \to X}$,${\displaystyle Y\to \Sigma }$, y${\displaystyle Y\to X}$, respectivamente. Se les proporcionan las coordenadas adaptadas${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},\sigma _{\lambda }^{m})}$,${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},y^{i},{\widehat {y}}_{\lambda }^{i},y_{m}^{i}),}$, y${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},y^{i},\sigma _{\lambda }^{m},y_{\lambda }^{i}).}$

Ahí está el mapa canónico

${\displaystyle J^{1}\Sigma \times _{\Sigma }J_{\Sigma }^{1}Y\to _{Y}J^{1}Y,\qquad y_{\lambda }^{i}=y_{m}^{i}\sigma _{\lambda }^{m}+{\widehat {y}}_{\lambda }^{i}}$.

Este mapa canónico define las relaciones entre las conexiones en los haces de fibras.${\displaystyle Y\to X}$,${\displaystyle Y\to \Sigma }$y${\displaystyle \Sigma \to X}$Estas conexiones vienen dadas por las formas de conexión con valores tangentes correspondientes.

${\displaystyle \gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\gamma _{\lambda }^{m}\partial _{m}+\gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i}),}$

${\displaystyle A_{\Sigma }=dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+A_{\lambda }^{i}\partial _{i})+d\sigma ^{m}\otimes (\partial _{m}+A_{m}^{i}\partial _{i}),}$

${\displaystyle \Gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{m}\partial _{m}).}$

Una conexión${\displaystyle A_{\Sigma }}$en un haz de fibras${\displaystyle Y\to \Sigma }$ y una conexión${\displaystyle \Gamma }$ en un haz de fibras${\displaystyle \Sigma \to X}$definir una conexión

${\displaystyle \gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{m}\partial _{m}+(A_{\lambda }^{i}+A_{m}^{i}\Gamma _{\lambda }^{m})\partial _{i})}$

en un haz compuesto${\displaystyle Y\to X}$Se denomina conexión compuesta . Se trata de una conexión única tal que el elevador horizontal${\displaystyle \gamma \tau }$sobre${\displaystyle Y}$de un campo vectorial${\displaystyle \tau }$en${\displaystyle X}$mediante la conexión compuesta${\displaystyle \gamma }$coincide con la composición${\displaystyle A_{\Sigma }(\Gamma \tau )}$de elevadores horizontales de${\displaystyle \tau }$sobre${\displaystyle \Sigma }$mediante una conexión${\displaystyle \Gamma }$y luego${\displaystyle Y}$mediante una conexión${\displaystyle A_{\Sigma }}$.

Dado el haz compuesto${\displaystyle Y}$(1), existe la siguiente secuencia exacta de haces vectoriales sobre${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle 0\to V_{\Sigma }Y\to VY\to Y\times _{\Sigma }V\Sigma \to 0,\qquad \qquad (2)}$

dónde${\displaystyle V_{\Sigma }Y}$ y${\displaystyle V_{\Sigma }^{*}Y}$son el fibrado tangente vertical y el fibrado cotangente vertical de${\displaystyle Y\to \Sigma }$Cada conexión${\displaystyle A_{\Sigma }}$en un haz de fibras${\displaystyle Y\to \Sigma }$produce la división

${\displaystyle A_{\Sigma }:TY\supset VY\ni {\dot {y}}^{i}\partial _{i}+{\dot {\sigma }}^{m}\partial _{m}\to ({\dot {y}}^{i}-A_{m}^{i}{\dot {\sigma }}^{m})\partial _{i}}$

de la secuencia exacta (2). Usando esta división, se puede construir un operador diferencial de primer orden.

${\displaystyle {\widetilde {D}}:J^{1}Y\to T^{*}X\otimes _{Y}V_{\Sigma }Y,\qquad {\widetilde {D}}=dx^{\lambda }\otimes (y_{\lambda }^{i}-A_{\lambda }^{i}-A_{m}^{i}\sigma _{\lambda }^{m})\partial _{i},}$

en un haz compuesto${\displaystyle Y\to X}$Se denomina diferencial covariante vertical . Posee la siguiente propiedad importante.

Dejar${\displaystyle h}$ser una sección de un haz de fibras${\displaystyle \Sigma \to X}$y dejar${\displaystyle h^{*}Y\subset Y}$ser el paquete de retroceso sobre${\displaystyle X}$Cada conexión${\displaystyle A_{\Sigma }}$induce la conexión de retroceso

${\displaystyle A_{h}=dx^{\lambda }\otimes [\partial _{\lambda }+((A_{m}^{i}\circ h)\partial _{\lambda }h^{m}+(A\circ h)_{\lambda }^{i})\partial _{i}]}$

en${\displaystyle h^{*}Y}$. Entonces, la restricción de una diferencial covariante vertical${\displaystyle {\widetilde {D}}}$ a${\displaystyle J^{1}h^{*}Y\subset J^{1}Y}$coincide con la conocida diferencial covariante${\displaystyle D^{A_{h}}}$ en${\displaystyle h^{*}Y}$en relación con la conexión de retroceso${\displaystyle A_{h}}$.

• Saunders, D., La geometría de los haces de jets. Cambridge University Press, 1989. ISBN 0-521-36948-7.
• Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Conexiones en la teoría clásica y cuántica de campos. World Scientific, 2000. ISBN 981-02-2013-8.

• Sardanashvily, G. , Geometría diferencial avanzada para teóricos. Fibrados, variedades de jets y teoría lagrangiana , Lambert Academic Publishing, 2013. ISBN 978-3-659-37815-7; arXiv : 0908.1886

• Conexión (matemáticas)
• Conexión (colector de fibra)